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1、1 模块综合测评 ( 时间 :120 分钟满分 :150 分) 一、选择题 ( 本大题共12 小题 , 每小题 5分 , 共 60 分) 1.若abc,则的值 () A.大于 0 B.小于 0 C.小于或等于0 D.大于或等于0 解析 : 因为abc, 所以a-cb-c0, 所以, 所以0, 故选 A. 答案 : A 2.不等式|x+3|+|x-2|5 的解集是 () A.x|-3x2 B.R C.? D.x|x2 解析 : 令f(x)=|x+3|+|x-2|=则f(x) 的图像如图 , 由图可知 ,f(x)0,y0,z0), 则P与 3的大小关系是() A.P3B.P3 2 解析 : 因为
2、1+x0,1+y0,1+z0, 所以=3, 即Pa的解集为M, 且 2?M, 则a的取值范围为 () A.B. C.D. 解析 : 由已知 2?M, 可得 2 ?RM, 于是有a, 即-aa, 解得a , 故应选 B. 答案 : B 5.某人要买房 , 随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多, 因此不满意度升高,设住第n层楼 , 上下 楼造成的不满意度为n; 但高处空气清新, 嘈杂音较小 , 环境较为安静 , 因此随楼层升高,环境不满意 度降低 , 设住第n层楼时 , 环境不满意程度为, 则此人应选 () A.1 楼B.2 楼 C.3 楼D.4 楼 解析 : 设第n层总的不满意程度为f(n),
3、 则f(n)=n+2=23=6, 当且仅当n=, 即n=3 时取等号. 答案 : C 6.若关于x的不等式|x-1|+|x-3|a 2- 2a-1 在 R上的解集为 ? , 则实数a的取值范围是() A.(- ,-1)(3,+) B.(- ,0) (3,+) C.(-1,3) D.-1,3 解析 :|x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上与x对应的点到1,3 对应的两点距离之和, 故它的最小值为 2,原不等式解集为? ,a 2- 2a-12, 即a 2- 2a-30, 解得-1a3, 故选 C. 答案 : C 7.设a,b,c为正数 , 且a+b+4c=1, 则的最大值是 () 3 A.B.
4、C.D.5 解析 : 由柯西不等式得() 2 () 2+( ) 2+( ) 2 = 1, 所以 , 当且仅当a=,b=,c=时等号成立 , 故的最大值是 . 答案 : A 8.设正实数a1,a2, ,a10的任意一个排列为b1,b2, ,b10, 则+的最小值是 () A.1 B.10 C.D.100 解析 : 不妨设 0a1a2a10, 则 0|b-c|, 则有 () A.adbcB.adbcD.adbc 4 解析 : 由|a-d|b-c|可得 (a-d) 2( b-c) 2, 即 a 2+d2- 2adb 2+c2- 2bc, 又因为a+d=b+c, 所以 a 2+d2 +2ad=b 2+
5、c2+2bc, 所以 -4ad-4bc, 于是ad0. 因此y=cossin 2 0, 于是 y 2=cos2 sin 4 2cos 2 sin 2 sin 2 , 当且仅当 tan时, 等号成立 , 所以y, 故所求最大值为. 答案 : D 二、填空题 ( 本大题共4 小题 , 每小题 5 分, 共 20 分 ) 5 13.已知关于x的不等式2x+7 在x(a,+) 内恒成立 , 则实数a的最小值为. 解析 : 2x+=2(x-a)+2a2+2a=2a+47, 故a ,即实数a的最小值为. 答案 : 14.不等式|x-4|+|x-3|a有实数解的充要条件是. 解析 : 不等式a|x-4|+|
6、x-3|有解 ?a(|x-4|+|x-3|)min=1. 答案 :a1 15.设x,y,zR,2x+2y+z+8=0, 则(x-1) 2+( y+2) 2+( z-3) 2 的最小值为. 解析 : 由柯西不等式可得(x-1) 2+( y+2) 2+( z-3) 2(22+22+12 ) 2(x-1)+2(y+2)+(z-3) 2=(2 x+2y+z- 1) 2 =81, 当且仅当x=-1,y=-4,z=2 时等号成立 , 所以 (x-1) 2+( y+2) 2+( z-3) 29. 答案 : 9 16.对于任意实数a(a0)和b, 不等式|a+b|+|a-b|a|x-1|恒成立 , 则实数x的
7、取值范围 是. 解析 : 依题意只需不等式的左边的最小值|a|x-1|, 由绝对值三角不等式得|a+b|+|a- b|(a+b)+(a-b)|=|2a|=2|a|, 故只需求解2|a|a|x-1|即可 ,解得-1x3. 答案 : -1,3 三、解答题 ( 本大题共6 小题 , 共 70 分) 17.( 本小题满分10 分) 已知x,y均为正数 , 且xy,求证 :2x+2y+3. 证明因为x0,y0,x-y0, 所以 2x+-2y =2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ 3=3, 当且仅当x-y=1 时, 等号成立. 6 所以 2x+2y+3. 18.( 本小题满分12 分) 已知m1,
8、 且关于x的不等式m-|x-2|1 的解集为 0,4. (1) 求m的值 ; (2) 若a,b均为正实数 , 且满足a+b=m, 求a 2+b2 的最小值. 解(1)m1, 不等式m-|x-2|1 可化为|x-2|m-1, 1-mx-2m-1, 即 3-mxm+1. 其解集为 0,4, 解得m=3. (2) 由 (1) 知a+b=3, ( 方法一 : 利用平均值不等式) (a+b) 2=a2+b2+2ab(a2+b2) +(a 2+b2) =2(a 2+b2), a 2+b2 , 当且仅当a=b=时, 等号成立 , a 2+b2 的最小值为. ( 方法二 : 利用柯西不等式) (a 2+b2)
9、 (12+12) (a1+b1)2=( a+b) 2=9, a 2+b2 , 当且仅当a=b=时, 等号成立 , a 2+b2 的最小值为. ( 方法三 : 消元法求二次函数的最值) a+b=3, b=3-a. a 2+b2=a2+(3 -a) 2=2a2- 6a+9 =2. 7 a 2+b2 的最小值为. 19.( 本小题满分12 分) 用数学归纳法证明 :n!(n1,nN+). 证明 (1) 当n=2 时,2!=2, 不等式成立. (2) 假设当n=k(k2, 且kN+) 时不等式成立, 即k!, 则当n=k+1 时,+ (k+1)=(k+1)(k+1)k!=(k+1)!, 所以当n=k+
10、1 时不等式成立. 由(1)(2)可知 ,对n1 的一切正整数 , 不等式成立. 20.导学号 35664053( 本小题满分12 分) 已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2| 的最小值为a. (1) 求a的值 ; (2) 若p,q,r是正实数 , 且满足p+q+r=a,求证 :p 2+q2+r2 3. 解(1) 因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1x2 时,等号成立 , 所以f(x) 的最小值等 于 3, 即a=3. (2) 由 (1) 知p+q+r=3, 又因为p,q,r是正实数 , 所以 (p 2+q2+r2)(12+12+12) (p 1
11、+q1+r1) 2=( p+q+r) 2=9, 当且仅当 p=q=r=1 时等号成立 , 即 p 2+q2 +r 23 . 21.导学号 35664054( 本小题满分12 分) 设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|. (1) 求不等式f(x)2 的解集 ; (2) 若对于 ?xR,f(x) t 2- t 恒成立 , 求实数t的取值范围. 解(1)f(x)= 8 当x2,x-6,x-6; 当-1x2,x,x2,x-2,x2. 综上所述 , 不等式f(x)2 的解集为 . (2) 由 (1) 可知f(x)min=f(-1)=-3, 若?x R,f(x) t 2- t恒成立 , 则只需f(x)
12、min=-3t 2- t? 2t 2- 7t+60?t2, 所以实数t的取值范围为. 22.导学号 35664055( 本小题满分12 分) 已知a,b,c为非零实数 , 且a 2+b2+c2+1- m=0,+1-2m=0. (1) 求证 :; (2) 求实数m的取值范围. (1) 证明由柯西不等式得 (a 2+b2+c2) , 即(a 2+b2+c2) 36. 9 . (2) 解由已知得a 2+b2+c2=m- 1,=2m-1, (m-1)(2m-1)36, 即 2m 2- 3m-350, 解得m-或m5. 又a 2+b2+c2=m- 10,=2m-10, m5, 即实数m的取值范围是5,+).
