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1、第1页（共 8页） 导数及其应用 一、选择题 1. 0 ()0fx是函数fx在点0 x处取极值的 : A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件 2、设曲线 2 1yx在点)(,(xfx处的切线的斜率为( )g x，则函数( )cosyg xx的部分图象可以为 A. B. C. D. 3在曲线yx 2 上切线的倾斜角为 4 的点是 ( ) A(0,0) B(2,4) C. 1 4， 1 16 D. 1 2， 1 4 4. 若曲线yx 2 axb在点 (0 ，b) 处的切线方程是xy1 0，则 ( ) Aa1，b1 Ba 1，b1 Ca1，b 1 Da 1，b 1 5函
2、数f(x) x 3 ax 23x9，已知 f(x) 在x 3 时取得极值，则a等于 ( ) A2 B3 C4 D5 6. 已知三次函数f(x) 1 3x 3(4 m 1)x 2(15 m 22m 7)x 2 在x( ， ) 是增函数，则m的取值 范围是 ( )Am4 B 4m2 C2m4 D以上皆不正确 7. 直线 yx是曲线lnyax的一条切线，则实数a的值为 A1 B e Cln 2 D1 8. 若函数)1,1(12)( 3 kkxxxf在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（） A3113kkk或或B3113kk或 C22k D不存在这样的实数k 9. 10 函数fx的定义域为, a
3、 b，导函数fx在,a b内的图像如图所示， 则函数fx在,a b内有极小值点 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10. 已知二次函数 2 ( )f xaxbxc的导数为( )fx，(0)0f，对于任意实数x都有( )0f x，则 (1) (0) f f 的最小值为A3 B 5 2 C2 D 3 2 二、填空题 O x x x x y y y y O O O 第2页（共 8页） 11. 函数 sin x y x 的导数为 _ 12、已知函数 223 )(abxaxxxf在 x=1 处有极值为10，则 f(2)等于 _. 13函数2cosyxx在区间0, 2 上的最大值是 14已知函数 3
4、 ( )f xxax在 R上有两个极值点，则实数a的取值范围是 15. 已知函数)(xf是定义在R上的奇函数，0)1(f，0 )()( 2 x xfxfx ）（0 x，则不等式 0)( 2 xfx的解集是 三、解答题 16.设函数 f(x)sinxcosx x1,0x2 ，求函数f(x)的单调区间与极值 17.已知函数 3 ( )3f xxx. （）求)2(f的值；（）求函数( )fx的单调区间 . 18. 设函数Rxxxxf,56)( 3 . （ 1）求)(xf的单调区间和极值； （ 2）若关于x的方程axf)(有 3个不同实根，求实数a的取值范围 . 第3页（共 8页） （ 3）已知当)1
5、()(,),1 (xkxfx时恒成立，求实数k的取值范围 . 19.已知1x是函数 32 ( )3(1)1f xmxmxnx的一个极值点，其中,0m nR m （1）求m与n的关系式；（2）求( )f x的单调区间； （3）当 1,1x，函数( )yf x 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m的取值范围。 第4页（共 8页） 20. 已知函数 2 ( )ln.f xxaxbx （I）当1a时，若函数( )fx在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； （ II ）若( )fx的图象与x 轴交于 1212 (,0),(,0)()A xB xxx两点，且AB 的中点为 0 (,0)C x，求
6、证： 0 ()0.fx 21. 已知函数 2 ( ),( )2 ln( x f xg xax e e 为自然对数的底数） （ 1）求( )( )( )F xf xg x的单调区间，若( )F x有最值，请求出最值； （ 2）是否存在正常数a， 使( )( )fxg x与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？ 若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。 第5页（共 8页） 导数及其应用参考答案 一、选择题： 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B A D A D D D B A C 二、填空题： 11. 2 cossin xxx y x
7、；12. 18 13.3 6 ； 14.0|aa； 15.),1()0, 1( 三、解答题 16. 解析 f(x)cosxsinx12sin(x 4) 1 (0x2) 令 f(x)0，即 sin(x 4) 2 2 ， 解之得 x或 x3 2. x， f(x)以及 f(x)变化情况如下表： x (0，)( ， 3 2) 3 2 (3 2 ，2) f (x)00 f(x)递增 2递减 3 2 递增 f(x)的单调增区间为(0，)和(3 2 ， 2) 单调减区间为 ( ， 3 2) f 极大(x)f( ) 2，f 极小(x) f(3 2) 3 2 . 17.解： （）33( 2 xxf），所以9)2
8、(f. （） 2 ( )33fxx， 解( )0fx，得 1x 或 1x . 解( )0fx，得11x. 所以(,1)，(1,)为函数( )f x的单调增区间，( 1,1)为函数( )f x的单调减区间 . 18. 解: （ 1）2,2,0)(),2(3)( 21 2 xxxfxxf得令1 分 当22( )0;22,( )0 xxfxxfx或时,当时，2 分 )(xf的单调递增区间是(,2)(2,)和，单调递减区间是)2,2( 3 分 当245)(,2有极大值xfx；当245)(,2有极小值xfx. 4 分 （2）由（ 1）可知)(xfy图象的大致形状及走向（图略） 当)(,245245xfy
9、aya与直线时的图象有3个不同交点，6分 即当54 254 2a时方程)(xf有三解 . 7 分 第6页（共 8页） （3）)1()5)(1()1()( 2 xkxxxxkxf即 ), 1(5, 1 2 在xxkx上恒成立 . 9 分 令5)( 2 xxxg，由二次函数的性质，), 1()(在xg上是增函数， ,3)1()(gxg所求k的取值范围是3k12 分 19.解： （1） 2 ( )36(1).fxmxmxn因为1x是函数( )f x的一 个极值点 .所以(1)0f 即3 6(1)0,mmn 所以 36nm （2）由（ 1）知， 22 ( )36(1)363 (1)(1)fxmxmxm
10、m xx m 当 0m 时，有 2 11 m ，当x为化时，( )f x与( )fx的变化如下表： x 2 (,1) m 2 1 m 2 (1,1) m 1 (1,) ( )fx- 0 + 0 - ( )f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减 故由上表知，当0m时，( )f x在 2 (,1) m 单调递减，在 2 (1,1) m 单调递增，在(1,)上单调 递减 . （3）由已知得 ( )3fxm，即 2 2(1)20mxmx又0m，所以 2 22 (1)0 xmx mm ，即 2 22 (1)0, 1,1xmxx mm 设 2 12 ( )2(1)g xxx mm ，其函数图象开口向上
11、，由题意知式恒成立，所以 22 ( 1)0120 (1)0 10 g mm g 解之得 4 0 3 mm又所以 4 0 3 m即m的取值范围为 4 (,0) 3 20. （ 1） 由题 意：bxxxxf 2 ln)(，)(xf在),0(上 递 增，02 1 )(bx x xf对 ),0(x恒成立，即x x b2 1 对),0(x恒成立，只需 min )2 1 (x x b， 0 x，222 1 x x ，当且仅当 2 2 x时取“ =” ，22b，b的取值范围为)22,( （2）由已知得， 0ln)( 0ln)( 2 2 222 1 2 111 bxaxxxf bxaxxxf 2 2 22 1
12、 2 11 ln ln bxaxx bxaxx ，两式相减，得： )()(ln 212121 2 1 xxbxxxxa x x )()(ln 2121 2 1 bxxaxx x x ， 由bax x xf2 1 )(及 210 2xxx，得： )( 2 2 1 )( 2 2 1 1 0 0 0 bxxa xx bax x xf 2 1 11 ln 12 22 x x xxxx 第7页（共 8页） ln )(2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 x x xx xx xx ln ) 1( ) 1(2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 x x x x x x xx ，令) 1 ,0( 2 1 x
13、 x t， 且t t t tln 1 22 )()10(t，0 ) 1( ) 1( )( 2 2 tt t t，)(t在)1 , 0(上为减函数， 0)1()(t，又21xx，0)(0 xf 21. 解： （ 1） 3 222() ( )( )( )(0) xaxea Fxfxgxx exex 当0,( )0aFx时恒成立 ( )(0,)F x 在上是增函数，( )F xF 只有一个单调递增区间（0，-） ，没有最值3 分 当0a时， 2() ( )(0) xea xea F xx ex ， 若0 xea，则( )0,( )(0,)FxF xea在上单调递减； 若xea，则( )0,( )(,
14、)FxF xea在上单调递增， xea当时，( )F x有极小值，也是最小值， 即 min ( )()2 lnlnF xFeaaaeaaa 6 分 所以当0a时，( )F x的单调递减区间为(0,)ea 单调递增区间为(,)ea，最小值为lnaa，无最大值7 分 （ 2）方法一，若( )f x与( )g x的图 象有且只有一个公共点， 则方程( )( )0f xg x有且只有一解，所以函数( )F x有且只有一个零点8 分来源 :学_科_ 网 由（ 1）的结论可知 min ( )ln01F xaaa得 10 分 此时， 2 ( )( )( )2ln0 x F xf xg xx e min (
15、)()0F xFe ()()1,( )( )fegef xg x与的图象的唯一公共点坐标为(,1)e 又 2 ()()fege e Q( )( )f xg x与的图象在点(,1)e处有共同的切线， 第8页（共 8页） 其方程为 2 1()yxe e ，即 2 1yx e 13 分 综上所述，存在a1，使( )( )f xg x与的图象有且只有一个公共点(,1)e，且在该点处的公切线方 程为 2 1.yx e 14 分 方法二：设( )f x 与g(x)图象的公共点坐标为 00 (,)xy， 根据题意得 )()( )()( 0 0 00 xfxf xgxf 即 2 0 0 0 0 2 ln 22 x ax e xa ex 由得 2 0 x a e ，代入得 02 1 ln, 2 xxe 从而1a 10 分 此时由（ 1）可知 min ( )()0F xFe0 xxe当且时，( )0,( )( )F xf xg x即 因此除 0 xe外，再没有其它0 x，使 00 ()()f xg x 13 分 故存在1a，使( )( )f xg x与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得 公共点坐标为 (,1)e ，公切线方程为 2 1yx e 14 分
