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1、第 1 页 共 18 页 导数压轴题题型 引例 【2016 高考山东理数】 (本小题满分 13 分) 已知. （I ）讨论的单调性； （II ）当时，证明对于任意的成立. 1. 高考命题回顾 例 1.已知函数 )f x（ ae2x+(a2) ex x. （1）讨论( )f x的单调性； （2）若 ( )f x 有两个零点，求a 的取值范围 . 2 21 ( )ln,R x f xa xxa x ( )f x 1a 3 ( ) 2 f xfx1,2x 第 2 页 共 18 页 例 2.（21）（本小题满分12 分）已知函数 2 21 x fxxea x有两个零点 . (I)求 a 的取值范围；
2、(II)设 x1,x2是fx的两个零点 ,证明： 12 2xx. 第 3 页 共 18 页 例 3. （本小题满分 12分） 已知函数f（x）= 3 1 ,( )ln 4 xaxg xx ()当 a 为何值时， x 轴为曲线( )yfx的切线； （）用min,m n表示 m,n 中的最小值， 设函数 ( )min( ),( )(0)h xf xg xx， 讨论 h（x）零点的个数 例 4.( 本小题满分13 分) 已知常数, 函数 ( ) 讨论在区间上的单调性 ; ( ) 若存在两个极值点且求的取值范围 . 第 4 页 共 18 页 例 5 已知函数f(x) ex ln(xm) (1)设 x0
3、 是 f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当 m 2时，证明f(x)0. 第 5 页 共 18 页 例 6 已知函数)(xf满足 21 2 1 )0()1 ( )(xxfefxf x (1)求)(xf的解析式及单调区间； (2)若baxxxf 2 2 1 )(，求ba)1(的最大值。 例7已 知 函 数， 曲 线在 点处 的 切 线 方 程 为 。 （ ）求、的值； （ ）如果当，且时，求的取值范围。 ln ( ) 1 axb f x xx ( )yf x(1, (1)f 230 xy ab 0 x1x ln ( ) 1 xk f x xx k 第 6 页 共 18 页 例
4、 8 已知函数f(x) (x3+3x2+ax+b)e x. (1)若 ab 3,求 f(x)的单调区间 ; (2)若 f(x)在( , ),(2,)单调增加 ,在( ,2),( ,+ )单调减少 ,证明 6. 2. 在解题中常用的有关结论 (1)曲线( )yf x在 0 xx处的切线的斜率等于 0 ()fx，且切线方程为 000 ()()()yfxxxf x。 (2)若可导函数( )yf x在 0 xx 处取得极值，则 0 ()0fx。反之，不成立。 (3)对于可导函数( )f x,不等式( )fx00（）的解集决定函数( )f x的递增（减）区间。 (4)函数( )f x在区间 I 上递增（
5、减） 的充要条件是：xI( )fx0(0)恒成立 （( )fx 不恒为 0）. (5)函数( )f x（非常量函数）在区间I 上不单调等价于( )f x在区间 I 上有极值，则可等 价转化为方程( )0fx在区间I 上有实根且为非二重根。（若( )fx为二次函数且 I=R，则有0）。 (6)( )fx在区间 I 上无极值等价于( )f x在区间在上是单调函数，进而得到( )fx0或 ( )fx0在 I 上恒成立 (7)若xI，( )f x0恒成立，则 min ( )f x0; 若xI，( )f x0恒成立，则 max ( )fx0 (8)若 0 xI，使得 0 ()fx0，则 max ( )f
6、 x0；若 0 xI，使得 0 ()f x0，则 第 7 页 共 18 页 min ( )f x0. (9)设( )f x与( )g x的定义域的交集为D，若xD ( )( )f xg x恒成立，则有 min ( )( )0f xg x. (10)若对 11 xI、 22 xI， 12 ()()f xg x恒成立，则 minmax ( )( )f xg x. 若对 11 xI， 22 xI，使得 12 ()()f xg x,则 minmin ( )( )f xg x. 若对 11 xI， 22 xI，使得 12 ()()f xg x，则 maxmax ( )( )f xg x. （11）已知(
7、 )f x在区间 1 I上的值域为A,，( )g x在区间 2 I上值域为B， 若对 11 xI, 22 xI，使得 1 ()fx= 2 ()g x成立，则AB。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程( )0fx有两个不等实根 12 xx、，且极大值 大于 0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ln1 (0)xxxln+1(1)xx x（） 1 x ex 1 x ex ln1 (1) 12 xx x x 22 ln11 (0) 22 x x xx 3. 题型归纳 导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用 （构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存
8、在性定理应用） （二阶导转换） 例 1（切线） 设函数. （1）当时，求函数在区间上的最小值； （2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于 点求证：. axxf 2 )( 1a )()(xxfxg 1 , 0 0a )(xfy)(,( 111 axxfxP ll x )0,( 2 xAaxx 21 1 x x 第 8 页 共 18 页 例2（最值问题，两边分求）已知函数. 当时，讨论的单调性； 设当时，若对任意，存在，使 ，求实数取值范围 . 交点与根的分布 例 3（切线交点）已知函数在点处的切线方程 为 求函数的解析式； 若对于区间上任意两个自变量的值都有， 求实数 的最小值； 若过点可作曲线
9、的三条切线，求实数的取值范围 1 ( )ln1 a f xxax x ()aR 1 2 a( )fx 2 ( )24.g xxbx 1 4 a1(0,2)x21,2x 12 ()()f xg x b 32 3,fxaxbxx a bR1,1f 20y fx 2,2 12 ,x x12fxfxc c 2,2Mmmyfxm 第 9 页 共 18 页 例 4（综合应用）已知函数 求 f(x)在0,1上的极值； 若对任意成立，求实数 a 的取值 范围； 若关于 x 的方程在 0，1上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值 范围 . 不等式证明 例 5 (变形构造法 )已知函数，a 为正常数 若，且 a，
10、求函数的单调增区间； 在中当时，函数的图象上任意不同的两点， 线段的中点为，记直线的斜率为，试证明： 若， 且对任意的， 都有， 求 a 的取值范围 . 2 3 )32ln()( 2 xxxf 03)(ln|ln|, 3 1 , 6 1 xxfxax不等式 bxxf2)( 1 )( x a x )(ln)(xxxf 2 9 )(xf 0a )(xfy 11, y xA 22, y xB AB ),( 00 yxC AB k )( 0 xfk )(ln)(xxxg2,0, 21 xx 21 xx 1 )()( 12 12 xx xgxg 第 10 页 共 18 页 例 6 (高次处理证明不等式、
11、取对数技巧)已知函数 . （1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （ 2 ） 当时 ， 设 函 数， 若， 求 证 例 7（绝对值处理） 已知函数cbxaxxxf 23 )(的图象经过坐标原点，且在1x处取 得极大值 （I）求实数a的取值范围； （II）若方程 9 )32( )( 2 a xf恰好有两个不同的根，求)(xf的解析式； )0)(ln()( 2 aaxxxf 2 )( xxf 0 xa 1ax xf xg )( )(1),1 , 1 (, 2121 xx e xx 4 2121 )(xxxx 第 11 页 共 18 页 （III） 对于（II） 中的函数)(xf， 对任意R、，
12、 求证：81|)sin2()sin2(|ff 例 8（等价变形）已知函数xaxxfln1)()aR （）讨论函数)(xf在定义域内的极值点的个数； （）若函数)(xf在 1x 处取得极值，对 x),0( ,2)(bxxf恒成立， 求实数 b的取值范围； （）当 2 0eyx且ex时，试比较 x y x y ln1 ln1 与的大小 第 12 页 共 18 页 例 9（前后问联系法证明不等式）已知，直线 与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1。 （I）求直线的方程及m 的值； （II）若，求函数的最 大值。 （III）当时，求证： 例 10 (整体把握，贯穿全题)已知函数 （1）试
13、判断函数的单调性； （2）设，求在上的最大值； （3）试证明： 对任意，不等式都成立 （其中是自然对数的底数） （）证明： 2 17 ( )ln , ( )(0) 22 f xx g xxmxm l ( ),( )f xg x( )fx l ( )(1)( )()h xf xg x 其中g(x) 是g(x) 的导函数( )h x 0ba ()(2 ). 2 ba f abfa a ln ( )1 x f x x ( )f x 0m( )f x,2mm * nN 11 ln() e nn nn e 第 13 页 共 18 页 例 11（数学归纳法） 已知函数，当时，函数取得极大值 . （）求实数
14、的值； （）已知结论：若函数在区间内导数都存在， 且， 则 存 在， 使 得.试 用 这 个 结 论 证 明 ： 若 ， 函 数， 则 对 任 意 ，都有； （）已知正数， 满足， 求证：当，时， 对任 意大 于， 且 互不 相等 的 实数， 都 有 . 恒成立、存在性问题求参数范围 例 12（分离变量）已知函数(a为实常数 ). (1)若，求证：函数在(1,+)上是增函数； (2)求函数在1,e上的最小值及相应的值； ( )ln(1)f xxmx 0 x ( )f x m ( )ln(1)f xxmx( , )a b1a 0 ( , )xa b0 ( )( ) () f bf a fx ba
15、 12 1xx 12 11 12 ()() ( )()() f xf x g xxxfx xx 12 (,)xx x( )( )f xg x 12 , n L 12 1 n L2nnN 1 12 , n x xxL 1 122 () nn fxxxL 1122 ()()() nn f xfxf xL xaxxfln)( 2 2a )(xf )(xf x 第 14 页 共 18 页 (3)若存在，使得成立，求实数a 的取值范围 . 例13（先猜后证技巧）已知函数 （）求函数 f (x)的定义域 （）确定函数 f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论. （）若 x0时恒成立，求正整数k的最大值
16、 . 例 14（创新题型）设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x). ()若 x=0 是 F(x)的极值点 ,求 a 的值； ()当 a=1 时,设 P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x10,x20), 且 PQ/x 轴,求 P、Q 两点间的最短 距离； ()若 x0 时,函数 y=F(x)的图象恒在y=F(x)的图象上方 ,求实数 a 的取值范围 ,1 exxaxf)2()( x xn xf )1(11 )( 1 )( x k xf 第 15 页 共 18 页 例 15(图像分析，综合应用 ) 已知函数， 在区间 上有最大值4，最小值1，设 （）求的值； （）不等式在上恒成立，求实数的范围； （） 方程有三个不同的实数解， 求实数的范围 导数与数列 例16（创新型问题）设函数，是的一个 极大值点 若，求的取值范围； 当是给定的实常数，设是的3个极值点，问是否存在实数，可 找到，使得的某种
