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1、2010 学年第一学期期中考试高三数学试卷（理） 一. 填空题（本大题满分40 分）本大题共有10 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分. 1. 若 31 12 nn CP，则正整数n的值为 _10_. 2. 函数31(0) x yx的反函数是 3 log (1)(2)yxx 3. 记 n x x) 1 2(的展开式中第m 项的系数为 m b，若 43 2bb，则n的值为 _5_. 4. 方程 2cos2 (lg16)2lg 4 x 的解集为|, 6 xxkkZ. 5. 在平面直角坐标系 xoy中，以ox轴为始边作两个锐角 ,，它们的终边分别
2、与单位圆相 交于 A、 B 两点，已知 A、 B 的横坐标分别为 2 2 5 , 105 则 tan()的值为 _3_. 6. 已知函数 2 1fxx ,g xx，若存在Rx使fxb g x成立， 则实数 b的取值范 围是 _(,0)(4,)_. 7. 不等式 9 log ()10 xx的解集是 _ 1,0)_. 8. 已 知 函 数 34 (2 ) ( ) 2 (2) 1 xx f x x x ， 则 当( )1f x时 ， 自 变 量x的 取 值 范 围 是 _ 5 (,1,3 3 _. 9. 已知函数 2 ( )4sin4cos1f xxxa， 若关于 x 的方程( )0fx在区间 3
3、2 4 ，上 有实数解，则实数a 的取值范围是 _ 4,5_. 10. 设fx是定义在R上的奇函数， 且对于任意的xR，110fxfx恒成立， 当0,1x时，2fxx.若方程fxax恰好有5 个不同的解，则实数a的取值范围 是_ 222 , 375 _. 二. 选择题（本大题满分20 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，将代表答案 的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分. 11若 |,12| 2 xyyNxyxM，则 M ，N两个集合的关系是（ D ） A(1,1)MNBMN CNMDMN 12 “(5 ) 0 x x成立”是“14x成立”的（ A ） A 充分而不必要条件 B
4、必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件 13. 在ABC 中，, ,a b c分别是角,A B C的对边，且 2 cos 22 Abc c ，则ABC 是（B ） A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 14. 已知二次函数( )()()f xxaxb（其中ab）的图像如下面右图所示，则函数 ( ) x g xab的图像是 ( A ) 三. 解答题（本大题满分90 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 15 （本题满分12 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分
5、6 分 . 已知集合 1|2|xxA，集合2 2 1 | x x xB，集合|1Cx axa （1）求 AB； （2）若BC，求实数a的取值范围 解： （1） |2| 1 |1Axxx x或3x，2 分 2 2 1 | x x xB=52xx4 分 所以 AB= 21xxx或6 分 （2）因为BC，所以521aa或，10 分 因此实数a的取值范围是51aa或12 分 16. （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分8 分，第 2 小题满分 6 分 . 在ABC中， 510 cos,cos,2 510 ABAB （1）求角 C； （2）求ABC的面积 f (x) 解： （1）由 5
6、 cos 5 A， 10 cos 10 B，得0 2 AB 、， 所以 23 sinsin. 510 AB， 4 分 因为 2 coscos()cos()coscossinsin 2 CABABABAB， 6 分 又0C，故. 4 C8 分 （2）根据正弦定理得 sin6 sinsinsin 10 ABACABB AC CBC ， 11 分 所以ABC的面积为 ABC S 16 sin. 25 AB ACA 14 分 17 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分8 分，第 2 小题满分 6 分 . 已知函数 2 ( )2sincos2 3 sin3 444 xxx f x （1
7、）求函数( )f x的最小正周期及最值； （2）令 5 ( ) 3 g xfx，判断函数 ( )g x的奇偶性，并加以证明 解： （1） 2 ( )sin3(12sin) 24 xx f xsin3cos 22 xx 2sin 23 x 4 分 ( )f x的最小正周期 2 4 1 2 T6 分 当 sin1 23 x 时，( )f x取得最小值2；当 sin1 23 x 时，( )f x取得最大值2 8 分 （2）由（ 1）知 ( )2sin 23 x f x 又 5 ( ) 3 g xfx 15 ( )2sin2sin 23322 x g xx 2sin 22 x 2cos 2 x 11
8、分 B C D A ()2cos2cos( ) 22 xx gxg x 13 分 函数( )g x是偶函数14 分 18 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分9 分，第 2 小题满分 5 分 . 现建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为 0 60（如图），考虑到防洪堤 坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为 36 平方米，为了使堤的上面与两侧面的水 泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小. （1）求外周长l的最小值，此时防洪堤高h 为多少？ （2） 如防洪堤的高限制在32, 3范围内， 则外周长l的最小应为 多少米？ 【解】 （1）依题意有
9、36)( 2 1 hBCAD，hBChBCAD 3 32 60cot2 0 所以h h BChBC 3 336 ), 3 32 2( 2 1 3 分 所以 26 36 3 3 336 60sin 2 2 0 h hh h h BCABl 6分 当 h h 36 3，即6h时等号成立 . 所以外围的周长的最小值为26米，此时堤高6h米.-9 分 （2）由（ 1）知) 6 (3 h hl， 因为函数) 6 (3 h hl在32, 3递增 11 分 所以当3h时， min 6 3(3)5 3 3 l（米） 13 分 故外周长最小应为5 3米. 14 分 19. （本题满分18 分）本题共有2 个小题
10、，第1 小题满分10 分，第 2 小题满分8 分. 请认真阅读并思考以下五个命题： 若函数)(xf的图像与其反函数)( 1 xf 的图像存在公共点，则该公共点必在直线xy 上. 函数 1 ( ) 21 x f xm是奇函数的充要条件是 1 2 m. 若定义在R 上的函数( )f x满足 13 ()() 22 fxfx和(1)( )f xfx， 则函数( )fx 一定是偶函数. 已 知 函 数)(xf在(,)上 是 增 函 数 ， 若Rba， 且0ab， 则 ()()()(fafbfafb. 设函数 1 2 )( x mx xf的图像关于直线xy对称，则函数)(xf在区间)1( ，上是 减 函数
11、 . （1）请你将五个命题中真命题的序号全部选择出来，并选择其中一个加以证明； （2）请你将五个命题中假命题的序号全部选择出来，并选择其中一个加以证明. 解： （1）真命题的序号是. 3 分 的证明：由(1)( )f xf x得(1)( )f xf x， (2)(1)1(1)( )( )f xfxf xf xf x. 又由 13 ()() 22 fxfx得()(2)fxf x，()( )fxfx，函数( )f x是偶函数 . 故命题是真命题. 的证明：因为)(xf在 R 上是增函数，且 ab ba ，所以 )()( )()( afbf bfaf . 同向相加得)()()()(bfafbfaf.
12、 故命题是真命题. 的 证明：由 1 2 )( x mx xf得 mx x xf 2 )( 1 . 依题意知， 函数)(xf与其反函数)( 1 xf 是同一函数， 1m. 1 2 )( x x xf. 设 则且,),1(, 2121 xxxx 1221 12 1212 223() ()()0 11(1)(1) xxxx f xf x xxxx ， 函数 1 2 )( x x xf在), 1(上是减函数 . 故命题是真命题. 10 分 （2）假命题的序号是. 12 分 的证明：取 x xf 16 1 )(，则xxf 16 1 1 log)( . 函数)(xf的图像与其反函数)( 1 xf 的图像
13、有三个公共点，且只有一个公共点在直线xy 上，而另外两个公共点) 4 1 , 2 1 (和) 2 1 , 4 1 (都不在直线xy上. 所以命题是假命题. 的证明：当 1 2 m时， 11 ( ) 212 x f x . 由 1 115 ( 1) 2122 f ， 11 11 (1) 2122 f ，得( 1)(1)ff. 所以函数( )f x不是奇函数 . 故命题是假命题. 18 分 20. （本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分7 分，第 3 小 题满分 7 分. 已知函数 1 ( )2 x f x定义在 R 上. （1）若存在x，使得( )()f
14、xfxa成立，求实数a的取值范围； （2）若( )f x可以表示为一个偶函数( )g x与一个奇函数( )h x之和，设( )h xt， 2 ( )(2 )2( )1()p tgxmh xmmmR，求出( )p t的解析式； （3）若对任意1, 2x都有 2 ( )1p tmm成立，求实数m 的取值范围 . 解： （1）依题意有 11 22 xx a，即关于x的方程 2 2 2 2 x x a有解 . 2 分 而 22 2 22 2 24 22 xx xx ，当且仅当 2 2 2 2 x x ，即 0 x 时等号成立， 故实数 m 的取值范围是4,). 4 分 （2）假设( )( )( )f
15、xg xh x，其中( )g x为偶函数，( )h x为奇函数， 则有()()()fxgxhx，即()( )( )fxg xh x， 由解得 ( )() ( ) 2 fxfx g x， ( )() ( ) 2 f xfx h x. 6分 ( )f x定义在 R 上，( )g x，( )h x都定义在R 上 . ()( ) ()( ) 2 fxf x gxg x， ()( ) ()( ) 2 fxf x hxh x. 满足( )g x是偶函数，( )h x是奇函数，又 1 ( )2 x f x， 11 ( )()221 ( )2 222 xx x x f xfx g x， 11 ( )()221 ( )2 222 xx x x f xfx h x. 8 分 由 1 2 2 x x t，则tR， 平方，得 222 2 11 (2)22 22 xx xx t， 22 2 1 (2 )22 2 x x gxt， 故 22 ( )21p ttmtmm. 11 分 （3）( )th x在1, 2x上是增函数， 12 分 315 24 t. 13 分 222 ( )211p ttmtmmmm对于 3 15 , 24 t恒成立， 2 21 () 22 tt m tt 对于
