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1、用心爱心专心1 上海南汇中学 2011 学年第二学期期中考试 高二数学 满分： 100 分完成时间： 90 分钟 一、填空题 （每小题3 分，共 36 分） 1、直线013yx的倾斜角是 . 2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0, 2)，则椭圆的标准方程为_. 3、经过点(1,0)A且与直线10 xy平行的直线l的方程为 _. 4、双曲线 22 1 49 xy 的虚轴长是 _. 5、已知直线220310 xyxy和的夹角是 _. 6、直线1xy被圆 22 1xy所截得的弦长等于 _. 7、已知方程 22 1 104 xy kk 表示双曲线，则实数k的取值范围为 _. 8、过点(1,2)且与
2、圆 22 1xy相切的直线的方程是 _. 9、已知双曲线 2 2 1 4 y x的两个焦点分别为 1 F、 2 F,P为双曲线上一点，且 12 2 F PF, 则 12 F PF的面积是 . 10、设F为抛物线 2 4yx的焦点，,A B C为该抛物线上三点，若点(1,2)A，ABC的 重心与抛物线的焦点F重合，则BC边所在直线方程为 . 11、若方程 2 10 xkx只有一个解，则实数k的取值范围是 _. 12、下列五个命题：直线l的斜率 1,1k，则直线l的倾斜角的范围是, 4 4 ； 直线:1lykx与过( 1,5)A，(4, 2)B两点的直线相交，则4k或 3 4 k； 如果实数, x
3、 y满足方程 22 (2)3xy，那么 y x 的最大值为3； 直线1ykx与椭圆 22 1 5 xy m 恒有公共点，则m的取值范围是1m； 用心爱心专心2 方程0524 22 mymxyx表示圆的充要条件是 4 1 m或1m； 正确的是 _ _. 二、选择题 （每小题3 分，共 12 分） 13、直线320 xym与直线2310 xy的位置关系是（） （A）相交（B）平行（ C）重合（D）由m决定 14、若椭圆1 4 2 22 a yx 与双曲线1 2 2 2 2 y a x 有相同的焦点， 则实数a为 （） （A） 1 （ B）1（C）1（ D ） 不确定 15、已知抛物线xyC 2 :
4、与直线1:kxyl， “0k”是“直线l与抛物线C有两个不 同交点”的 （） （A）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C： 22 | 1 x xy y ab ，下列叙述中错误 的是 （） （A）垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点 （B）直线ykxm（,k mR）与曲线C最多有三个交点 （C）曲线C关于直线 yx对称 （D）若 111 (,)P x y， 222 (,)Pxy为曲线C上任意两点，则有 12 12 0 yy xx 三、解答题 （第 17、18 题各 8 分，第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，第 21 题 14
5、 分，共 52 分） 17、已知ABC的三个顶点是(3, 4)A、(0,3)B、( 6,0)C，求 （1）BC边所在直线的一般式方程；(4 分 ) （2）BC边上的高AD所在直线的一般式方程. (4分) 18、求经过( 3,0)A, 且与圆 22 (3)64xy内切的圆的圆心M的轨迹方程 . (8分) 19、已知双曲线 1 C： 2 2 1 4 y x （1）求与双曲线 1 C有相同的焦点，且过点(4,3)P的双曲线 2 C的标准方程； （5 分） （2）直线l：yxm分别交双曲线 1 C的两条渐近线于A、B两点。当3OA OB uu u r uuu r 时， 用心爱心专心3 求实数m的值 .
6、 （5 分） 20、如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离 最近，且为 0.4千米，城镇P位于点O的北偏东30 o处， 10OP千米，现要在河岸边的某 处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路, l以便建立水陆交通 网 （1）建立适当的坐标系，求抛物线 C的方程；（5 分） （2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形， 在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001 千米） . （ 7 分） 21、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。
7、如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的 相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆 2 2 1: 1 4 x Cy. （1）若椭圆 22 2 :1 164 xy C，判断 2 C与 1 C是否相似？如果相似，求出 2 C与 1 C的相似 比；如果不相似，请说明理由；（4 分） （2）写出与椭圆 1 C相似且短半轴长为b的椭圆 b C的方程； 若在椭圆 b C上存在两点M、 N关于直线1yx对称，求实数b的取值范围？（6 分） （3）如图：直线yx与两个“相似椭圆” 22 22 :1 xy M ab 和 22 2 22 : xy M ab (0,ab01)分别交于
8、点,A B和点,C D， 试在 椭圆M和椭圆M上分别作出点E和点F（非椭圆顶 点） ，使CDF和ABE组成以为相似比的两个相似三 O P 用心爱心专心4 角形，写出具体作法。 （不必证明）.（ 4 分） 上海南汇中学2011 学年第二学期期中考试 高二数学（答案） 满分： 100 分 完成时间： 90 分钟命题人：吴世星周华审核人：潘静红 一、填空题 （每小题3 分，共 36 分） 1、直线013yx的倾斜角 6 . 2、 若椭圆的长轴长为12， 一个焦点是(0, 2)， 则椭圆的标准方程为_ 22 1 3236 xy _. 3、经过点(1,0)A且与直线10 xy平行的直线l的方程为10 x
9、y _. 4、双曲线 22 1 49 xy 的虚轴长是 9 _. 5、已知直线220310 xyxy和的夹角是 4 _. 6、直线1xy被圆 22 1xy所截得的弦长等于2 _. 7、已知方程 22 1 104 xy kk 表示双曲线，则实数k的取值范围为_410kk或 . 8、过点(1,2)且与圆 22 1xy相切的直线的方程是3450 xy或1x_. 9、已知双曲线 2 2 1 4 y x的两个焦点分别为 1 F、 2 F,P为双曲线上一点，且 12 2 F PF, 则 12 F PF的面积是 4 . 10、设F为抛物线 2 4yx的焦点，,A B C为该抛物线上三点，若点(1,2)A，A
10、BC的 重心与抛物线的焦点 F重合，则BC边所在直线方程为210 xy . 11、若方程 2 10 xkx只有一个解， 则实数k的取值范围是1,1)2U . 12、下列五个命题：直线l的斜率 1,1k，则直线l的倾斜角的范围是, 4 4 ； 直线:1lykx与过( 1,5)A，(4, 2)B两点的直线相交，则4k或 3 4 k； 如果实数 , x y满足方程 22 (2)3xy，那么 y x 的最大值为3； 用心爱心专心5 直线1ykx与椭圆 22 1 5 xy m 恒有公共点，则m的取值范围是1m； 方程0524 22 mymxyx表示圆的充要条件是 4 1 m或1m； 正确的是 _ _.
11、二、选择题 （每小题3 分，共 12 分） 13、直线320 xym与直线2310 xy的位置关系是（ A ） （A）相交（B）平行（ C）重合（D）由 m决定 14、若椭圆1 4 2 22 a yx 与双曲线1 2 2 2 2 y a x 有相同的焦点，则实数a为 （ C ） （A） 1 （ B） 1 （C） 1 （ D ） 不确定 15、已知抛物线xyC 2 :与直线1:kxyl， “0k”是“直线l与抛物线C有两个不 同交点”的 （ B ） （A）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C： 22 | 1 x xy y ab ，下列叙述
12、中错误 的是 （ C ） （A）垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点 （B）直线ykxm（,k mR）与曲线C最多有三个交点 （C）曲线C关于直线yx对称 （D）若 111 (,)P x y， 222 (,)Pxy为曲线C上任意两点，则有 12 12 0 yy xx 三、解答题 （第 17、18 题各 8 分，第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，第 21 题 14 分，共 52 分） 17、已知ABC的三个顶点是(3, 4)A、(0,3)B、( 6,0)C，求 （3）BC边所在直线的一般式方程；(4 分 ) （4）BC边上的高AD所在直线的一般式方程. (4分) 解； （1）( 6
13、, 3)BC uuu r 是 BC边所在直线的方向向量 故 3 : 63 BC xy l ，即:260 BC lxy4 分 （2）( 6,3)BC uuu r 高 AD所在直线的法向量 故: 6(3)3(4)0 AD lxy，即:220 AD lxy8 分 用心爱心专心6 18、求经过( 3,0)A, 且与圆 22 :(3)64Cxy内切的圆的圆心M的轨迹方程 . (8分) 解：根据题意得，8MAMCAC, 2 分 由椭圆定义得4,3ac，所以 2 7b4 分 所以所求的圆心M的轨迹方程为 22 1 167 xy 8 分 19、已知双曲线 1 C： 2 2 1 4 y x （1）求与双曲线 1
14、 C有相同的焦点，且过点(4,3)P的双曲线 2 C的标准方程； （5 分） （2）直线l：yxm分别交双曲线 1 C的两条渐近线于A、B两点。当3OA OB uu u r uuu r 时， 求实数m的值 . （5 分） 解： （1）双曲线 1 C的焦点坐标是(5,0),(5,0)，1 分 设双曲线 2 C的标准方程为 22 22 1 xy ab ， 则 22 22 1 163 1 ab ab 解得 2 2 4 1 a b 3 分 所以双曲线 2 C的标准方程为 2 2 1 4 x y5 分 （2）双曲线 1 C的两条渐近线方程为2 ,2yx yx6 分 由 2yx yxm 得(,2)A mm
15、由 2yx yxm 得 2 (,) 33 mm B 8 分 22 2 4 3 33 mm OA OBm uuu r uu u r ，得3m10 分 20、如图，弯曲的河流是近似的抛物线 C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离 最近，且为0.4千米，城镇P位于点O的北偏东30 o 处，10OP千米，现要在河岸边的某 处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路, l以便建立水陆交通 网 （1）建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；（5 分） （2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形， 在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值
16、（精确到0.001 千米） . （ 7 分） 用心爱心专心7 解： （1）如图所示，建立平面直角坐标系1 分 由题意得，0.4 2 p 3 分 所以，抛物线 2 :1.6Cyx 5 分 （2）设抛物线C的焦点为F由题意得， 5,53P 7 分 根据抛物线的定义知，公路总长9.806QFQPPF 10 分 当Q为线段PF与抛物线C的交点（如图）时，公路总长最小，11 分 最小值为9.806 千米 12 分 21、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。 如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的 相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆 2 2
