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1、极限的概念,许聪聪,高等数学之,流程,教学内容 教学目标 重点难点 地位作用 学生情况 教学方法 设计思路,引入 极限思想 数列的极限 函数的极限 极限的应用,（一）教学内容,第二节 极限的概念,一、 数列的极限,二、 函数的极限,一、说课,第一章 函数与极限,一、说课,（二）教学目标,（三）重点、难点,数列极限的概念及求法 函数极限的概念及判断,数列极限概念的理解 函数极限概念的理解与判断,教学难点,教学重点,一、说课,定积分,导数,不定积分,微分方程,（四）本节在本门课中的地位与作用,一、说课,一、说课,学生情况,高中阶段接触过极限的概念,只能对最简单的数列进行判断,（五）学生情况,只能对
2、最简单的函数进行计算,对极限思想的理解不够,教学内容,一、说课,（六）教学方法,一、说课,（七）设计思路,内容梳理,一、说课,极限思想,数列的极限,函数的极限,极限的应用,（5分钟）,（10分钟）,（15分钟）,（10分钟）,数学的素质教育,一、说课,二、授课,请思考这两句诗的意境！,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家。他撰写重差对九章算术中的方法和公式作了全面的评注，指出并纠正了其中的错误，在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献 。他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 的方法 ：,它包含了,二、授课,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不割，则与圆周合体而无所失矣”,“用已
3、知逼近未知 , 用近似逼近精确”,的重要极限思想,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,二、授课,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 边形的面积,二、授课,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,二、授课,庄子.天下篇,第一天截完后所剩杖的长度为,第二天截完后所剩杖的长度为,第n天截完后所剩杖的长度为,按一定次序排列的一列数,这一列有序的数就叫数列.,记为,其中的每个数称,为数列的项,称为通项(一般项).,（一）数列的极限,二、授课,定义1,简洁美,对于数列 ，,否则称该数列发散,定义2,如果当n无限增大时，,无限,接近于
4、某个确定的常数A，,则称A为数列,或称数列收敛于A,记为,或,的极限，,二、授课,1.数列是整标函数,例1 观察下列数列的极限：,注：,2.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴,（1）,所以,收敛于1,上依次取,二、授课,（4）,所以,所以发散,（2）,趋势不定，,发散,（3）,所以,收敛于1,播放,二、授课,收敛于1。,（5）,趋势不直观，,观察下面动画,二、授课,（1）,（2）,（4）,（5）,单调增加趋近于1,单调增加但无极限,摆动无极限,左右摆动趋近于1,收敛,单调增加收敛,单调减少收敛,左右摆动收敛,发散,无穷发散,摆动发散,单调数列不一定有极限,摆动不一定发散,（1）,（5
5、）,（3）,（4）,（2）,（3）,单调增加趋近于0,引例 考察函数 当 无限增大时的变化趋势。,二、授课,（二）函数的极限,把数列推广到一般函数,1. 自变量趋向无穷时函数的极限,x,O,y,由高中知识可知，,注意到,，,此时，,。,定义,可看作,的推广。,与数列极限定义对比可得,y=A为函数 f(x) 的水平渐近线。,定义3:,函数,无限接近于常数,时的极限,记作,或,如果在上述定义中,即有,或,则称常数,为函数,当,或,时的极限.,二、授课,可以得到下面的定理:,所以极限,二、授课,例 2 讨论极限,解,由于,不存在.,定理1,图,O,1,-1,(1,2),x,y,图2,2. 自变量趋向
6、有限值时函数的极限,二、授课,以及函数 的变化趋势？,二、授课,定义4,定义.,近于常数,时的极限.,记作,或,函数,(或右极限),记为,或,二、授课,A,A,可以得到下面的定理:,定理2,例3.,解 从右图易见，,1,。,e,2,显然 e 2 , 从而,故函数 f (x) 当 x 1 时极限不存在。,讨论函数,当,时，极限,是否存在？,二、授课,。,y,O,极限,无限接近,无限接近,数列,函数,二、授课,无穷,点,量变到质变,统一美,有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔。而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，试问一年
7、后共有小兔几对？以后每月的增长速度怎么样？,二、授课,1 提出问题,问题假设,1 假定每产一对小兔必一雌一雄；,2 均无死亡。,1.问题假设是建立 模型的关键；,2.注意假设的合理性。,1月 1,2月 2,3月 3,4月 5,5月 8,6月 13,二、授课,观察一下数列之间有什么样的关系？,目前 1,2 分析问题,Fibonacci数列,1，1，2，3，5，8，13，,写出数列,二、授课,递推关系：,3 解决问题,89，,通项：,21，,34，,55，,233,144，,二、授课,多年后成年兔子与仔兔数量均以每月61.8%速度增长,与Fibonacci 数列紧密相关的一个重要极限,4 问题升华
8、,（2）证券投资的艾略特“波浪理论”,（1）树的分枝,内容小结,1. 数列极限的概念及简单计算,2. 函数极限，左、右极限概念及判定,思考与练习,1. 若极限,存在,课后作业,是否一定有,二、授课,P47 10 ; 11,?,2. 设函数,且,存在, 则,3,谢谢大家！,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,二、授课,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,二、授课,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,二、授课,“割之弥细，所失弥少，
9、割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,二、授课,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,二、授课,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,二、授课,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,二、授课,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,二、授课,二、授课,二、授课,二、授课,二、授课,二、授课,二、授课,二、授课,二、授课,二、授课,二、授课,二、授课,二、授课,二、授课,如果当 无限增大时，,（一）数列的极限,二、授课,数列 ，,否则称该数列发散,定义2,无限,接近于某个确定的常数A，,则称A为,或称数列收敛于A,记为,或,的极限，,函数,函数,对于,数列,
