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1、- 1 - / 14 广东省湛江市2017 年高考理科数学二模试卷 答案 一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分 60 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项所述符合题目要 求的 15DDABD 610BCCBD 1112AC 二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分 20 分） 13120 141.6 15乙 163 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解：（）依题意当2n时可归纳 1nn aan， 112211 ()().() nnnnn aaaaaaaa， 1 2a 2(2)(1)1 (1).222()1 22 n nn annnn， 检验当1n时，上式成立，
2、 n a的通项公式 21 ()1 2 n ann （）(1)b1 nn a， 1211 2() 1(1)1 n n b an nnn ， 12 111111 .2(1.)2(1)2 22311 n bbb nnn 18解：（） A 班参加竞赛的人数为 45 103 150 ， B 班参加竞赛的人数为 60 104 150 ， C 班参加竞赛的人数为 30 102 150 ， D 班参加竞赛的人数为 15 101 150 ； （）根据题意，B 班每位参加竞赛的同学得奖品的概率为 444 4 Cpp， 所以 B 班恰好有2 位同学获得奖品的概率为 24242842 4()(1)6(1)Cpppp；
3、 - 2 - / 14 （）题意， X 的可能取值为2，3，4，且 X 服从超几何分布； 且 22 82 4 10 2 (2) 15 CC P X C ， 31 82 4 10 8 (3) 15 CC P X C ， 40 82 4 10 1 (4) 3 CC P X C ， 所以 X 的分布列为； X 2 3 4 P 8 15 1 3 数学期望为 28116 ()234 151535 E X 19（）证明：过A 在平面 1 ABA内作 1 AHA B，垂足为H， 二面角 1 AA BC是直二面角，且二面角 1 AA BC的棱为 1 A B AH平面 1 CBA，直三棱柱中 111 ABCA
4、B C中有 1 BCAA，且 1 AHAAA， BC平面 1 ABA （）解：棱锥 1 MBCA的体积为1，由（ 1）得AB面BCM， 1 11 1 32 BCM VABCMSAB，解得 3 2 CM，即 1 3CC， 以 B 为原点，如图建立空间直角坐标系 则 3 (2,) 2 MO，(2,0,0)C， 1(0,2,3) A， 3 (2,0,) 2 BM，(2,0,0)BC， 1 (0,2,3)BA， 设平面 1 BCA的法向量为( , , )nx y z， 由 1 20 230 n BCx n BAyz ，取(0, 3,2)n 36 13 cos, 65 9 492 4 n BM 直线 M
5、B与平面 1 BCA所成角的正弦值为 6 13 65 20解：（） 212 32EFcccF F，且 12 F AF B， B是 A 和 E 的中点， 不妨设(0,b)A，由(3 ,0)Ec， - 3 - / 14 3 (,) 22 c b B，代入 22 22 1 xy ab 得： 22 22 91 44 1 cb ab ， 3 3 c a ，即椭圆的离心率 3 3 e； （）由（）知， 221 ( ) 3 c e a ，得 22 3ac， 2222 2bacc， 椭圆的方程可设为 222 236xyc 若(0,2 )Ac，则(0,2 )Cc， 线段 1 AF的垂直平分线l 的方程为 22
6、(x) 222 c yc， 直线 l 与 x 轴的交点(,0) 2 c 是 1 AFC外接圆的圆心 因此，外接圆的方程为 222 ()() 22 cc xyc 直线 2 F B的方程为2()yxc，于是点(, )H m n的坐标满足方程组： 2 22 2() 9 (m) 24 nmc cc n ，由0m，解得 22 3 5 3 n mc 故 2 2 5 n m ； 若(0,2 )Ac，则(0,2 )Cc， 同理可得 22 5 n m 2 2 5 n m 21解：（ 1）当xc，22ac时， 2 ( )ln()f xaxxc的导数为 2(1)(1) ( )2() axxc fxxc xx ， 由
7、0a，0c，且1 2 a c，可得01c， 当,1xc时，( )0fx，( )f x递减；当1,x时，( )0fx，( )f x递增 即有( )f x在( ,)c上的最小值为 221 (1)(1) 4 fca， 由 1 ( ) 4 f x对任意( ,)xc恒成立， - 4 - / 14 可得 211 44 a，解得1a（舍去）或1a， 又10 2 a c，可得2a， 则 a 的取值范围是( 2, 1； （ 2）由 12 ll，可得()(c)1 2 a ff， 由( ) a fc c ，可得() 2 ac f a ， 当 2 a c时， 2()2 22 ()2 2 2 aa ca ac fc a
8、 a ， 解得 1 2 a，与0a矛盾； 当 2 a c时， 2()2 22 ()82 2 2 aa ca ac fac a a ， 可得 8 21 aa c a ，又0a，0c，可得210a， 即 1 2 a，令8ta，则 2 8 t a，2t， 即 2 3 22 8 28 1 4 t t t c tt ，令 3 2 ( ) 28 t g t t ， 22 22 2(12) ( ) (28) tt g t t ， 当(2,23)t时，(t)0g，( )g t递减；当(2 3,)t时，( )0g t，( )g t递增 可得( )g t的最小值为 24 33 3 (2 3) 2482 g ， 则
9、 c 的最小值为 3 3 2 选修 4-4：坐标系与参数方程 22解：（）曲线 1 C的参数方程为 12cos 2sin x y （ 为参数）， 可得 1 cos 2 x ，sin 2 y ， 22 sincos1 - 5 - / 14 可得： 22 (1)4xy 即曲线 1 C的普通方程为： 22 (1)4xy （）将 2sin()3 3 3 的直线 l 化为普通方程 可得： 2sincos2cossin3 3 33 ，即33 3yx 直线 l 与 1 C交 P，Q 两点， 曲线 1 C的圆心(1,0)，半径2r 圆心到直线l 的距离 33 3 3 13 d 线段 PQ 的长 22 2243
10、2rd 选修 4-5：不等式选讲 23解：（）1a时，( )111f xxx， 当1x时，( )1f x，解集为 当11x时，( )21f xx，由( )0f x可解得 1 2 x，于是 1 1 2 x 当1x时，( )30f x恒成立 不等式( )0f x的解集为 1 | 2 x x （）由方程( )f xx可变形为11axxx 令 2,1 ( )11, 11 2,1 xx h xxxxxx xx ， 作出图像如右（8 分） 于是由题意可得1a或1a（10 分） - 6 - / 14 广东省湛江市2017 年高考理科数学二模试卷 解析 一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分 60 分）
11、在每小题给出的四个选项中，只有一项所述符合题目要 求的 1 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】求出B 中不等式的解集确定出B，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】解：由B 中不等式变形得：（x+2）（ x3） 0， 解得： 2x3，即 B= 2，3， A=1 ，2，3，4 ， A B=1 ，2，3， 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等即可得出 【解答】解：=， x+yi 与互为共轭复数， x=，y= 则 x+y=2 【点评】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的
12、定义、复数相等， 考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 3 【考点】 BO：独立性检验的应用 【分析】根据题意，由题目的列联表，计算观测值K 2，通过对照的数值表，即可得出统计结论，分析可得 答案 【解答】解：根据题意，由题目中所给的22 列联表， 有 K 2= =107879， 则在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关； 【点评】本题考查独立性检验的应用，关键是理解独立性检验的原理并灵活运用 4 【考点】 2K：命题的真假判断与应用 【分析】求出函数y=sinx+cosx 的值域判断A；由已知求出P（ X 2）判断 B；举例说明C 错误；写出特称 命题的否定
13、判断 D - 7 - / 14 【解答】解：sinx+cosx=，又， A 错误； X 服从正态分布N（ 0， 2），且 p（ 2 X2）=0.6，则 P（X2）= =0.2，故 B 正确； a，b 为实数，若a=b=0，满足 a+b=0，不能得到=1，故 C 错误； 命题 “ ? xR，x2x+10” 的否定是 “ ? x0R，x2x+10，故 D 错误 【点评】 本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数值域的求法，考查特称命题的否定及充分必要条件 的判定方法，训练了正态分布概率的求法，是中档题 5 【考点】 KC：双曲线的简单性质 【分析】根据题意，由抛物线的标准方程可得其焦点坐标，进而
14、结合双曲线的方程可得c=2，b2=3，计算可 得 a 2 的值，结合a 的范围即可得答案 【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y 2=8x，其焦点坐标为（ 2，0）， 双曲线=1（a0）的一个焦点为（2，0）， 则其中 c=2，b2=3， 则 a 2=c2 b 2=1， 又由 a 0，即 a=1， 【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，关键是由抛物线的几何性质，求出抛物线的焦点坐标 6 【考点】 EF：程序框图 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加计算p 的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案 【解答】解：模拟程
15、序的运行，可得 p=1，n=0 执行循环体， n=1，p=1+12 =2， 不满足条件，执行循环体，n=2，p=2+2 2=6， 不满足条件，执行循环体，n=3，p=6+3 2=15， 不满足条件，执行循环体，n=4，p=15+4 2=31， 由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出p 的值为 31， 则判断框内应填入的不等式是n3 【点评】 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视 程序填空也是重要 的考试题型， 这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考 试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误，属于基础
16、题 7 【考点】 7C：简单线性规划 - 8 - / 14 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义进行求解即可 【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=xy，得 y=x z 表示，斜率为1 纵截距为 z 的一组平行直线， 平移直线y=xz，当直线y=xz 经过点 C（2，0）时，直线y=x z 的截距最小，此时z 最大， 当直线经过点A（0，1）时，此时直线y=x z 截距最大， z 最小 此时 zmax=2zmin=01= 1 1z2， 【点评】 本题主要考查线性规划的基本应用，利用 z 的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形 结合来解决 8 【考点】 3O：函数的图象 【分析】讨论a的范围，利用导数判断f（ x）的单调性得出答案 【解答】解： f（x） = ， f （x）= （1）当 a=0时，f（x）= ，图象为 A； （ 2）当 a0 时， 1+ 0， f（x）在（ 0，+）上单调递增， 令 1+ =0 得 x=，当 x 时， 1+0，当 x0 时， 1+0，
