《2021-2021学年高中数学人教A版必修4学案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义Word版含解析修订》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2021学年高中数学人教A版必修4学案：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义Word版含解析修订（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、24.1平面向量数量积的物理背景及其含义 考试标准 课标要点 学考要 求 高考要 求 平面向量数量积的概念及其 物理意义 bb 平面向量投影的概念a a 平面向量数量积的性质及运 算律 b b 知识导图 学法指导 1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表示， 难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用 2 向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比， 明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立. 向量的数量积 定义 已知两个非零向量a 与 b，我们把数量 |a|b|cos 叫作 a 与 b的数 量积，记作 a b，即 a b|a|b|cos ，其中
2、 是 a 与 b的夹角零向量 与任一向量的数量积为0. 几何意义 |a|cos (|b|cos )叫做向量 a 在 b方向上(b在 a 方向上 )的投影 a b 的几何意义：数量积 a b 等于 a 的长度 |a|与 b在 a 的方向上的投影 |b|cos 的乘积 性质 (1)ab? a b0； (2)当 a 与 b同向时， a b|a|b|；当 a 与 b反向时， a b|a|b|； (3)a a|a|2或|a|a aa2； (4)cos a b |a| |b|； (5)|a b|a|b| 运算律 交换律： a bb a 结合律： ( a)b (a b)a ( b) 分配律： (ab) c
3、a cb c 状元随笔关于向量数量积应注意的问题 (1)若向量 a 与 b 的夹角为 ， 0 时，a 与 b 同向； 时，a 与 b 反向； 2时， a b . (2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平 移 (3)向量的数量积结果是一个数量，符号由cos 的符号所决定，而 向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量 (4)符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用 “”代替 小试身手 1判断下列命题是否正确 . (正确的打“”，错误的打“”) (1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同() (2)两个向量的数量积是向量() (3)设向量 a 与 b的夹角为 ，则 c
4、os 0? a b0.() 答案：(1)(2)(3) 2已知单位向量 a，b的夹角为 60 ，则 a b() A.1 2 B. 3 2 C1 D 1 2 解析：由向量的数量积公式a b|a|b|cos 111 2 1 2. 答案：A 3 已知 a， b 均为单位向量，它们的夹角为 60 ， 那么|a3b|() A.7 B. 10 C. 13 D4 解析：|a3b| 2a26a b9b2 16cos 60 913，所以 |a3b|13. 答案：C 4已知向量 a，b 满足|a|1，|b|4，且 a b2，则 a 与 b 的夹 角为_ 解析：设 a 与 b的夹角为 ， cos a b |a| |b
5、| 2 14 1 2， 又 0， ， 3. 答案： 3 类型一向量数量积的计算及其几何意义 例 1(1)已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点D，E 分别是 边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE2EF，则AF BC 的值为() A. 5 8 B.1 8 C.1 4 D.11 8 (2)已知|a|3，|b|5，且 a b12，则 a 在 b 方向上的投影为 _，b 在 a 方向上的投影为 _ 【解析】(1)设BA a，BC b，则 a b 1 2 ，|a|b|1.DE 1 2AC 1 2(ba)，DF 3 2DE 3 4(ba)，AF AD DF 1 2a 3 4
6、(ba) 5 4a 3 4b，AF BC 5 4 a b3 4b 25 8 3 4 1 8 . (2)设 a 与 b的夹角为 ，则有 a b|a| |b|cos 12，所以向量 a 在向量 b方向上的投影为 |a| cos a b |b| 12 5 12 5 ；向量 b 在向量 a 方向上的投影为 |b| cos a b |a| 12 3 4. 【答案】(1)B(2)12 5 4 (1)先求AF ，再利用向量的数量积定义计算 (2)向量 a 在向量 b 方向上的投影为 | a | cos a b | b | ，向量 b 在向 量 a 方向上的投影为 | b | cos a b | a | .
7、方法归纳 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角， 其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键 (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似 于多项式的乘法运算 跟踪训练 1本例 1 中，若 DE 的中点为 G，求AG BC . 解析： AG AD DG 1 2AB 1 4AC 1 2AB 1 4(AB BC ) 3 4AB 1 4 BC ， 所以AG BC 3 4AB BC 1 4 BC 2 3 4 11cos120 1 412 1 8. 由已知先求 AG ，再利用公式求 AG BC . 类型二向量模的有关计算 例 2(1)已知平面向量a
8、与 b 的夹角为 60 ，|a|2，|b|1，则|a 2b|() A.3 B2 3 C4 D12 (2)向量 a，b 满足|a|1，|ab| 3 2 ，a 与 b 的夹角为 60 ，则|b| () A. 1 3 B.1 2 C.1 5 D.1 4 【解析】(1)|a2b|a2b 2 a24a b4b 2 |a| 24|a|b|cos60 4|b|244211 242 3. (2)由题意得 |ab| 2|a|2|b|22|a|b|cos60 3 4， 即 1|b| 2|b|3 4 ， 解得|b| 1 2. 【答案】(1)B(2)B 求向量的模，先平方，利用公式求，再开方 方法归纳 求向量的模的常
9、见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活 应用 a2|a| 2，勿忘记开方 (2)a aa 2|a|2 或|a|a2，可以实现实数运算与向量运算的相互 转化 跟踪训练 2(1)设向量 a，b，c 满足 abc0，(ab)c，|a| 1，则|b|_； (2)已知平面向量 ， ，| |1，| |2， ( 2 )，则|2 |的 值是_ 解析：(1)因为 abc0，所以 c(ab) 因为(ab)c，所以 c (ab)0，所以 (ab)(ab)0，所以 a 2b20，所以 |b|a|1. (2)因为 ( 2 )，所以 ( 2 )| | 22 0，又| |1，所 以 1
10、2，所以 |2 | 4| | 24 | |2 42410. 答案：(1)1(2) 10 将所给向量式两边平方，然后利用向量数量积的运算律及向量数 量积的定义求解 类型三向量的夹角与垂直 例 3(1)已知非零向量 a，b 满足|b|4|a|，且 a(2ab)，则 a 与 b的夹角为 () A. 3 B. 2 C.2 3 D. 5 6 (2)已知非零向量 a，b满足|a|1，且(ab)(ab) 1 2. 求|b|； 当 a b1 2时，求向量 a 与 b的夹角 的值 【解析】(1)设 a，b 的夹角为 ，因为 a(2ab)，所以 a (2a b)0，所以 2|a| 2a b0，即 2|a|2|a|
11、b|cos 0. 因为|b|4|a|，所以 2|a| 24|a|2cos 0，所以 cos 1 2 ，所以 2 3. (2)因为(ab)(ab)1 2，即 a 2b21 2，所以|b| 2|a|21 21 1 2 1 2，故|b| 2 2 . 因为 cos a b |a|b| 2 2 ，又 0 180 ，故 45 . 【答案】(1)C(2)见解析 (1)利用 a (2 a b )?a (2 a b )0，化简求解 (2)利用( a b )( a b)1 2化简，求 | b |，再利用数量积变形公式 求角 方法归纳 求向量夹角的基本步骤及注意事项 (1)步骤： (2)注意：在个别含有 |a|，|
12、b|与 a b的等量关系式中， 常利用消元思 想计算 cos 的值 跟踪训练 3(1)已知向量 a， b满足(a2b)(ab)6， 且|a|1， |b|2，则 a 与 b的夹角为 _； (2)已知向量 a，b，且|a|1，|b|2，(a2b)(3ab)， 求向量 a 与 b夹角的大小 求|a2b|的值 解析：(1)设 a 与 b的夹角为 ，依题意有： (a2b)(ab)a2a b2b 272cos 6，所以 cos 1 2， 因为 0 ，故 3. (2)设 a 与 b的夹角为 ， 由已知得 (a2b)(3ab)3a25a b2b 2310cos 80， 所以 cos 1 2，又 0 180 ，
13、 所以 60 ，即 a 与 b的夹角为 60 . 因为|a2b| 2a24a b4b2141613， 所以|a2b|13. 答案：(1) 3 (2)见解析 (1)将等式( a 2 b) ( a b)6 化简，求得夹角 (2)利用向量 垂直的性质： a b ? a b 0 求解 2.4.1 基础巩固 (25 分钟， 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1若|m|4，|n|6，m 与 n的夹角为 45 ，则 m n() A12 B12 2 C12 2 D12 解析：m n|m|n|cos 46cos 45 24 2 2 12 2. 答案：B 2已知 a b12 2，|a|4，
14、a 和 b的夹角为 135 ，则|b|() A12 B3 C6 D3 3 解析：a b|a|b|cos 135 12 2，又 |a|4，解得 |b|6. 答案：C 3已知向量 a，b 满足|a|2，|b|3，a (ba)1，则 a 与 b 的夹角为 () A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析：因为|a|2，a (ba)1， 所以 a (ba)a ba2a b221， 所以 a b3.又因为 |b|3，设 a 与 b的夹角为 ， 则 cos a b |a|b| 3 23 1 2. 又 0， ，所以 3. 答案：C 4若向量 a 与 b的夹角为 60 ，|b|4，(a2b)(a3b)72，
15、 则向量 a 的模是() A2 B4 C6 D12 解析：(a2b)(a3b)a2a b6b 2 |a|2|a| |b|cos 60 6|b| 2 |a|22|a|9672. |a|22|a|240. 解得|a|6 或|a|4(舍去) 答案：C 5若 a b0，则 a 与 b的夹角 的取值范围是 () A. 0， 2 B. 2， C. 2， D. 2， 解析：因为 a b0，所以 cos 0，所以 0， 2 . 答案：A 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 6如图所示，在 RtABC中，A90 ，AB1，则AB BC 的值 是_ 解析： 方法一AB BC |AB |BC |cos(180 B) |AB |BC |cosB|AB |BC | |AB | |BC | |AB | 2 1. 方法二|BA |1， 即BA 为单位向量，AB BC BA BC |BA |BC |cosB，而|BC | cosB|BA |，所以 AB BC |BA | 2 1. 答案：1 7已知向量 a，b 满足|a|1，|b|4，且 a b2，则 a 与 b 的夹 角为_
