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1、版权所有，翻版必究 第二章习题答案 1某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率 7%。计算 X。 解： S=1000s20?p7%+Xs10?p7% X= 50000-1000s20?p 7% s10?p7% =651.72 2价值 10,000 元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限 4年。 月结算名利率 18%。计算首次付款金额。 解：设首次付款为 X，则有 10000=X+250a48?p1.5% 解得 X=1489.36 3设有 n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率 i= 1。试计
2、算该年金的现值。 解： PV = na?npi 1-v n n = n 1 n = (n+1) n n 2- nn+2 (n+1)n 4已知：a? np =X，a2?np =Y。试 用X和Y表示 d。 解： a2?np =a? np +a?np (1-d) n则 Y - X 1 d=1-(X )n 5已知：a?7p =5.58238,a11?p=7.88687,a18?p=10.82760 。计算 i。 解： a18?p =a ?7p +a11?p v 7 解得 6.证明：1 1-v10= s 10?p+a?p 。 s10?p i=6.0% 北京大学数学科学学院金融数学系 第1页 版权所有，翻
3、版必究 证明： s10?p +a?p (1+i) 10- 1+1 1 s10?p = i (1+i) 10- 1 i i = 1- v10 7已知：半年结算名利率6%，计算下面 10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。 解： PV =100a? 8p3% +100a20?p3% =2189.716 8某人现年 40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计 25年。然 后，从 65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前 25年的年利率为 8%， 后15年的年利率 7%。计算每年的退休金。 解：设每年退休金为X，选择 65岁年初为比较日 1000
4、25?p8% =X 15?p7% 解得 9已知贴现率为 10%，计算? 8p 。 X=8101.65 解： d=10% ，则i= 1 10.求证： (1) ? np =a?np +1-v n； 1- d-1= 1 9 ?8p =(1+i) 1-v 8 i =5.6953 (2) ? np =s?-np 1+(1+i) n 并给出两等式的实际解释。 证明：(1) ? np = 1- dv n=1- iv n=1- vn i+1- v n 所以 (2) ? np = (1+ i) n- 1 1+i ?np =a? np +1-v n (1+i) n- 1 =(1+i) n- 1 n- 1 d =
5、i 1+i i +(1+i) 所以 ?np =s?- np 1+(1+i) n 版权所有，翻版必究 12.从1980年6月7日开始，每季度年金100 元，直至 1991 年12月7日，季结算名利 率6%，计算： 1）该年金在 1979年9月7日的现值； 2）该年金在 1992年6月7日的终 值。 解： PV =100a49?p1.5% - 100a?2p1.5% =3256.88 AV =100s49?p1.5% - 100s?2p1.5% =6959.37 13.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A 在第110年和第 2130年中每 年1元，在第 1120年中每年 2元；年金 B在第 1
6、10年和第 2130年中每年付款金 额为Y，在第 1120年中没有。已知：v 10 = 1，计算 Y 。 解：因两种年金价值相等，则有 2 a30?pi+a10?piv10=Ya30?- piYa10?pi v10 所以Y = 3- v10 - 2v 30 1+v10- 2v30=1.8 14.已知年金满足： 2元的 2n期期末年金与 3元的 n期期末年金的现值之和为36；另 外，递延 n年的 2元n期期末年金的现值为6。计算 i。 解：由题意知， 2a2?npi +3a? npi =36 2a?npi vn =6 解得 a?7p a?3p +sX?p i=8.33% 15.已 知 a11?
7、p = aY?p +sZ?p 。求X，Y和Z。 解：由题意得 解得 1- v 7 1-v11 = (1+i) X- v3 (1+i)Z- vY 16.化简a15?p (1+v 15+v30)。 解： X=4,Y =7,Z=4 a15?p (1+v 15+v30)=a 45?p 北京大学数学科学学院金融数学系 第3页 版权所有，翻版必究 17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一 次2000元，半年结算名利率9%。 解：年金在 4月1日的价值为 P = 1+4 . 5% 4.5%2000=46444.44 ，则 PV = P (1+i) 2+ 23 =41300.657
8、 18.某递延永久年金的买价为P，实利率 i，写出递延时间的表达式。 解：设递延时间为 t，有 1 解得 t=-ln(1+ ln iPi) P = i v t 19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行 20年。从第三十年底开始每年领取一 定的金额 X，直至永远。计算X。 解：设年实利率为 i，由两年金的现值相等，有 X 1000 20?pi = i v 29 解得 X=1000(1+i) 30 - (1+i) 10 ) 20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和 D：前n年， A、B和C三人 平分每年的年金， n年后所有年金由 D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相 同。计算
9、 (1+i) n 。 解：设遗产为，则永久年金每年的年金为i，那么 A,B,C 得到的遗产的现值 为i 3a?np i ，而D得到遗产的现值为 v n。由题意得 所以 1-v n 3 (1+i) n=4 =v n 21.永久期末年金有 A、B、C、和 D四人分摊， A接受第一个 n年， B接受第二 个n年， C接受第三个 n年， D接受所有剩余的。已知：C 与A的份额之比为 0.49， 求B与D的份额之比。 版权所有，翻版必究 解：由题意知 那么 PVC PVA PVB = = a?np v 2n a?np a? np v n 1 3n =0.49 =0.61 PVD iv 22.1000 元
10、年利率 4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于 100元。计算最后一次还款的数量和时间。 100a? np4.5% v4 1000 解得 n=17 列价值方程 解得100a 16?p4.5% +Xv21=1000 X=146.07 23.36年的期末年金每次4元，另有 18年的期末年金每次 5元；两者现值相等。如果 以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。 解：两年金现值相等，则4a 36?pi=5 18 ，可知v 18=0.25 由题意， (1+i) n=2 解得 n=9 24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元， 5
11、年还清； k个月后一 次还6000 元。已知月结算名利率为12%，计算 k。 解：由题意可得方程 100a60?p1% =6000(1+i)- k 解得 25.已知 a?2pi=1.75，求 i。 解：由题意得 解得 k=29 1-v 2=1.75i i=9.38% 26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538 元，20 年 的期末年金为每年 1072元。计算年利率。 解： 版权所有，翻版必究 27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前 5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出 K元， 且第十年底
12、的余额为一万元，计算K。 解：由题意可得价值方程 10000=105Ka? 2p4% v3 +Ka? 2p4% +10000v 10 则K= 10000-10000v 10 105a? 2p4%v3+a?2p4%v5 =979.94 28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i，后面的利率为 j。计算首次付款金额X的表达式。 解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程 1 P(1+i) 2=X+2Xa? 4pi +2Xa? 5pj (1+i)- 4 所以 P(1+i) 1 2 X= 1+2a? 4pi +2a? 5pj (1+i)- 4 29.
13、已知半年名利率为 7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元，共计 8次。 解： 30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付 400元，然后增为 600元。已知 年利率为 12%。（缺命令） 解： PV =4 400+4 600v 5 =11466.14 31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款 600元的十年期初年金的现 值表达式。 解： 32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。 解： PV = 1 s?4 pi a24?piv3= (1+i) 24- 1 (1+i)27(1+i)4- 1 = a28?- pa
14、?4p s?3p +s?1p 北京大学数学科学学院金融数学系 第6页 版权所有，翻版必究 33.750 元的永久年金和每 20年付款 750元的永久年金可以用每次R元的 30年期末 年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。 解：设年实利率为 i，则(1+2%) 2=1+i 。有题意得 75 0 i + 750 s20?pi i =Ra30?pi 解得 R=1114.77 34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91 ，计算年利率。 解：由题意知 解得 i=20% 1 is?3pi = 125 91 35.已知： 1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年
15、 金，计算 R。 解：由题意得 解得 R=1.95 20= 1 d = R a?2pi i 36.已知每半年付款 500元的递延期初年金价格为10000 元。试用贴现率表示递延 时间。 (2) 解：设贴现率为 d，则 1+ i 2 = 1 (1-d) 1 2 设递延时间为 t，由题意 得 10000=2 500v t(2) ?p 1 解得 t= ln20+ln(1-(1-d) 2) ln(1-d) 37. 计算：3a? (2) np =2a (2) 2?np =45s? (2) 1p ，计算 i。 解： i i 3 a ?npi =2 a?npi =45 i s? 1pi 解得： v n=1
16、,i= 1 i(2) 。 i2 i2 2 30 北京大学数学科学学院金融数学系 第7页 版权所有，翻版必究 38.已知i (4)=16% 。计算以下期初年金的现值：现在开始每 4个月付款 1元， 共12年。（问题） 解： 39.已知： t=1+1t。求?np 的表达式。 解： ? np = n 0 e- R0tsdsdt=ln(1+n) 40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻 t，使得只要在该时刻一次性支 付一个货币单位，则两种年金的现值相等。 解：第一种年金的现值为 1 0 v tdt= 1-e- 第二种年金的现值为e- t， 则 所以t=1+ 1ln i 1-e- =e- t 41.已知： =0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现 值。（结果和李凌飞的不同） 解：设季度实利率为i。因 a(t)=et，则 e 1 4 =(1+i) 所以 1- v 80
