《2021-2021学年高中数学人教A版必修一学案：1.1.3.2补集及综合应用Word版含解析修订》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2021学年高中数学人教A版必修一学案：1.1.3.2补集及综合应用Word版含解析修订（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 课时补集及综合应用 知识点补集 1全集 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称 这个集合为全集，通常记作U. 全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的 所有元素 2补集 ?UA 的三层含义： (1)?UA 表示一个集合； (2)A 是 U 的子集，即 A? U； (3)?UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合 小试身手 1判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)全集一定包含任何元素 () (2)同一个集合在不同的全集中补集不同() (3)不同的集合在同一个全集中的补集也不同() 答案：(1)(2)(3) 2设 UR，Ax|x0，Bx|x1，
2、则 A(?UB)() Ax|0 x1Bx|0x1 Cx|x1 解析：画出数轴，如图所示 ?UBx|x1， 则 A(?UB) x|0x1 答案：B 3已知全集 U1,2，a22a3 ，A1，a，?UA3 ，则实 数 a 等于() A0 或 2 B0 C1 或 2 D2 解析：由题意，知 a2， a 22a33， 则 a2. 答案：D 4设全集 UR，Mx|x2 ，Nx|1x3，则图中 阴影部分所表示的集合是() Ax|2x1 Bx|2x2 Cx|1x2 Dx|x2 解析：阴影部分所表示集合是N(?UM)， 又?UMx|2x2， N(?UM)x|1x2 答案：C 类型一补集的运算 例 1(1)已知
3、 UR，集合 Ax|x2，则?UA() Ax|2x2Bx|x2 Cx|2x2 Dx|x2 或 x2 (2)已知全集 U，M，N 是 U 的非空子集， 且?UM? N，则必有() AM?UNBM?UN C?UM?UNDM? N (3)已知全集为 U， 集合 A1,3,5,7 ， ?UA2,4,6 ， ?UB1,4,6 ， 求集合 B. 【解析】(1) 观察数轴可知， ?UAx|2x2 (2)依据题意画出 Venn图， 观察可知， M? UN. (3)因为 A1,3,5,7 ，?UA2,4,6 ，所以 U1,2,3,4,5,6,7 又?UB1,4,6 ，所以 B2,3,5,7 【答案】(1)C(2
4、)A(3)见解析 (1)画出数轴表示集合A，根据补集的定义写出 ?UA. (2)画出 Venn图，逐个选项分析判断 (3)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出 集合 B，也可借助 Venn图求解 方法归纳 求补集的原则和方法 (1)一个基本原则 求给定集合 A的补集，从全集 U 中去掉属于集合A 的元素后，由 所有剩下的元素组成的集合即为A 的补集 (2)两种求解方法： 若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知 集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端 点值的取舍 若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解 , 跟踪训练1(1)设全集UR
5、，集合Ax|2x5 ，则 ?UA _； (2)已知 Ux|5x2 或 25 (2)在集合 U 中，因为 xZ，则 x 的值为 5，4，3,3,4,5，所 以 U5，4，3,3,4,5又因为 Ax|x 22x150 3,5， B3,3,4，所以 ?UA5，4,3,4，?UB5，4,5 答案：(1) x|x2 或 x5 (2) 5，4,3,45，4,5 (1)借助数轴求补集更直观 (2)先表示出全集 U、集合 A，再求补集 类型二集合交、并、补的综合运算 例 2(1)已知全集 U1,2,3,4,5,6,7,8， 集合 A2,3,5,6)，集合 B 1,3,4,6,7)，则集合 A(?UB)() A
6、2,5B3,6C2,5,6D2,3,5,6,8 (2)已知全集UR，Ax|4x2，Bx|1x3 ，P x x0，或x5 2 ，求 AB，(?UB)P，(AB)(?UP), 【解析】(1)因为 U1,2,3,4,5,6,7,8，B1,3,4,6,7 ，所以?UB 2,5,8 又 A2,3,5,6， 所以 A(?UB)2,5 (2)将集合 A，B，P 分别表示在数轴上，如图所示 因为Ax|4x2 ，Bx|1x3 ，所以ABx| 1x3 又 P x x0，或x5 2 ，所以 (?UB)P x x0，或x 5 2 . 又 ? UP x 0x5 2 ， 所 以 (AB)( ? UP) x| 1x2 x
7、0x5 2 x|0x2 【答案】(1)A(2)见解析 (1)先求?UB，再求 A?UB. (2)根据集合的交集、补集、并集运算，画数轴，即可求解 方法归纳 求集合交、并、补运算的方法 跟踪训练 2已知全集 Ux|x4，集合 Ax|2x3，B x|3x3，求?UA，AB，?U(AB)，(?UA)B. 解析：把全集 U 和集合 A，B 在数轴上表示如下： 由图可知， ?UA x|x2 或 3x4 ， ABx|2x3 ， ?U(AB)x|x2 或 3x4， (?UA)Bx|3x2 或 x3 借助数轴求出 ?UA，?UB 再运算 类型三补集思想的应用 例 3已知集合 Ax|x 24x2m60， Bx|
8、x0 ， 若 AB ?，求实数 m的取值范围 【解析】先求 AB?时 m的取值范围 (1)当 A?时， 方程 x24x2m60 无实根，所以 (4)24(2m6)0， 解得 m1. (2)当 A?，AB?时，方程x 24x2m60 的根为非负实 根 设 方 程x2 4x 2m 6 0的 两 根 为x1， x2， 则 4 24 2m6 0， x1x240， x1x22m60， 即 m1， m3， 解得3m1， 综上，当 AB?时， m的取值范围是 m|m3 又因为 UR， 所以当 AB?时， m的取值范围是 ?Rm|m3m|m3 所以，AB?时， m的取值范围是 m|m3 AB?，对于集合 A
9、而言，分 A?与 A?两种情况 . A? 表示方程无实根 Bx|x0， x11 x21 0， 而不是 x1x22， x1x21. 由于 AB?，故方程 x24x2m60 一定有解，故我们还 可以设全集Um| 0m|m1 此时， m|3m1 关 于 U 的补集也是 m|m3，结果相同 方法归纳 (1)运用补集思想求参数范围的方法： 否定已知条件，考虑反面问题； 求解反面问题对应的参数范围； 将反面问题对应参数的范围取补集 (2)补集思想适用的情况： 从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集 思想 跟踪训练 3设全集 U3,6，m 2m1 ，A|32m|,6，? UA 5 ，求实数
10、 m. 解析：因为?UA5 ，所以 5U 但 5?A， 所以 m 2m15， 解得 m3 或 m2. 当 m3 时， |32m|35， 此时 U3,5,6 ，A3,6 ，满足?UA5 ； 当 m2 时，|32m|75， 此时 U3,5,6 ，A6,7 ，不符合题意舍去 综上，可知 m3., 根据补集的定义， 得到关于 m 的方程 m 2m15，解得 m 的值 后还需检验 . 基础巩固 (25 分钟， 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1已知全集U1,2,3,4,5,6,7，集合 A1,3,5,6 ，则?UA 等于 () A1,3,5,6B2,3,7 C2,4,7 D2,
11、5,7 解析：由题意知 ?UA2,4,7 ，选 C. 答案：C 2已知全集 UR，Ax|x0 ，Bx|x1，则集合 ?U(AB) 等于() Ax|x0 Bx|x1 Cx|0 x1 Dx|0x1 解析：ABx|x0 或 x1， 所以?U(AB)x|0x1 故选 D. 答案：D 3如图所示， U 是全集， A，B 是 U 的子集，则阴影部分所表示 的集合是 () AABBAB CB(?UA) DA(?UB) 解析：由 Venn图可知阴影部分为B(?UA) 答案：C 4 设全集 U1,2,3,4,5 ， 若 AB2 ， (?UA)B4 ， (?UA)(? UB)1,5 ，则下列结论中正确的是 ()
12、A3?A,3?BB3?A,3B C3A,3?BD3A,3B 解析：由 Venn图可知， 3A,3?B，故选 C. 答案：C 5设集合 Mx|1x1 Dk2 解析：由(?RM)? (?RN)可知 M? N，则 k 的取值范围为 k2. 答案：D 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 6设全集 Ua，b，c，d，集合 Aa，b，Bb，c，d， 则(?UA)(?UB)_. 解析：依题意得知， ?UAc，d，?UBa，(?UA)(?UB)a， c，d 答案：a，c，d 7设 U0,1,2,3 ，AxU|x2mx0，若?UA1,2 ，则实 数 m_. 解析：U0,1,2,3，?UA1,2 AxU
13、|x2mx0 0,3 0,3 是方程 x 2mx0 的两根， 03m，即 m3. 答案：3 8已知 UR，Ax|axb，?UAx|x4，则 ab _. 解析：因为 A(?UA)R， 所以 a3，b4， 所以 ab12. 答案：12 三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分) 9已知全集 UR，集合 A x|1x2，Bx|0x3 求：(1)AB； (2)?U(AB)； (3)A(?UB) 解析：(1)因为 Ax|1x2，Bx|0x3， 所以 ABx|1x2x|0x3 x|0x2 (2)ABx|1x2x|0x3 x|13 (3)A(?UB)x|1x3 或 x0 x|1x0 10已知集合 Ax|
14、3x7，Bx|2x10，Cx|xa (1)求(?R A)B； (2)若 A? C，求 a 的取值范围 解析：(1)因为 Ax|3x7， 所以?R Ax|x3 或 x7， 所以(?R A)Bx|2x3 或 7x10 (2)因为 Cx|xa，且 A? C，如图所示， 所以 a7， 所以 a 的取值范围是 a|a7 能力提升 (20 分钟， 40 分) 11已知集合 A，B 均为全集 U1,2,3,4 的子集，且 ?U(AB) 4 ，B1,2 ，则 A(?UB)等于() A3 B4 C3,4 D? 解析： 由 AB1,2,3 ， B1,2 ， U1,2,3,4 知 A(?UB)3 答案：A 12设全
15、集 U1,2，x 22 ，A1，x，则? UA_. 解析：若 x2，则 x222，U1,2,2 ，与集合中元素的互异 性矛盾，故 x2，从而 xx22，解得 x1 或 x2(舍去) 故 U1,2，1，A1，1，则?UA2 答案：2 13已知 A x|02xa3，B x 1 2x2 . (1)当 a1 时，求 (?R B)A； (2)若 A? B，求实数 a 的取值范围 解析：(1)当 a1 时，A x 1 2x1 ， 又 B x 1 2x2 ， ?R B x x1 2或x2 ， (?R B)A x|x1或x2. (2)A x a 2x 3a 2 ， 若 A? B， 当 A?时， a 2 3a 2 ， 03 不成立， A?， a 2 1 2， 3a 2 2， 1a1， 所以 a 的取值范围是 a|15a，得 a3； 当 B2 时， a12， 5a2， 解得 a3， 综上所述，所求a 的取值范围为 a|a3
