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1、- 1 - / 14 广东省湛江市2017 年高考理科数学二模试卷 答案 一、选择题(共12 小题,每小题5 分,满分 60 分)在每小题给出的四个选项中,只有一项所述符合题目要 求的 15DDABD 610BCCBD 1112AC 二、填空题(共4 小题,每小题5 分,满分 20 分) 13120 141.6 15乙 163 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解:()依题意当2n时可归纳 1nn aan, 112211 ()().() nnnnn aaaaaaaa, 1 2a 2(2)(1)1 (1).222()1 22 n nn annnn, 检验当1n时,上式成立,
2、 n a的通项公式 21 ()1 2 n ann ()(1)b1 nn a, 1211 2() 1(1)1 n n b an nnn , 12 111111 .2(1.)2(1)2 22311 n bbb nnn 18解:() A 班参加竞赛的人数为 45 103 150 , B 班参加竞赛的人数为 60 104 150 , C 班参加竞赛的人数为 30 102 150 , D 班参加竞赛的人数为 15 101 150 ; ()根据题意,B 班每位参加竞赛的同学得奖品的概率为 444 4 Cpp, 所以 B 班恰好有2 位同学获得奖品的概率为 24242842 4()(1)6(1)Cpppp;
3、 - 2 - / 14 ()题意, X 的可能取值为2,3,4,且 X 服从超几何分布; 且 22 82 4 10 2 (2) 15 CC P X C , 31 82 4 10 8 (3) 15 CC P X C , 40 82 4 10 1 (4) 3 CC P X C , 所以 X 的分布列为; X 2 3 4 P 8 15 1 3 数学期望为 28116 ()234 151535 E X 19()证明:过A 在平面 1 ABA内作 1 AHA B,垂足为H, 二面角 1 AA BC是直二面角,且二面角 1 AA BC的棱为 1 A B AH平面 1 CBA,直三棱柱中 111 ABCA
4、B C中有 1 BCAA,且 1 AHAAA, BC平面 1 ABA ()解:棱锥 1 MBCA的体积为1,由( 1)得AB面BCM, 1 11 1 32 BCM VABCMSAB,解得 3 2 CM,即 1 3CC, 以 B 为原点,如图建立空间直角坐标系 则 3 (2,) 2 MO,(2,0,0)C, 1(0,2,3) A, 3 (2,0,) 2 BM,(2,0,0)BC, 1 (0,2,3)BA, 设平面 1 BCA的法向量为( , , )nx y z, 由 1 20 230 n BCx n BAyz ,取(0, 3,2)n 36 13 cos, 65 9 492 4 n BM 直线 M
5、B与平面 1 BCA所成角的正弦值为 6 13 65 20解:() 212 32EFcccF F,且 12 F AF B, B是 A 和 E 的中点, 不妨设(0,b)A,由(3 ,0)Ec, - 3 - / 14 3 (,) 22 c b B,代入 22 22 1 xy ab 得: 22 22 91 44 1 cb ab , 3 3 c a ,即椭圆的离心率 3 3 e; ()由()知, 221 ( ) 3 c e a ,得 22 3ac, 2222 2bacc, 椭圆的方程可设为 222 236xyc 若(0,2 )Ac,则(0,2 )Cc, 线段 1 AF的垂直平分线l 的方程为 22
6、(x) 222 c yc, 直线 l 与 x 轴的交点(,0) 2 c 是 1 AFC外接圆的圆心 因此,外接圆的方程为 222 ()() 22 cc xyc 直线 2 F B的方程为2()yxc,于是点(, )H m n的坐标满足方程组: 2 22 2() 9 (m) 24 nmc cc n ,由0m,解得 22 3 5 3 n mc 故 2 2 5 n m ; 若(0,2 )Ac,则(0,2 )Cc, 同理可得 22 5 n m 2 2 5 n m 21解:( 1)当xc,22ac时, 2 ( )ln()f xaxxc的导数为 2(1)(1) ( )2() axxc fxxc xx , 由
7、0a,0c,且1 2 a c,可得01c, 当,1xc时,( )0fx,( )f x递减;当1,x时,( )0fx,( )f x递增 即有( )f x在( ,)c上的最小值为 221 (1)(1) 4 fca, 由 1 ( ) 4 f x对任意( ,)xc恒成立, - 4 - / 14 可得 211 44 a,解得1a(舍去)或1a, 又10 2 a c,可得2a, 则 a 的取值范围是( 2, 1; ( 2)由 12 ll,可得()(c)1 2 a ff, 由( ) a fc c ,可得() 2 ac f a , 当 2 a c时, 2()2 22 ()2 2 2 aa ca ac fc a
8、 a , 解得 1 2 a,与0a矛盾; 当 2 a c时, 2()2 22 ()82 2 2 aa ca ac fac a a , 可得 8 21 aa c a ,又0a,0c,可得210a, 即 1 2 a,令8ta,则 2 8 t a,2t, 即 2 3 22 8 28 1 4 t t t c tt ,令 3 2 ( ) 28 t g t t , 22 22 2(12) ( ) (28) tt g t t , 当(2,23)t时,(t)0g,( )g t递减;当(2 3,)t时,( )0g t,( )g t递增 可得( )g t的最小值为 24 33 3 (2 3) 2482 g , 则
9、 c 的最小值为 3 3 2 选修 4-4:坐标系与参数方程 22解:()曲线 1 C的参数方程为 12cos 2sin x y ( 为参数), 可得 1 cos 2 x ,sin 2 y , 22 sincos1 - 5 - / 14 可得: 22 (1)4xy 即曲线 1 C的普通方程为: 22 (1)4xy ()将 2sin()3 3 3 的直线 l 化为普通方程 可得: 2sincos2cossin3 3 33 ,即33 3yx 直线 l 与 1 C交 P,Q 两点, 曲线 1 C的圆心(1,0),半径2r 圆心到直线l 的距离 33 3 3 13 d 线段 PQ 的长 22 2243
10、2rd 选修 4-5:不等式选讲 23解:()1a时,( )111f xxx, 当1x时,( )1f x,解集为 当11x时,( )21f xx,由( )0f x可解得 1 2 x,于是 1 1 2 x 当1x时,( )30f x恒成立 不等式( )0f x的解集为 1 | 2 x x ()由方程( )f xx可变形为11axxx 令 2,1 ( )11, 11 2,1 xx h xxxxxx xx , 作出图像如右(8 分) 于是由题意可得1a或1a(10 分) - 6 - / 14 广东省湛江市2017 年高考理科数学二模试卷 解析 一、选择题(共12 小题,每小题5 分,满分 60 分)
11、在每小题给出的四个选项中,只有一项所述符合题目要 求的 1 【考点】 1E:交集及其运算 【分析】求出B 中不等式的解集确定出B,找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解:由B 中不等式变形得:(x+2)( x3) 0, 解得: 2x3,即 B= 2,3, A=1 ,2,3,4 , A B=1 ,2,3, 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 【考点】 A5:复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等即可得出 【解答】解:=, x+yi 与互为共轭复数, x=,y= 则 x+y=2 【点评】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的
12、定义、复数相等, 考查了推理能力与计算能力,属于基础 题 3 【考点】 BO:独立性检验的应用 【分析】根据题意,由题目的列联表,计算观测值K 2,通过对照的数值表,即可得出统计结论,分析可得 答案 【解答】解:根据题意,由题目中所给的22 列联表, 有 K 2= =107879, 则在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关; 【点评】本题考查独立性检验的应用,关键是理解独立性检验的原理并灵活运用 4 【考点】 2K:命题的真假判断与应用 【分析】求出函数y=sinx+cosx 的值域判断A;由已知求出P( X 2)判断 B;举例说明C 错误;写出特称 命题的否定
13、判断 D - 7 - / 14 【解答】解:sinx+cosx=,又, A 错误; X 服从正态分布N( 0, 2),且 p( 2 X2)=0.6,则 P(X2)= =0.2,故 B 正确; a,b 为实数,若a=b=0,满足 a+b=0,不能得到=1,故 C 错误; 命题 “ ? xR,x2x+10” 的否定是 “ ? x0R,x2x+10,故 D 错误 【点评】 本题考查命题的真假判断与应用,考查三角函数值域的求法,考查特称命题的否定及充分必要条件 的判定方法,训练了正态分布概率的求法,是中档题 5 【考点】 KC:双曲线的简单性质 【分析】根据题意,由抛物线的标准方程可得其焦点坐标,进而
14、结合双曲线的方程可得c=2,b2=3,计算可 得 a 2 的值,结合a 的范围即可得答案 【解答】解:根据题意,抛物线的方程为y 2=8x,其焦点坐标为( 2,0), 双曲线=1(a0)的一个焦点为(2,0), 则其中 c=2,b2=3, 则 a 2=c2 b 2=1, 又由 a 0,即 a=1, 【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质,关键是由抛物线的几何性质,求出抛物线的焦点坐标 6 【考点】 EF:程序框图 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加计算p 的值,条件框内的语句是决定是否结束循环,模拟执行程序即可得到答案 【解答】解:模拟程
15、序的运行,可得 p=1,n=0 执行循环体, n=1,p=1+12 =2, 不满足条件,执行循环体,n=2,p=2+2 2=6, 不满足条件,执行循环体,n=3,p=6+3 2=15, 不满足条件,执行循环体,n=4,p=15+4 2=31, 由题意,此时应该满足条件,退出循环,输出p 的值为 31, 则判断框内应填入的不等式是n3 【点评】 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视 程序填空也是重要 的考试题型, 这种题考试的重点有:分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考 试的概率更大此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误,属于基础
16、题 7 【考点】 7C:简单线性规划 - 8 - / 14 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z 的几何意义进行求解即可 【解答】解:作作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=xy,得 y=x z 表示,斜率为1 纵截距为 z 的一组平行直线, 平移直线y=xz,当直线y=xz 经过点 C(2,0)时,直线y=x z 的截距最小,此时z 最大, 当直线经过点A(0,1)时,此时直线y=x z 截距最大, z 最小 此时 zmax=2zmin=01= 1 1z2, 【点评】 本题主要考查线性规划的基本应用,利用 z 的几何意义是解决线性规划问题的关键,注意利用数形 结合来解决 8 【考点】 3O:函数的图象 【分析】讨论a的范围,利用导数判断f( x)的单调性得出答案 【解答】解: f(x) = , f (x)= (1)当 a=0时,f(x)= ,图象为 A; ( 2)当 a0 时, 1+ 0, f(x)在( 0,+)上单调递增, 令 1+ =0 得 x=,当 x 时, 1+0,当 x0 时, 1+0,