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1、考点 26 平面向量的数量积与平面向量应用举例 1、已知|a|6，|b|3，向量a在b方向上的投影是4，则ab为 ( ) A12 B8 C 8 D2 【答案】 A 【解析】 |a|cos a，b 4，|b| 3，ab|a|b| cosa，b34 12. 2、若O是ABC所在平面内一点，且满足|OB OC | |OB OC 2OA | ，则ABC的形状是 ( ) A等腰三角形B直角三角形 C等腰直角三角形D等边三角形 【答案】 B 【解析】OB OC 2OA OB OA OC OA AB AC ，OB OC CB AB AC ，所以 |AB AC | |AB AC | ? |AB AC | 2
2、| AB AC | 2? AB AC 0，所以三角形为直角三角形故选B. 3、已知平面向量a( 2，m) ，b(1 ，3) ，且 (ab)b，则实数m的值为 ( ) A 2 3 B2 3 C4 3 D6 3 【答案】 B 【解析】a( 2，m) ，b(1 ，3) ，ab( 2，m) (1 ，3) ( 3，m3) 由 (ab) b，得 (ab) b 0，即 (3，m3) (1，3) 33m 33m60，解得m2 3. 故选 B. 4、设M为边长为4 的正方形ABCD的边BC的中点，N为正方形区域内任意一点( 含边界 ) ，则AM AN 的最大 值为 ( ) A32 B24 C20 D16 【答案
3、】 B 【解析】 以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(4,0) ，C(4,4)，M(4,2) ，设N(x， y)(0 x，y4)，则AM AN 4x 2y4424 24，当且仅当AN AC 时取等号，故选B. 5、设向量a，b满足|a|1，|ab|3，a(ab) 0，则|2ab|( ) A2 B2 3 C4 D4 3 【答案】 B 【解析】由a(ab) 0，可得aba 21，由 | ab| 3，可得 (ab) 2 3，即 a 22a bb 23，解 得b 24. 所以 (2 ab) 2 4a 24a bb 212，所以 |2 ab| 2 3. 6、已知ABC的外接圆半
4、径为2，D为该圆上的一点，且AB AC AD ，则ABC的面积的最大值为( ) A3 B4 C33 D43 【答案】 B 【解析】由题设AB AC AD ，可知四边形ABDC是平行四边形由圆内接四边形的性质可知BAC90， 且当ABAC时，四边形ABDC的面积最大，则ABC的面积的最大值为Smax 1 2AB AC1 2(2 2) 24. 故选 B. 7、已知|a|1，|b|6，a(ba) 2，则向量a与b的夹角为 ( ) A. 2 B 3 C 4 D 6 【答案】 B 【解析】a(ba) aba 22，所以 ab3，所以 cosa，b ab |a|b| 3 16 1 2，所以向量 a与b 的
5、夹角为 3 . 8、在ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m a，cosA 2 ，n b，cos B 2 ，p c，cos C 2 共线，则ABC形状为 ( ) A等边三角形B等腰三角形 C直角三角形D等腰直角三角形 【答案】 A 【解析】 由题意得acos B 2 bcos A 2，acos C 2 ccos A 2 ，由正弦定理得sinAcos B 2sin Bcos A 2? sin B 2sin A 2? BA， 同理可得CA，所以ABC为等边三角形故选A. 9、已知向量a(3，1) ，b(0,1) ，c (k，3) 若a2b与c垂直，则k ( ) A 3 B 2
6、 C1 D 1 【答案】 A 【解析】因为a2b与c垂直，所以 (a2b) c0，即ac 2bc 0，所以3k32 30，解 得k 3. 10、 已知点M(3,0) ，N(3,0) 。 动点P(x，y) 满足 |MN | |MP | MN NP 0， 则点P的轨迹的曲线类型为( ) A双曲线B抛物线 C圆D椭圆 【答案】 B 【解析】MN (3,0) ( 3,0) (6,0) ，|MN | 6，MP (x，y) ( 3,0) (x3，y) ，NP (x，y) (3,0) (x3，y) ，所以 |MN | |MP | MN NP 6x 2y26( x3)0，化简可得y 2 12x. 故点 P的轨
7、 迹为抛物线故选B. 11、 在平面直角坐标系xOy中， 已知四边形ABCD是平行四边形，AB (1 ， 2)，AD (2,1) ， 则AD AC ( ) A5 B4 C3 D2 【答案】 A 【解析】 由四边形ABCD是平行四边形， 知AC AB AD (1， 2) (2,1) (3， 1) ， 故AD AC (2,1) (3， 1) 231( 1) 5. 12、称d(a，b) |ab| 为两个向量a，b间的“距离”，若向量a，b满足： |b| 1；ab；对任意 tR，恒有d(a，t b) d(a，b) ，则 ( ) AabBa(ab) Cb(ab) D(ab) (ab) 【答案】 C 【解
8、析】由d(a，t b) d(a，b) ， 可知 |at b| |ab| ， 所以 (at b) 2( ab) 2， 又| b| 1， 所以t 22( ab)t 2(ab)10. 因为上式对任意tR恒成立，所以 4(ab) 242( ab) 1 0，即(ab1) 20， 所以ab1. 于是b(ab) ab|b| 2 11 20，所以 b(ab) 故选 C. 13、若平面向量a( 1,2)与b的夹角是180，且|b| 3 5，则b的坐标为 ( ) A(3 ， 6) B( 3,6) C(6 ， 3) D( 6,3) 【答案】 A 【解析】由题意设ba( ，2)( 0) ，而 |b| 35，则 2 2
9、3 5，所以 3，b(3 ， 6) 故选 A. 14、已知ABC为等边三角形，AB2，设点P，Q满足AP AB ，AQ (1 )AC ，R. 若BQ CP 3 2， 则 ( ) A. 1 2 B1 2 2 C. 110 2 D32 2 2 【答案】 A 【解析】BQ AQ AB (1 )AC AB ，CP AP AC AB AC ，又BQ CP 3 2 ，|AB | |AC | 2，A 60，AB AC |AB | |AC |cos 60 2， (1 )AC AB (AB AC ) 3 2，即 | AB | 2( 2 1)AB AC (1 )|AC | 23 2，所以 42( 21) 4(1
10、) 3 2，解得 1 2. 15、在ABC中，若AB AC AB CB 2，则边AB的长等于 _ 【答案】 2 【解析】由题意知AB AC AB CB 4， 即AB (AC CB ) 4，即AB AB 4， 所以 |AB | 2. 16、 如图，平行四边形ABCD中，AB2，AD1，A60，点M在AB边上，且AM 1 3AB ，则DM DB _. 【答案】 1 【解析】因为DM DA AM DA 1 3AB ，DB DA AB ，所以DM DB DA 1 3AB (DA AB ) |DA | 21 3| AB | 24 3 DA AB 1 4 3 4 3AD AB 7 3 4 3| AD |
11、|AB | cos 60 7 3 4 312 1 21. 8(2019 重庆调研 ) 已知 |a| 2|b| ，|b| 0，且关于x的方程x 2| a|xab 0 有两相等实根，则向量a 与b的夹角是 _ 【答案】 3 3 【解析】由已知可得|a| 2 4ab0，即 4|b| 242| b| 2cos 0，所以 cos 1 2 ，又因为 0 ，所以 2 3 . 16、已知平面向量a (2,4)，b(1，2) 若ca(ab)b，则|c|_. 【答案】 8 2 【解析】由题意可得ab214( 2) 6，ca(ab) ba6b(2,4) 6(1 ， 2) (8 ， 8) ， |c| 8 2 28 2
12、. 17、在平面直角坐标系内，已知B( 3， 33) ，C(3 ， 33) ，且H(x，y) 是曲线x 2 y 21 上任意一点， 则BH CH 的最大值为 _ 【答案】 6319 【解析】由题意得BH (x3，y33) ，CH (x3，y33)，所以BH CH (x3，y33) (x3，y 33) x 2 y 296 3y2763y196319，当且仅当y1 时取最大值 18、已知向量a，b满足 (2ab)(ab) 6，且|a|2，|b|1，则a与b的夹角为 _ 【答案】 2 3 【解析】 (2ab) (ab) 6， 2a 2a bb 26，又 | a| 2，|b| 1，ab 1， cosa
13、，b ab |a|b| 1 2. 又 a，b 0 ， ，a与b的夹角为 2 3 . 19、已知点A(1 m,0) ，B(1 m,0) ，若圆C：x 2 y 28x8y 310 上存在一点 P使得PA PB 0，则m的 最大值为 _ 【答案】 6 【解析】圆C：(x4) 2( y4) 21，圆心 C(4,4) ，半径r1，设P(x0，y0)，则PA (1 mx0，y0) ，PB (1 mx0，y0) ，所以PA PB (1 x0) 2 m 2y2 00，即m 2( x01) 2 y 2 0. 所以 |m| 为点P与点M(1,0) 之 间的距离，当 |PM| 最大时， |m| 取得最大值因为|PM
14、| 的最大值为 |MC| 1 24216，所以 m 的最大值为6. 20、已知a( ，2 ) ，b(3 ，2) ，如果a与b的夹角为锐角，则 的取值范围是 _ 【答案】， 4 3 0， 1 3 1 3， 【解析】a与b的夹角为锐角，则ab0且a与b不共线，则 3 240， 26 20， 解得 4 3或 0 1 3，所以 的取值范围是 ， 4 3 0， 1 3 1 3， . 21、已知向量m(sin 2， cos ) ，n( sin ，cos )，其中 R. (1) 若mn，求角 . (2) 若|mn| 2，求 cos 2 的值 【答案】 (1) 2k 6 或 2k 5 6 ，kZ. (2) 1
15、 8 【解析】 (1) 向量m(sin 2， cos ) ， n( sin ，cos ) ， 若mn，则mn0， 即为 sin (sin 2) cos 20， 即 sin 1 2，可得 2k 6 或 2k 5 6 ，kZ. (2) 若|mn| 2，即有 (mn) 2 2， 即(2sin 2) 2(2cos )22， 即为 4sin 2 4 8sin 4cos2 2， 即有 88sin 2，可得 sin 3 4， 即有 cos 2 12sin 2 12 9 16 1 8. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m 2 2 ， 2 2 ，n(sin x，cos x) ，x 0， 2 . (1) 若m n，求 tan x的值； (2) 若m与n的夹角为 3 ，求x的值 【答案】 (1) 1 (2) 5 12 . 【解析】 (1) 若mn，则mn0. 2 2 sin x 2 2 cos x 0， tan x1. (2) m与n的夹角为 3 ， mn|m|n|cos 3 11 1 2
