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1、课时跟踪练 (四十三 ) A组基础巩固 1已知直线a和平面 ， l，a?，a?，且a在 ， 内的射影分别 为直线b和c，则直线b和c的位置关系是 ( ) A相交或平行B相交或异面 C平行或异面D相交、平行或异面 解析： 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面 答案： D 2已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC 和BD不相交，则甲是乙成立的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析： 若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若 直线AC和BD不相交，若直线AC和B
2、D平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的 充分不必要条件 答案： A 3若直线l1和l2是异面直线，l1在平面 内，l2在平面 内，l是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是( ) Al与l1，l2都不相交 Bl与l1，l2都相交 Cl至多与l1，l2中的一条相交 Dl至少与l1，l2中的一条相交 解析： 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行， 故l1，l2中至少有一条与l相交 答案： D 4.(2019 邯郸调研) 如图，在三棱锥-SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，则 直线G1G2与BC的位置关系是 ( ) A相交 B平行 C异面 D以上都有可能 解析：
3、 连接SG1并延长交AB与M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN(图略 ) 由题意知 SM为SAB的中线，且SG1 2 3SM ，SN为SAC的中线，且SG2 2 3SN ，所以在SMN中， SG1 SM SG2 SN ，所以G1G2MN， 易知MN是ABC的中位线，所以MNBC， 因此可得G1G2BC，即直线G1G2与BC的位置关系是平行故选B. 答案： B 5(2019南永州模拟) 三棱锥A-BCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中 点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为( ) A. 1 3 B. 2 4 C. 3 3 D. 2 3 解析： 连接DN，取DN的中点O，连接M
4、O，BO， 因为M是AD的中点， 所以MOAN，所以BMO( 或其补角 ) 是异面直线BM与AN所成的角， 设三棱锥A-BCD的所有棱长为2， 则ANBMDN2 212 3， 则MO 1 2AN 3 2 NO1 2DN ， 则BOBN 2 NO 2 1 3 4 7 2 ， 在BMO中，由余弦定理得cos BMO BM 2 MO 2 BO 2 2BMMO 3 3 4 7 4 23 3 2 2 3， 所以异面直线BM与AN所成角的余弦值为 2 3. 故选 D. 答案： D 6若平面， 相交，在， 内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定 _个平面 解析： 如果这四点在同一平面内，那么确定一个平
5、面；如果这四点不共面，则任意三点 可确定一个平面，所以可确定四个平面 答案： 1 或 4 7.(2019 重庆模拟) 如图，四边形AB-CD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂 直，则异面直线AP与BD所成的角为 _ 解析： 如图，将原图补成正方体ABCD-QGHP，连接GP， 则GPBD， 所以APG为异面直线AP与BD所成的角， 在AGP中，AGGPAP， 所以APG 3 . 答案： 3 8. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD. 以上四个命题中，正确命题的序号是_ 解析： 如图，ABEF，正
6、确；显然ABCM，所以不正确；EF与MN是异面直线， 所以正确；MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是. 答案： 9(2019石家庄调研) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H 为直线B1D与平面ACD1的交点求证：D1、H、O三点共线 证明： 如图，连接BD，B1D1， 则BDACO， 因为BB1DD1， 所以四边形BB1D1D为平行四边形 又HB1D， B1D? 平面BB1D1D， 则H平面BB1D1D， 因为平面ACD 1平面BB1D1DOD1，所以HOD1. 故D1，H，O三点共线 10.(2019 佛山一中月考) 如图所示，在三棱锥P-A
7、BC中，PA底面ABC，D是PC的中 点已知BAC 2 ，AB 2，AC 23，PA2. 求： (1) 三棱锥P-ABC的体积； (2) 异面直线BC与AD所成角的余弦值 解： (1)SABC1 2 22 323， 三棱锥P-ABC的体积为 V 1 3S ABCPA1 32 32 43 3 . (2) 如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则DEBC，所以ADE是异面直线BC与AD 所成的角 (或其补角 ) 在ADE中，DE2，AE2，AD2， cos ADE 2 2222 22 2 3 4. 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为 3 4. B组素养提升 11(2019临汾模拟) 如图，在三棱
8、台ABC-A1B1C1的 6 个顶点中任取3 个点作平面， 设 平面ABCl，若lA1C1，则这 3 个点可以是 ( ) AB，C，A1BB1，C1，A CA1，B1，CDA1，B，C1 解析： 过点B作BDAC，则BDA1C1， 连接A1B，C1D，CD，如图所示： 则平面 可以为平面A1BDC1， 则 平面ABCBDl，且lA1C1， 所以这 3 个点可以是A1、C1、B. 故选 D. 答案： D 12.(2019 珠海模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2，P为边AB的中点，现将 DAP绕直线DP翻转至DAP处，若M为线段AC的中点，则异面直线BM与PA所成 角的正切值为 ( )
9、 A. 1 2 B2 C. 1 4 D4 解析： 取AD的中点N，连接PN，MN， 因为M是AC的中点， 所以MNCD，且MN 1 2CD ， 因为四边形ABCD是矩形，P是AB的中点， 所以PBCD，且PB 1 2CD ， 所以MNPB，且MNPB， 所以四边形PBMN为平行四边形， 所以MBPN， 所以APN( 或其补角 ) 是异面直线BM与PA所成的角 在 RtAPN中， tan APNA N AP 1 2， 所以异面直线BM与PA所成角的正切值为 1 2. 故选 A. 答案： A 13正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是 _( 填序号
10、) ACBE； B1E平面ABCD； 三棱锥E-ABC的体积为定值； 直线B1E直线BC1. 解析： 因为AC平面BDD 1B1，故正确；因为B1D1平面ABCD，故正确；记正方体的 体积为V，则VE-ABC1 6V ，为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误 答案： 14. 如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2 的正方形，OA底面ABCD，OA 2，M为OA的中点 (1) 求四棱锥O-ABCD的体积； (2) 求异面直线OC与MD所成角的正切值 解： (1) 由已知可求得正方形ABCD的面积S4， 所以四棱锥OABCD的体积V 1 34 2 8 3. (2) 如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE. 又M为OA中点，所以MEOC， 则EMD( 或其补角 ) 为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE2，EM3， MD5， 因为 (2) 2( 3) 2( 5) 2， 所以DEM为直角三角形， 所以 tan EMD DE EM 2 3 6 3 . 所以异面直线OC与MD所成角的正切值为 6 3 .
