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1、- 1 - / 5 广东省湛江市2017 届普通高中高考3 月模拟考试数学试卷（三） 答案 一、选择题 15ADCCC 610BCCBD 二、填空题 11(0,1)和 (1,e) 1210 13 17 2 50 143 15 三、解答题 16解：（ 1） 3ABACBABC， cos3cosABACABA BCB， 即cos3cosACABCB 由正弦定理，得 sinsin ACBC BA ， sincos3sincosBAAB 又0AB， cos0A，cos0B sinsin 3 coscos BA BA 即tan3tanBA （ 2） 5 cos 5 C，0C， 252 5 sin1()
2、55 C tan2C tan ()2AB，即tan()2AB tantan 2 1tantan AB AB 由（ 1）得 2 4tan 2 13tan A A ，解得tan1A， 1 tan 3 A cos0A，tan1A， 4 A 17解： （）由 21 12344.4 n nnSaaaa - 2 - / 5 得 23 123 4444.4 n nn Saaaa ： 21 112231 54()4 ().4()4 nn nnnn Saaaaaaaa 12211111 5414( )4 ( ).4( ) 444 nnn nn San （） 11a， 1 1 () 4 n nn aa，n * N
3、 11 122 1 1335572321 24622 1335572321 21 121 24622 1113 ( ),( )(), 4444 3333 ,., 4444 ()()().() 31 (1) 33331 416 .(1 1 44445 1 16 nnn nnnn n kk k kk k k k aaaa aaaaaaaa aaaaaaaa aa 1 211 11 1 ), 16 1141 (1), 51655 16 k k kk aak * N 18解：（） 的分布列为： 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 22222 11131 012341.
4、5 22010205 11131 (01.5)(1 1.5)(21.5)(31.5)(41.5)2.75 22010205 E （）由 2 Da D，得 2 2.7511a，即 2a，又 EaEb， 所以，当2a时，由121.5b，得2b； 当2a时，由12 1.5b，得4b 2 2 a b 或 2 4 a b 即为所求 19方法 1：（ 1）PCBC，PCAB,PC平面 ABC，PCAC（ 4 分） （ 2）取 BC的中点 N，连 MN PMCN ， MNPC ，MN平面 ABC作NHAC，交 AC 的延 长线于 H，连结 MH由三垂线定理得ACMH，MHN为二面角MACB的平面角 直线 A
5、M与直线PC所成的角为60 ， 在 Rt AMN中， 60AMN - 3 - / 5 在ACN中， 22 2cos1203ANACCNACCN 在 Rt AMN中，cot3cot 601MNANAMN 在 RtNCH中， 3 sin1sin60 2 NHCNNCH 在 Rt MNH中， 22 721 ,cos 27 NH MHMNNHMHN MH 故二面角MACB的余弦值为 21 7 （ 12 分） 方法 2：（ 1）,PCBC PCABPC平面 ABC，PCAC（ 4 分） （ 2）在平面ABC内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示设(0,0,z)P，则 (0, 0, z)C
6、P 313 3 (0,1, )(,0)(, ) 2222 AMzz（ 5 分） 2 2 cos60cos, 3 AMCPz AM CP zzAMCP ， 且0z， 2 1 2 3 z z ，得1z， 3 3 (,1) 22 AM（ 7 分） 设 平 面MAC的 一 个 法 向 量 为( , ,1)nx y， 则 由 0 0 nA M nC A 得 33 10 22 31 0 22 xy xy 得 3 3 1 x y 3 (, 1,1) 3 n（ 9 分） 平面 ABC的一个法向量为 (0,0,1)CP 21 cos, 7 n CP n CP nCP （11分） 显然，二面角MACB为锐二面角，
7、二面角MACB的余弦值为 21 7 （ 12 分） 20（ 1）由椭圆C 的离心率 2 e 2 ，得 2 2 c a ，其中 22 cab ， 椭圆 C 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcFc ，又点 2 F 在线段 1 PF的中垂线上 222 122 ,(2 )( 3)(2)F FPFcc（3 分） 解得 22 1,2,1cab椭圆的方程为 2 2 1 2 x y(5 分 ) - 4 - / 5 （ 2）由题意，知直线MN 存在斜率，其方程为ykxm由 2 2 1 2 x y ykxm 消去 y, 得 222 (21)4220kxkmxm(6 分) 222 (4)4(21)(
8、22)0kmkm（7 分） 设 1122 (,)(,)M xyN xy， ，则 2 1212 22 422 2121 kmm xxx x kk ，（ 8 分） 且 22 12 12 11 F MF N kxmkxm kk xx ， （9 分） 由已知直线 2 F M与 2 F N的倾斜角互补，得 22 0 F MF Nkk，即 12 12 0 11 kxmkxm xx （10 分） 化简，得 1212 2()()20kx xmkxxm 2 22 224() 220 2121 mkm mk km kk 整理得2mk（11 分） 直线 MN 的方程为(2)yk x，因此直线MN 过定点，该定点的坐
9、标为(2,0)（12 分） 21解：（）当1a时， 2 1 ( )3ln ,( )23f xxxx f xx x （ 2 分） 因为 (1)0,(1)2ff 所以切线方程是 2y （4 分） （）函数( )2(2)lnf xaxaxx的定义域是(0,)（5 分） 当0a时， 2 12(2)1 ( )2(2) axax fxaxa xx （ 0 x ） 令( )0fx，即 2 2(2)1(21)(1) ( )0 axaxxax fx xx ，所以 1 2 x或 1 x a （7 分） 当 1 01 a ，即1a时， ( )f x在1,e上单调递增，所以( )f x在1,e上的最小值是(1)2f；
10、 当 1 1e a 时， ( )f x在1,e上的最小值是 1 ()(1)2ff a ，不合题意； 当 1 e a 时， ( )f x在(1,e)上单调递减， 所以( )f x在1,e上的最小值是(e)(1)2ff，不合题意（ 8 分） （）设( )( )2g xf xx，则 2 ( )lng xaxaxx，只要 ( )g x在(0,)上单调递增即可 9 分 而 2 121 ( )2 axax g xaxa xx 当0a时， 1 ( )0g x x ，此时 ( )g x在(0,)上单调递增；（10 分） - 5 - / 5 当0a时，只需( )0gx在(0,)上恒成立， 因为(0,)x，只要 2 210axax，则需要0a， （12 分） 对于函数 2 21yaxax，过定点 (0,1)，对称轴 1 0 4 x，只需 2 80aa，即08a 综上，08a（ 12 分）
