《2021-2021学年高中数学人教A版必修一学案：1.1.2集合间的基本关系Word版含解析修订》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2021学年高中数学人教A版必修一学案：1.1.2集合间的基本关系Word版含解析修订（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.2集合间的基本关系 课标要点 课标要点学考要求高考要求 1.子集、真子集的概念bb 2.空集的概念bb 3.Venn图aa 知识导图 , 学法指导 , 1.注意辨析两大关系： (1)元素与集合的关系； (2)集合与集合的关系 2本节的学习重点是子集、真子集、空集的概念；难点是集合之 间关系的应用 3学习中要注意集合之间的关系的几种表述方法：自然语言、符 号语言、图形语言 . 知识点一子集 文字语言符号语言图形语言 对于两个集合 A，B，如果 集合 A中任意一个元素都 是集合 B 中的元素， 我们 就说这两个集合有包含 关系，称集合 A 为集合 B 的子集 对任意元素 xA，必有 xB，
2、则 A? B(或 B? A)， 读作 A 包含于 B或 B包含 A “A 是 B 的子集”的含义是：集合A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素，即任意xA 都能推出 xB. 知识点二集合相等 1自然语言：如果集合 A 是集合 B 的子集(A? B)，且集合 B 是集 合 A 的子集 (B? A)，此时，集合 A 与集合 B 中的元素是一样的，因此， 集合 A 与集合 B 相等 2符号语言：若 A? B，又 B? A，则 AB. (1)若 A? B，又 B? A，则 AB；反之，如果 AB，则 A? B， 且 B? A. (2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序 无关 知识
3、点三空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 规定：空集是任何集合的子集 知识点四真子集 文字语言符号语言图形语言 对于两个集合 A，B，如果 集合 A 是集合 B 的子集， 且在集合 B 中存在一个元 素不是集合 A 的元素，我 们称集合 A 是集合 B的真 子集 若集合 A? B，但 xB， 且 x?A，则 AB(或 BA)(读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A”) 在真子集的定义中，AB 首先要满足A? B，其次至少有一个 xB，但 x?A. 知识点五子集的性质 1任何一个集合都是它本身的子集，即A? A. 2对于集合 A，B，C， (1)若 A? B，B? C，则 A? C；
4、(2)若 AB，BC，则 AC. 小试身手 1判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)空集中只有元素 0，而无其余元素 () (2)任何一个集合都有子集 () (3)若 AB，则 A? B.() (4)空集是任何集合的真子集() 答案：(1)(2)(3)(4) 2.集合0,1 的子集有 () A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 解析：集合0,1 的子集为 ?，0 ，1 ，0,1 答案：D 3已知集合 Ax|1x0 ，则下列各式正确的是 () A0? AB0 AC?AD0 ? A 解析：集合 Ax|1x1 ，所以 0A，0 ? A，D 正确 答案：D 4能正确表示集合Mx|xR 且 0
5、x1 和集合 NxR|x2 x关系的 Venn图是() 解析： NxR|x 2x0,1 ， Mx|xR 且 0 x1 ， N M. 答案：B 类型一集合间关系的判断 例 1(1)下列各式中，正确的个数是() 0 0,1,2 ；0,1,2 ? 2,1,0 ；? 0,1,2 ；?0 ； 0,1 (0,1) ；00 A1B2C3D4 (2)指出下列各组集合之间的关系： A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)； Ax|x 是等边三角形 ，Bx|x 是等腰三角形 ； Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN* 【解析】(1)对于，是集合与集合的关系，应为00,1,2 ； 对于，实
6、际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于， 空集是任何集合的子集；对于，0 是含有单元素 0 的集合，空集不 含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以?0 ；对于 ，0,1 是含有两个元素0 与 1 的集合，而 (0,1) 是以有序数组 (0,1) 为元素的单元素集合，所以0,1 与(0,1) 不相等；对于 ，0 与0 是 “属于与否 ”的关系，所以 00 故是正确的，应选 B. (2)集合 A 的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对， 故 A与 B 之间无包含关系 等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三 角形，故 AB. 方法一两个集合都表示正奇数组成的集
7、合，但由于 nN *，因 此集合 M 含有元素 “1”，而集合 N 不含元素 “1”，故 NM. 方法二由列举法知M1,3,5,7，N3,5,7,9，所以 NM. 【答案】(1)B(2)见解析 根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断， 对于应先明确两个集合中的元素是点还是实数 方法归纳 判断集合间关系的方法 (1)用定义判断 首先，判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B，若是， 则 A? B，否则 A 不是 B 的子集； 其次，判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A， 若是，则 B? A，否则 B 不是 A 的子集； 若既有 A? B，又有 B? A，则 AB. (2
8、)数形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进 行判断，但要注意端点值的取舍 跟踪训练1(1)若集合 M x|x 210，T1，0,1，则 M 与 T 的关系是 () AMTBMTCMTDM T (2)用 Venn图表示下列集合之间的关系：Ax|x 是平行四边形 ， Bx|x 是菱形 ，C x|x 是矩形 ，Dx|x 是正方形 解析：(1)因为 Mx|x210 1,1，又 T1,0,1，所以 MT. (2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再 画 Venn图如图 答案：(1)A(2)见解析 学习完知识点后，我们可以得到B? A，C? A，D? A，D
9、? B， D? C. 类型二子集、真子集的个数问题 例 2(1)已知集合 AxR|x23x20 ，BxN|0x5， 则满足条件 ACB 的集合 C 的个数为 () A1B2C3D4 (2)已知集合 AxR|x2a， 使集合 A 的子集个数为 2 个的 a 的 值为() A2 B4 C0 D以上答案都不是 【解析】(1)由 x23x20， 得 x1 或 x2， 所以 A1,2 由 题意知 B1,2,3,4 ，所以满足条件的C 可为1,2,3 ，1,2,4 (2)由题意知，集合 A 中只有 1 个元素，必有 x 2a 只有一个解； 若方程 x2a 只有一个解，必有a0. 【答案】(1)B (2)C
10、 (1)先用列举法表示集合A，B，然后根据 ACB 确定集合 C. (2)先确定关于 x 的方程 x 2a 解的个数，然后求 a 的值 方法归纳 求集合子集、真子集个数的三个步骤 跟踪训练 2(1)已知集合 MxZ|1xm，若集合 M 有 4 个 子集，则实数 m() A1 B2 C3 D4 (2)若集合 A1,2,3 ，且 A 中至少含有一个奇数，则这样的集合 有_个 解析：(1)根据题意，集合 M 有 4 个子集，则 M 中有 2 个元素，又 由 MxZ|1xm，其元素为大于等于1 而小于等于 m 的全部整 数，则 m2. (2)若 A 中含有一个奇数，则A 可能为 1 ，3 ，1,2 ，
11、3,2 ；若 A 中含有两个奇数，则A1,3 答案：(1)B(2)5 由 A 中含有奇数的个数分类：A 中含 1 个奇数， 2 个奇数 类型三根据集合的包含关系求参数 例 3已知集合 Ax|1ax2，Bx|1x0 时，A x 1 ax 2 a . 又Bx|1x1，且 A? B， 1 a1， 2 a1. a2. (3) 当 a0 时，A x 2 ax 1 a . A? B， 2 a1， 1 a1. a2. 综上所述， a 的取值范围是 a|a0，或 a2，或 a2. 欲解不等式1ax0，a0 进行讨论 A? B 用数轴表示如图所示： 由图易知， 1 a和 2 a需在 1 与 1 之间当 1 a1
12、，或 2 a1 时，说明 A 与 B 的某一端点重合， 并不是说其中的元素能够取到端点，如2 a 1 时， A x 1 2x1 ，x 取不到 1. aNBMN CNMDM? N 解析：因为 y(x1)222， 所以 My|y2，所以 NM. 答案：C 3 已知集合 A1,2,3 ， B3， x2,2， 若 AB， 则 x 的值是() A1 B1 C 1 D0 解析：由 AB 得 x21，所以 x 1，故选 C. 答案：C 4已知集合A1,0,1，则含有元素0 的 A 的子集的个数为 () A2 B4 C6 D8 解析：根据题意， 含有元素 0 的 A 的子集为 0 ，0,1 ，0，1， 1,0
13、,1，共 4 个 答案：B 5 设 Ax|2x3， Bx|x3 Bm3 Cm3 Dm3 解析：因为 Ax|2x3，Bx|x0 ，Bx|2x50，则这两个集合的 关系是_ 解析：Ax|x30 x|x3，Bx|2x50 x x5 2 . 结合数轴知 AB. 答案：AB 7设集合 A1,3，a，B1 ，a2a1 ，且 B? A，则 a 的值 为_ 解析：A1,3，a，B1，a2a1 ，且 B? A， a2a1A，a2a13 或 a2a1a. 由 a2a13，得 a2 或 a 1； 由 a2a1a，得 a1. 经检验， a1 时集合 A，B 不满足集合中元素的互异性，舍去 故 a1 或 a2. 答案：
14、1 或 2 8已知 Ax|3xa ，A? B，则实数 a 的取值范 围是_ 解析：在数轴上画出集合A. 又因为 A? B，所以 a3， 当 a3 时也满足题意， 所以 a3. 答案：a|a3 三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分) 9已知 M2，a，b，N2a,2，b 2，且 MN，试求 a 与 b 的值 解析：方法一根据集合中元素的互异性， 有 a2a， bb2， 或 ab 2， b2a， 解得 a0 b1 或 a0， b0， 或 a 1 4， b 1 2. 再根据集合中元素的互异性，得 a0， b1， 或 a 1 4， b1 2. 方法二两个集合相同，则其中的对应元素相同 ab2a
15、b2， a b2a b 2， 即 ab b1 0， ab 2b1 0. 集合中的元素互异， a，b 不能同时为零 当 b0 时，由 得 a0 或 b 1 2. 当 a0 时，由 得 b1 或 b0(舍去) 当 b 1 2时，由 得 a 1 4. 当 b0 时，a0(舍去) a0， b1， 或 a1 4， b1 2. 10已知 Ax|x 23x20 ，Bx|ax20，且 B? A，求由 实数 a 的值组成的集合 C. 解析：由 x 23x20，得 x1 或 x2. 所以 A1,2 因为 B? A， 所以对 B 分类讨论如下： 若 B?，即方程 ax20 无解，此 时 a0； 若 B?，则 B1
16、或 B2 当 B1 时，有 a20，即 a2； 当 B2 时，有 2a20，即 a1. 综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合 C0,1,2 能力提升 (20 分钟， 40 分) 11世界羽毛球锦标赛于2018 年 7 月 30 日至 8 月 5 日在中国南 京举行，若集合A 参加羽毛球锦标赛的运动员，集合 B参加羽 毛球锦标赛的男运动员 ，集合 C参加羽毛球锦标赛的女运动员， 则下列关系正确的是 () AA? BBB? C CC ADBA 解析：易知集合 B，C 是集合 A的子集，且是真子集，而B，C 之 间没有关系，因此只有D 选项正确， 答案：D 12已知集合A1,3,5 ，则集合A 的所有子集的元素之和为 _ 解析：集合 A的子集分别是： ?，1 ，3 ，5 ，1,3 ，1,5 ， 3,5 ，1,3,5 注意到 A 中的每个元素出现在A 的 4 个子集，即在其 和中出
