《2021-2021学年高中数学人教A版必修4学案：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角Word版含解析修订》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2021学年高中数学人教A版必修4学案：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角Word版含解析修订（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 考试标准 课标要点 学考要 求 高考要 求 数量积的坐标表示cc 两个向量夹角 的坐标运算 b b 平面向量模 的坐标运算 b b 知识导图 学法指导 1.学习了本节后，我们在用向量处理平面图形问题时就有了两种方 法，通过一题两解，体会基底法和坐标法的优劣及选择依据 2通过数形结合，对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培 养学生联想的记忆方法 . 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b的夹角为 . 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即 a bx1x2y1y2 两个向量垂
2、直 ab? x1x2y1y20 状元随笔对数量积的坐标表示的理解 (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和； (2)引入坐标运算后，使得平面向量数量积的运算和两个向量的坐 标运算联系起来，从而使得向量的工具性作用更强； (3)平面向量的坐标可以把几何问题转化为代数问题，用向量的坐 标运算来实现几何问题的求解，数形结合的思想在数量积的应用中将 体现更多 2三个重要公式 向量模公式：设 a(x1，y1)，则|a|x2 1y 2 1 两 点 间 距 离 公 式 ： 若A(x1， y1) ， B(x2， y2) ， 则 | AB | x2x1 2 y 2y1 2 向量的夹角公式：设两非零向量a
3、(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 ，则 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x 2 1y 2 1x 2 2y 2 2 状元随笔对向量模长公式的理解 (1)模长公式是数量积的坐标表示a bx 1x2y1y2 的一种特例， 当 a b 时，则可得 |a |2x2 1y 2 1； (2)若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x2x1，y2y1)，所以|AB | x2x1 2 y 2y1 2，即|AB |的实质是A，B 两点间的距离或线段 AB 的长度，这也是模的几何意义 小试身手 1判断下列命题是否正确 . (正确的打“”，错误的打“”) (1)两个非零
4、向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足 x1y2x2y10，则 向量 a，b 的夹角为 0 .() (2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和() (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定 为钝角 () 答案：(1)(2)(3) 2已知 a(3,4)，b(5,2)，则 a b的值是 () A23B7 C23 D7 解析：由数量积的计算公式得， a b(3,4) (5,2)3542 7. 答案：D 3已知 a(2,1)，b(x，2)，且 ab，则 x 的值为() A1 B0 C1 D2 解析：由题意， a b(2,1) (x，2)2x20，解得 x1. 答案：A
5、 4已知 a(1，3)，b(2,0)，则|ab|_. 解析：因为 ab(1, 3)，所以|ab|1 2 3 22. 答案：2 类型一数量积的坐标运算 例 1(1)设向量 a(1，2)，向量 b(3,4)，向量 c(3,2)，则 向量(a2b)c() A(15,12) B0 C3 D11 (2)已知向量 a(1,2)， b(2， x)， 且 a b1， 则 x 的值等于 () A.1 2 B 1 2 C.3 2 D 3 2 【解析】(1)依题意可知， a2b(1，2)2(3,4)(5,6)， 所以(a2b)c(5,6) (3,2)53623. (2)因为 a(1,2)，b(2，x)，所以 a b
6、(1,2) (2，x)122x 1，解得 x 3 2. 【答案】(1)C(2)D (1)先求出 a 2 b ，然后利用平面向量的数量积求出( a 2 b) c . (2)利用平面向量的数量积运算求出a b，由 a b 1 得出关 于 x 的方程求解 方法归纳 数量积坐标运算的两个途径 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用 数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算 跟踪训练 1已知 a(2，1)，b(3,2)，若存在向量 c，满足 a c 2，b c5，则向量 c_. 解析：设 c(x，y)，因为 a c2，b c5，所以 2xy2， 3x2y5， 解 得 x9 7， y4
7、7， 所以 c 9 7， 4 7 . 答案： 9 7， 4 7 设 c (x，y)，利用平面向量的数量积运算，列出关于x，y 的方 程求解 类型二平面向量的模 例 2(1)设 xR，向量 a(x,1)，b(1，2)，且 ab，则|a b|() A.5 B. 5 2 C2 5 D5 (2)已知向量 a(1,2)，b(3,2)，则|ab|_，|ab| _. 【解析】(1)因为 a(x,1)， b(1， 2)， 且 ab， 所以2x11 0，解得 x 1 2. 所以 ab 1 2，1 (1， 2) 1 2，1 ， |ab| 1 2 2 12 5 2 . (2)由题意， 知 ab(2,4)， ab(4
8、,0)， 所以|ab|2 242 2 5，|ab|4. 【答案】(1)B(2)2 54 (1)两向量 a (x1，y1)， b (x2，y2)共线的坐标表示： x1y2x2y1 0. (2)已知 a (x，y)，则| a |x 2y2. 方法归纳 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a| 2a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问 题 (2)坐标表示下的运算 若 a(x，y)，则 a aa2|a| 2x2y2，于是有 |a| x2y2. 跟踪训练 2(1)设平面向量 a(1,2)，b(2，y)，若 ab，则|3a b|等于() A.5 B. 6 C. 17 D.
9、26 (2)已知|a|10，b(1,2)，且 a b10，则 a 的坐标为 _ 【解析】(1)因为 ab，所以 1 y2(2)0， 解得 y4，从而 3ab(1,2)，|3ab|5. (2)设 a 的坐标为 (x，y)，由题意得 x2y10， x 2y210， 即 x2y10， x 2y2100， 解得 x10， y0， 或 x6， y8， 所以 a(10,0)或 a(6,8) 【答案】(1)A(2)(10,0)或(6,8) (1)由 a b 求 y，再求 3 a b 的坐标，利用公式求模 (2)设 a (x，y)，由已知列方程组，求x，y. 类型三平面向量的夹角 (垂直) 例 3(1)已知向
10、量 a(1,2)，b(2，4)，|c| 5，若(cb)a 15 2 ，则 a 与 c的夹角为 () A.30 B60 C120 D150 (2)已知向量 a(1,1)，b(2，3)，若 a2b与 a 垂直，则实数 等于_ 【解析】(1)由 a b10，得 (cb)ac ab ac a1015 2 ，c a 5 2. 设 a 与 c 的夹角为 ，则 cos a c |a|c| 5 2 55 1 2. 又 0 ，180 ， 120 . (2)方法一 a2b( ， )2(2，3)( 4， 6) ( a2b)a，( a2b)a0，( 4)( 6)0， 1. 方法二( a2b)a，( a2b)a0，即
11、a22a b， (11)2(1,1) (2，3)，即 2 2， 1. 【答案】(1)C(2)1 (1)先求 a b ， 再由已知求 c a最后利用 cos a c | a |c | ， 求夹角 (2) 已知向量垂直求参数， 由相应向量的数量积为零建立关于参数的方程， 求解即可 方法归纳 利用数量积求两向量夹角的步骤 数量积 :利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数 量积. 模:利用|a|计算出这两个向量的模 . 余弦值:由公式 cos x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x 2 2y 2 2 直接求出 cos 的值. 角:在 0 内，由 cos 的值求角 . 跟踪训练 3已知平面
12、向量 a(3,4)， b(9， x)， c(4， y)， 且 ab， ac. (1)求 b与 c； (2)若 m2ab，nac，求向量 m，n 的夹角的大小 解析：(1)因为 ab，所以 3x49，所以 x12. 因为 ac，所以 344y0，所以 y3，所以 b(9,12)，c (4，3) (2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4， 3)(7,1) 设 m、 n 的夹角为 ， 则 cos m n |m|n| 37 4 1 3 2 42 7 212 25 25 2 2 2 . 因为 0， ，所以 3 4 ， 即 m，n 的夹角为 3 4 . (1)由 a b 求 x
13、，由 a c 求 y. (2)利用 cos m n |m |n | ，求夹角 2.4.2 基础巩固 (25 分钟， 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1 若向量 a(3，m)，b(2， 1)， a b0，则实数 m 的值为() A 3 2 B.3 2 C2 D6 解析：依题意得 6m0，m6，选 D. 答案：D 2向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a() A1 B0 C1 D2 解析：a(1，1)，b(1,2)， (2ab)a(1,0) (1，1)1. 答案：C 3已知 a，b 为平面向量，且a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b 夹角的余弦值等于 (
14、) A. 8 65 B 8 65 C.16 65 D 16 65 解析：a(4,3)，2a(8,6)又 2ab(3,18)， b(5,12)，a b203616. 又|a|5，|b|13， cosa，b 16 513 16 65. 答案：C 4已知向量a(1,2)，b(3,1)，c(k,4)，且(ab)c，则 k () A6 B1 C1 D6 解析：a(1,2)，b(3,1)，ab(4,1)，(ab)c， 4k40，解得 k1. 答案：C 5设向量 a(x,1)，b(1，3)，且 ab，则向量 a3b与 b 的夹角为 () A. 6 B. 3 C.2 3 D.5 6 解析：向量 a(x,1)，
15、b(1， 3)，且 ab，则 a bx30， 得 x3， a3b( 3， 1)3(1， 3)(0,4)， (a3b)b01 4(3)4 3，|a3b|4，|b|2，设向量 a3b与 b的夹 角为 ，则 cos a3b b |a3b| |b| 4 3 42 3 2 ，0 ， 5 6 . 答案：D 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 6a(4,3)，b(1,2)，则 2|a| 23a b_. 解析：因为 a(4,3)，所以 2|a|22(4 232)250. a b41322. 所以 2|a| 23a b503244. 答案：44 7 设向量 a(1,0)， b(1， m) 若 a(mab)， 则 m_. 解析：由题意得， mab(m1，m)，根据向量垂直的充要条 件可得 1(m1)0(m)0，所以 m1. 答案：1 8已知平面向量 a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且 c与 a 的夹角等于 c与 b的夹角，则 m_. 解析：c(m4,2m2)，|a|5，|b|2 5， 设 c，a 的夹角为 ，c，b的夹角为 ， 又因为 cos c a |c|a|，cos c b |c|b|， 由题意知 c a |a| c b |b| ，即 5m8 5 8m20 2 5 . 解得 m2. 答案：2 三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分) 9已知平面向量 a(1，x)，b
