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1、1,函数的极限,小结 作业,数列的极限,第二节 极限的概念、无穷小与无穷大(上）,第一章 极限和函数的连续性质,一、概念的引入,极限概念是从常量到变量,从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键.,极限的思想源远流长.,庄子(约公元前355275年)在天下篇,“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.,意思是:,一尺长的棍子,第一天取其一半,第二,天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一,半,这样永远也取不完.,中写道:,割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S .,用其内接正 n 边形的面积,3,割圆术：
2、,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S .,用其内接正 n 边形的面积,割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S .,用其内接正 n 边形的面积,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S .,用其内接正 n 边形的面积,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,引例.,设有半径为 r
3、 的圆,逼近圆面积 S .,用其内接正 n 边形的面积,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S .,用其内接正 n 边形的面积,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S .,用其内接正 n 边形的面积,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S .,用其内接正 n 边形的面积,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，
4、则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S .,用其内接正 n 边形的面积,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S .,用其内接正 n 边形的面积,13,如,定义,按照自然数的顺序排列的一列数,简记为,通项(general,term),或者一般项.,二、数列 (sequence of number) 及其极限,1.数列的概念,14,数列的(两种)几何表示法:,数列可看作自变量为正整数 n的函数:,整标函数或下标函数,(1)数列对应着数轴上一个点列.,(2)
5、在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,不可将这串点连成曲线.,则数列的几何意义是,平面上一串分离的点.,16,2、数列极限的概念,即,问题,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?,如果是,当n无限增大时,无限接近于1.,如何确定?,17,答案是否定的，例如数列,18,定义,大时,无限接近于 ,极限(limit）,或,如果一个数列没有极限,就称该数列发散(diverge).,注:,趋于,记为：,或者称数列 收敛于 ,解：,0,确定常数,极限存在,19,（非确定常数）,20,21,3.1. 有界性,如,有界;,无界.,定义,若存在正数M,n,恒有,称为无界.,则称数列 有界;,数轴上对
6、应于有界数列的点 都落在,闭区间 上.,否则,使得一切正整数,3、收敛数列的性质,22,定理1,有界性是数列收敛的必要条件,推论,收敛的数列必定有界.,无界数列必定发散.,不是充分条件.,3.2. 唯一性,定理2,每个收敛的数列只有一个极限.,3.3. 保号性,定理3,如果,且,推论,如果数列,从某项起有,且,那么,23,函数在无穷远点的极限,函数在一点的极限,三、 函数的极限,对于数列,即整标函数,其自变量的变化只有一种情形.,而对于一般函数 来说,有:,1 .当x时,函数f (x)的极限,函数,当x+时,函数 f (x) 无限趋近于常 数1，此时我们称1为当x+时函 数f (x)的极限.,
7、定义 如果当自变量x无限增大时，函数f (x)无限趋近 于某个确定的常数A，则称常数A为函数f (x)当x+时 的极限，记为,-1,1,或,24,当x-时,函数 f (x) 无限趋近于常数1，此时我们称1为 当x-时函数f (x)的极限.,定义 如果当 无限增大时，函数f (x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f (x)当x时的极限，记为,(x),或,25,定理,的充要条件是,当x+时,函数趋于/2; 当x-时, 函数趋于-/2;,那 ?,例,26,思考题：,的极限存在吗？,1,当x时,函数f(x)极限存在的充要条件,27,1、,不存在,0,不存在,0,不存在,（2）,（1）,不存
8、在,例：观察下列函数在x趋于无穷时极限是否存在.,28,例,不存在,29,由图形可以看到,f 1( x ) 在点 x= 1 处有定义.,函数 f 2( x ) 在点 x= 1 处没有定义.,2 当xx0时,函数f (x)的极限,30,2 当xx0时,函数f (x)的极限,当x1时, 的值无限趋近 于常数2，此时我们称当x趋近于1时， 函数,极限为2,定义 设函数 f(x)在的某邻域内有定义（x0可以除外）,如果当自变量x 趋近于x0 时,函数 f(x)的函数值无限趋近于某个确定的常数A,则称A为函数 f(x) 当xx0时的极限，,或,考查函数,记为,31,2.在定义中，x 是以任意方式趋近于
9、的，但在有些问题中，往往只需要考虑点x 从 的一侧趋近于 时，函数f (x)的变化趋向.,注: 1. 在 时的极限是否存在,与 在 点 处有无定义以及在点 处的函数值无关.,如果当 从 的左侧 趋近于 (记为 ）时, 以A为极限，则称A为函数 当 时的左极限，记为,或,32,如果当 从 的右侧 趋近于 （记为 ）时, 以A为极限，则称A为函数 当 时的右极限,或 ( ),记为,33,解,观察可知:,例,左极限,右极限,求,1,34,定理常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在,35,左右极限存在但不相等,证,例,例,解,分段点左右两边表达式相同不需分左右极限,分段函数在分段点的极限的步骤:,注意：有时不需分左右极限求解,36,性质1(局部有界性),3 函数极限的性质,性质2(局部保号性),38,五、小结,2.极限的几种形式,3.根据定理讨论分段函数在分段点的极限.,4.结合图形熟记基本初等函数在各点的极限.,5.了解收敛数列（函数）的性质(有界性、保号性).,1.理解极限是研究函数在自变量变化下，函数值的变化趋势问题。,作业,习题1.2 (A) 1，3,39,
