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1、回顾 5立体几何 必记知识 1空间几何体的表面积和体积 几何体侧面积表面积体积 圆柱S侧2 rl S表2 r(rl)VS底h r 2h 圆锥S侧 rl S表 r(rl)V 1 3S 底h1 3 r 2h 圆台S侧( rr)l S 表( r2r 2rl r l) V 1 3(S 上S下 S上S下)h 1 3( r 2r2 rr )h 直棱柱 S 侧Ch(C 为底面周 长) S表S侧S 上S下(棱 锥的 S上0) V S底h 正棱锥 S侧 1 2Ch( C 为底面周 长， h 为斜高 ) V 1 3S 底h 正棱台 S 侧1 2(CC) h(C，C 分别为上、下底面周 长， h 为斜高 ) V 1
2、 3(S 上S下 S上S下)h 球S 4 R 2 V 4 3 R 3 2.空间线面位置关系的证明方法 (1)线线平行 ： a a? b ? ab， a b ? ab， a b ? ab， ab ac ? cb. (2)线面平行 ： ab b? a? ? a ， a? ? a ， a a? ? a . (3)面面平行： a? ，b? abO a ，b ? ， a a ? ， ? . (4)线线垂直： a b? ? ab. (5)线面垂直： a? ，b? abO la， lb ? l ， l a? ，al ? a ， a ? a ， ab a ? b . (6)面面垂直： a? a ? ， a a
3、 ? . 提醒 要注意空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理中的条件.如由 ， l，ml， 易误得出m的结论 ，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m? 的限制条 件. 3用空间向量证明平行垂直 设直线 l 的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面 、 的法向量分别为 (a2，b2，c2)， (a3，b3，c3)则有： (1)线面平行 l ? a ? a0? a1a2b1b2c1c20. (2)线面垂直 l ? a ? a k ? a1ka2， b1 kb2，c1kc2. (3)面面平行 ? ? ? a2a 3，b2b3，c2c3. (4)面面垂直 ? ? 0? a2a3b2b3c2c30.
4、 4用向量求空间角 (1)直线 l1，l2的夹角 有 cos |cosl1，l2|(其中 l1，l2分别是直线 l1， l2的方向向量 ) (2)直线 l 与平面 的夹角 有 sin |cosl，n|(其中 l 是直线 l 的方向向量， n 是平面 的法向量 ) (3)平面 ，的夹角 有 cos |cosn1，n2|，则 -l-二面角的平面角为 或 (其 中 n1，n2分别是平面 ，的法向量 ) 提醒 在处理实际问题时，要注意异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的 取值范围 ，要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角. 必会结论 1平行、垂直关系的转化示意图 2球的组合体 (1)
5、球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 (2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直 径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 (3)球与正四面体的组合体：棱长为a 的正四面体的内切球的半径为 6 12 a(正四面体高 6 3 a 的 1 4)，外接球的半径为 6 4 a(正四面体高 6 3 a 的 3 4) 必练习题 1设 m，n 是两条不同的直线， ，是两个不同的平面，有下列四个命题： 若 m? ， ，则 m ； 若 ，m? ，则 m ； 若 n ，n ， m ，则 m ； 若 m ，m ，则 . 其中正确命
6、题的序号是() AB CD 解析： 选 D.对于 ，注意到直线m 可能与平面 ，的交线平行 ，此时结论不成立，因此 不正确；对于 ， 直线 m 与平面 必没有公共点 ，因此 m ，正确；对于 ， 由 m ， n ，得 m n，又 n ，因此 m ，正确；对于 ， 平面 ，可能是相交平面，因此 不正确综上所述，其中正确命题的序号是， 选 D. 2已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为() AB 3 2 C2D3 解析： 选 C.依题意 ，作出圆锥与球的轴截面， 如图所示 ，设球的半径 为 r， 易知轴截面三角形边AB 上的高为2 2， 因此 2 2r 3 r 1，解得 r
7、 2 2 ， 所以圆锥内切球的表面积为4 2 2 2 2 ，故选 C. 3已知 S，A，B、C 是球 O 表面上的不同点，SA平面 ABC，ABBC，AB1，BC2， 若球 O 的表面积为4 ，则 SA() A 2 2 B1 C2 D 3 2 解析： 选 B.根据已知把S-ABC 补成如图所示的长方体因为球 O 的表面积为4 ，所以球 O 的半径 R1，2RSA 2122，解得 SA1，故选 B. 4棱长都为 2 的直平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，BAD 60，则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1所成角的正弦值为 () A 1 2 B 2 2 C 3 4 D 3 8 解析： 选
8、C.过点 A1作直线 A1MD1C1， 交 C1D1的延长线于点M，连接 CM， 可得 A1M 平面DD1C1C，则A1CM 就是直线 A1C 与平面 DD1C1C 所成的角由所有棱长均为2 及 A1D1C1120， 得 A1MA1D1sin 60 3，又 A1CA1C 2 1CC 2 1 （2 3） 2 224， 所以 sinA1CMA 1M A1C 3 4 ，故选 C. 5已知矩形ABCD，AB1，BC2，将 ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻 折，在翻折过程中，() A存在某个位置，使得直线AC 与直线 BD 垂直 B存在某个位置，使得直线AB 与直线 CD 垂直 C存在某个位
9、置，使得直线AD 与直线 BC 垂直 D对任意位置，三对直线“AC 与 BD”“ AB 与 CD”“ AD 与 BC”均不垂直 解析： 选 B.若存在某个位置，使得 ACBD，作 AEBD 于 E，则 BD 平面 AEC，所以 BDEC，在ABD 中，AB 2BE BD，BE 1 3 ，而在 BCD 中 ，BC2 BE BD，BE 2 3 ，两 者矛盾故A 错误 若存在某个位置，使得 ABCD，又因为 ABAD，则 AB平面 ACD，所以 ABAC， 故 AC1，故 B 正确 ，D 错误 若存在某个位置使得AD BC，又因为 ADAB，则 AD平面 ABC，所以 ADAC， 而斜边 CD 小于
10、直角边AD，矛盾 ， 故 C 错误 6.如图，在四棱锥P-ACBD 中，底面ACBD 为正方形， PD平面 ACBD，BC ACa，PAPB2a，PC3a，则点 C 到平面 PAB 的 距离为 _ 解析： 根据条件可以将四棱锥置于一个正方体中进行研究，如图所示 ，易知 AB2a，设点 C 到平面PAB 的距离为h，因为 VP-ABCVC-PAB，即 1 3 S ABCPD 1 3S PABh，所以 1 3 1 2a 2a 1 3 3 4 (2a)2h，解得 h 3 3 a， 所以点 C 到平面 PAB 的距离为 3 3 a. 答案： 3 3 a 7正方体 ABCD -A1B1C1D1的棱长为
11、1，若动点 P 在线段 BD1上运动，则 DC AP 的取值范 围是 _ 解析： 以 DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，DD1所在的直线为z 轴，建立 空间直角坐标系D-xyz. 则 D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)， B(1，1，0)，D1(0， 0，1) 所以 DC (0，1，0)，BD 1 (1，1，1) 因为点 P 在线段 BD1上运动 ， 所以设 BP BD1 ( ， ， )， 且 0 1. 所以 AP AB BP DC BP ( ，1 ， )， 所以 DC AP 1 0，1 答案： 0， 1 8.如图，在正三角形ABC 中， D，E，F 分别为各边的中点，G，H 分别为 DE，AF 的中点，将 ABC 沿 DE，EF，DF 折成四面体P-DEF ， 则四面体中异面直线PG 与 DH 所成的角的余弦值为_ 解析： 折成的四面体是正四面体，如图连接 HE，取 HE 的中点 K，连接 GK， PK，则 GKDH. 故PGK 即为所求的异面直线所成的角设这个正四面体的棱长为2， 在PGK 中， PG3， GK 3 2 ，PK12 3 2 2 7 2 ，故 cosPGK （3）2 3 2 2 7 2 2 23 3 2 2 3， 即异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值是 2 3. 答案： 2 3
