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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国三卷) 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 ） 1.已知集合，则（） 1,0,1,2A 2 |1Bx x AB A. B.0,1C.D. 0,1,2 1,0,1 1,1 2.若，则 z=（）(1)2zii A. B. C. D. 1i 1i 1i 1i 3.西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说 四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 名学生，其中阅读过 西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读
2、过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西 游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学 生总数比值的估计值为（） A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8 4.的展开式中 x3的系数为（） 24 (12)(1)xx A. 12B. 16C. 20D. 24 5.已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，则 a3=（） A. 16B. 8C. 4D. 2 6.已知曲线在处的切线方程为 y=2x+b，则（）ln x yaexx (1,)ae A.B.C.D.,1ae b ,1ae b 1, 1aeb 1, 1aeb 7.函
3、数在的图像大致为（） 3 2 22 xx x y 6,6 A. B. C. D. 8.如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线 段 ED 的中点，则（） A. BM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线 B. BMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 C. BM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线 D. BMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 M N B C DA E 9.执行右边的程序框图，如果输入的 为 0.01，则输出 s 的值等于（） A. B. C. D. 4 1 2 2 5 1 2 2 6 1 2 2 7 1 2 2 1
4、0.双曲线 C：的右焦点为 F， 点 P 在 C 的一条渐近线上， O 为 22 1 42 xy 坐标原点.若|PO|=|PF|， 则PFO 的面积为（） A. B. C. D. 3 2 4 3 2 2 2 2 3 2 11.设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0,+)单调递减，则（） A.B. 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 fff 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 fff C.D. 23 32 3 1 (2)(2)(log) 4 fff 23 32 3 1 (2)(2)(log) 4 fff 12.设函数，已知 f (x)在0,2有且仅有 5 个零点，
5、下述四个结论：f ( )sin()(0) 5 f xx (x)在(0,2)有且仅有 3 个极大值点；f (x)在(0,2)有且仅有 2 个极小值点；f (x)在单调(0,) 10 递增；的取值范围是.其中所有正确结论的编号是（） 12 29 ,) 5 10 A.B.C.D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 a，b 为单位向量，且 ab=0，若，则 cos=_.25 cab 14.记 Sn为等差数列an的前 n 项和，若 a10，a2=3a1，则=_. 10 5 S S 15.设 F1，F2为椭圆 C：的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限，若MF1
6、F2为 22 1 3620 xy 等腰三角形，则 M 的坐标为_. 16.学生到工厂劳动实践， 利用 3D 打印技术制作模型， 如图， 该 模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几 何体， 其中O为长方体的中心， E，F，G，H 分别为所在棱的中点， AB=BC=6cm，AA1=4cm.3D 打印所用的材料密度为 0.9g/cm3，不 H E F G O D1 C1 B1 C D AB A1 考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每 个试题考生都必须作答。第 22
7、、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分. 17.（12 分） 为了解甲、 乙两种离子在小鼠体内的残留程度， 进行如下试验 ： 将 200 只小鼠随机分成 A， B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给 服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离 子的百分比，根据试验数据分别得到如下直方图： 记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到 P（C）的估计值 为 0.70. （1）求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值； （2） 分别估计甲、 乙
8、离子残留百分比的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 18.（12 分） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知.sin= sin 2 AC abA （1）求 B； （2）若ABC 为锐角三角形，且 c=1，求ABC 面积的取值范围. 19.（12 分） 图 1 是由矩形 ABED， RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形， 其中 AB=1， BE=BF=2， FBC=60.将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合.连结 DG，如图 2. （1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE； （2）求图 2 中
9、的二面角 B-CG-A 的大小. G F C A D E B D G E(F) BC A 图 1 图 2 20.（12 分） 已知函数. 32 ( )2f xxaxb （1）讨论 f(x)的单调性； （2） 是否存在 a， b， 使得 f (x)在区间0,1的最小值为-1 且最大值为 1？若存在， 求出 a， b 的所有值；若不存在，说明理由. 21.（12 分） 已知曲线 C：， D 为直线上的动点， 过 D 作 C 的两条切线， 切点分别为 A， B. 2 2 x y 1 2 y （1）证明：直线 AB 过定点； （2）若以为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形
10、 ADBE 5 (0, ) 2 E 的面积. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 如图，在极坐标系 Ox 中，弧，(2,0)A( 2,) 4 B 3 ( 2,) 4 C (2, )D AB BC CD 所在的圆的圆心分别是， 曲线 M1是弧， 曲线(1,0)(1,) 2 (1, ) AB M2是弧，曲线 M3是弧. BC CD （1）分别写出 M1，M2，M3的极坐标方程； （2）曲线 M 由 M1，M2，M3构成，若点 P 在 M 上，且|OP|=，求 P 的极坐标.3 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设 x，y，zR，且 x+y+z=1. （1）求的最小值； 222 (1)(1)(1)xyz （2）若成立，证明：或. 222 1 (2)(1)() 3 xyza 3a 1a
