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1、WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 第九章欧氏空间 1.设 aij是一个 n 阶正定矩阵 , 而 (x1,x2,xn),(y1,y2,yn) , 在 n R中定义内 积 (,), 1) 证明在这个定义之下, n R成一欧氏空间； 2) 求单位向量 1(1,0,0),(0,1,0) 2, ?,(0,0,1) n， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西 布湿柯夫斯基不等式。 解 1) 易见( ,) 是 n R上的一个二元实函数，且 (1)(,)()(,)， (2)(k ,)(k)k()k(,)， (3)(,)()(,)(,)， (4) (,)aijxy， ij i,j 由于 A是正定矩
2、阵，因此 i, j aijxy i j 是正定而次型，从而(,)0，且仅当 0时有 ( 。 ,)0 2) 设单位向量 11,00),(0,1,0) (,2,?, (0,0,1) n， 的度量矩阵为 ( ) Bb，则 ij a 11 a 12 a 1n 0 WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 b ij (,)(0, ij 1, (i) 0) a 22 a 22 a 2n 1 ( j ) =aij， (i,j1,2,n)， a n1 a n2 a nn 0 WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 因此有BA。 4) 由定义，知 (,) aijxy(,)aijxixj ij ( ,)aijyiy
3、j i,j，i,ji,j ， 故柯西布湿柯夫斯基不等式为 axyaxxayy ijijijijijiji,ji,ji,j 2.在 4 R中, 求, 之间 ,( 内积按通常定义) ，设 : 1)(2,1,3,2),(1,2,2,1)， 2)(1,2,2,3),(3,1,5,1)， 3)(1,1,1,2),(3,2,1,0)。 解 1) 由定义 , 得 (,)21123(1 )210 ， 所以 , 2 。 2) 因为 ( ， ,)1321253118 (,)11222233 18 ， ( ， ,)3311223336 cos, 18 18 36 2 2 ， 所以 , 。 4 3) 同理可得 (,(
4、,)17,(,)3, ,)3 3 cos, ， WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 77 WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 3 1 ,cos 所以 77 。 3.d(,) 通常为 , 的距离，证明； d。 (,)d( ,)d ( ,) 证由距离的定义及三角不等式可得 d( ,)()() d( ,)d ( ,) 。 4 中求一单位向量与1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3正交。 4 在 R 解设 x1,x2,x3,x4与三个已知向量分别正交，得方程组 x 1 x 2 x 3 x 4 0 x 1 x 2 x 3 x 4 0 ， 2x 1 x 2 x 3 3x 4 0 因为方程组
5、的系数矩阵A的秩为 3，所以可令 x31x14,x20,x43，即 4,0,1,3 。 再将其单位化，则 1 a 1 26 4,0,1,3 ， 即为所求。 5设1,2,n是欧氏空间V 的一组基，证明： 1）如果 V使,i0i1,2,n,，那么 0。 2）如果1,2V使对任一 V 有1,2, ，那么 12。 证 1) 因为1,2,n为欧氏空间V的一组基，且对V，有 ,i01,2,n， 所以可设 k11k22knn， 且有 WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 , k 1 kk 122nn k 1 , 1 k 2 , 2 k n , n 即证 0。 2) 由题设，对任一V总有 12, 1，特别对
6、基i也有 11i2, ，或者 12,i0i1,2,n， i 再由 1) 可得 0 1，即证 12。 2 6 设 1,2,3是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明： 1 3 22 1 123 1 3 22 12 23 1 3 22 12 33 也是一组标准正交基。 证因为 1 1,22,22 212312 9 3 1 9 2 1,22,2 1223 3 1 9 4(2)(2)0 ， 同理可得 ,32,30 1， 另一方面 1 1,22,22 11231 9 23 1 9 4 1,4, 1223 3 WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 1 9 (441)1 ， 同理可得 ,23,31 2， 即证
7、 1, 也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。 23 4.设 1,2,3,4,5 也是五维欧氏V空间中的一组标准正交基,V1L2,2,3，其中 WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 1,2124,32123， 15 求 V1的一组标准正交基。 解首先证明 1, 线性无关 . 事实上，由 23 112 011 ( ,)(,)001 1， 2312345 010 100 112 011 其中A001 的秩为3，所以1,2,3线性无关。 010 100 将正交化，可得 111 5， (,)11 22 221245 (,)22 11 ， 单位化，有 2 () 1， 15 2 10 (22) 2， 12
8、45 10 1 () 3， 1235 2 则 1, 为 V1的标准正交基。 23 5.求齐次线性方程组 2x 1 x 2 x 3 x 4 3x 5 0 WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 x 1 x 2 x 3 x 5 0 的解空间 ( 作为 5 R的子空间 ) 的一组标准正交基。 解由 WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 x43x2x 51 x 2 x 3 x 5 x 1 x 2 x 3 可得基础解系为 1(1,0,0,5,1 )，2(0,1,0,4,1)，3(0,0,1,4,1)， 它就是所求解空间的一组基。将其正交化，可得 (1,0,0,5,1) 1， 1 (,)1 21 (7,
9、9,0,1,2) 2， 21 (,)9 11 (,)(,)1 3132 (7,6,15,1,2) 3， 312 (,)(,)15 1122 再将 1, 单位化 , 可得 23 111 1(1,0,0,5,1)，2(7,9,0,1,2)，(7,6,15,1,2) 33315335 3， 则 1, 就是所求解空间的一组标准正交基。 23 1 6.在 RX4中 定 义 内积为 (f,g)=1f(x)g(x)dx求RX4的一组标准正交 基 ( 由基 1. , 出发作正交化 ) 。 2 , 2, 3 23 解取 RX4的一组基为11,x,x,x,将其正交化 , 可得 111， 234 ( , ) 2 1
10、 2(,) 2 11 1 x 1 ，其中 (2,)x1dx0 ，又因为 11 WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 ( 1 2 2 3,)(,)xdx， 1221 3 ( 11 2 1,)11dx2，(3,)xxdx0， 1121 所以 (,)(,)21 3132 3x， 312 (,)(,)3 1122 (,)(,)(,)33 414243 同理可得 xx 4， 4123 (,)(,)(,)5 112233 再将 1,单位化，即得 234 12 1， 1 2 1 WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 16102143 2，3(3x1) ，4(5x3x)， 2 2x442 则 1,即为所求
11、的一组标准正交基。 234 7.设 V是一 n 维欧氏空间 ,0 是 V中一固定向量 , 1) 证明 :V1x|(x,a)0,xV是 V 的一个子空间； 2) 证明 :V1的维数等于n-1 。 证 1) 由于 00V, 因而 V1非空 .下面证明 V1对两种运算封闭. 事实上 , 任取 x1,x2V1, 1 则有 (x1,)(x2,)0 ，于是又有 (x1x2,)(x1)(x2)0 ， 所以 x1x2V1。另一方面，也有(kx1,)k(x1,)0 ，即kx1V1。故 V1是 V 的 一个子空间。 2) 因为 0 是线性无关的，可将其扩充为V的一组正交基 ,2,n，且 (i,)0 (i2,3,n
12、) ，iV1(i2,3,n)。下面只要证明 : 对任意的 V1, 可以由2,3,n 线性表出，则 V 的维数就是n1。 1 事实上，对任意的V1，都有 V，于是有线性关系k1k22knn， 且(,)(,)(,)(,) k1kknn， 22 但有假设知 (,)(,)0(i1,2,n) i ， 所以 k1(,)0，又因为 0，故k10，从而有 k22knn， 再由的任意性，即证。 11 1）证明：欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。 2）利用上述结果证明：任一欧氏空间都存在标准正交基。 证： 1）设 1,2 与1,2,n是欧氏空间V的两组不同基，它们对应的度量矩阵 , n 分别 是 () Aa和
13、B(bij) ， 另 外 ， 设1,2,n到1,2,n的 过 渡 矩 阵 为 ij 1 c 11 1 c 12 2 c 1n n C(c) ，即 ij ， WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 n c n1 1 c n2 2 c nn n bijcccc (,)(, ij1i1nin1j1njn ) WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 n = cki(,c1c) kj1njn k1 nn = ckic(, sjks ) k1s1 nn = ckic si k s ， k1s1 另一方面 , 令 DCA(dij),CACDC(e) ， ij 则 D的元素为 n disc ki k1 k s
14、 ， 故 C AC的元素 nnn eijdc(c)cb(i,j1,2,n)， issjkikssjijs1s1n1 即证 C ACB 。再由 ,;, 1nn皆为 V的基，所以C非退化，从而B 212 与 A 合同。 2） 在 欧 氏 空 间 V中 ， 任 取 一 组 基1,2,n，它 的 度 量 矩 阵 为 A(aij), 其中 ij(i,j)，且度量矩阵A是正定的，又因为正定矩阵与单位矩阵合同，即ECAC 。 于是只要 (1,2,n)(1,2,)C ， n 则由上面 1）可知基 1,2, 的度量矩阵为E，这就是说，1,2,n就是所求的 n 标准正交基。 12设1,2,n是 n 维欧氏空间V中
15、的一组向量，而 (,)(,)(,) 11121m (,)(,)(,) 21222m (,)(,)(,) m1m2mm WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 证明：当且仅当0时 1,2,m线性无关。 证设有线性关系 WORD 格式可编辑 专业知识整理分享 k1kkmm0， 122 将其分别与i取内积，可得方程组 k1(i,1)k2(i,2)km(i,m)0(i1,2,m)， 由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0，即证。 13证明：上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角线上元素为+1 或 -1。 证设 a 11 q 12 a 22 a 1n a 2n 为上三角矩阵，则 A 1 b 11 b 12 b 22 b 1 n b 2 n A 也是上三 a nn b n n 角矩阵。由于A是正交阵，所以 1A A，即 a 11 b 11 b 12 b 1 n A a 12 a 22 b 22 b 2n ， anaab 12nnnnn 所以 a0(ij) ij ，因而 a 11 A a 22 AE2 为对角阵。再由, A知 a1，即证 aii1 或 -1 。 ii a nn 14 1）设
