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1、第四章 平面三角形单元,41 有限元法的基本思想 42 三角形常应变单元 43 形函数的性质 44 刚度矩阵 45 等效节点力载荷列阵 46 有限元分析的实施步骤 47 计算实例,第四章 平面三角形单元,一、有限元法的基本思想,假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元）， 彼此间只在数目有限的指定点（结点）出相互连结，组成 一个单元的集合体以代替原来的连续体，再在结点上 引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。选择一个 简单的函数来近似地表示位移分量的分布规律，建立位 移和节点力之间的关系。,有限元法的实质是：把有无限个自由度的连续体， 理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题简化 为适
2、合于数值解法的结构型问题。,4-1 有限元法的基本思想,二、经典解与有限元解的区别：,为平面应力问题，由于结构的对称性可取结构的1/4来研究，故所取的力学模型,三、有限元法算题的基本步骤,1. 力学模型的选取,（平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等）,例如：,根据题目的要求，可选择适当的单元把结构离散化。对于平面问题可用三角元，四边元等。,2. 单元的选取、结构的离散化,例如：,结构离散化后，要用单元内结点的位移通过插值来获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元的自
3、由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。,3. 选择单元的位移模式,（4-1）,单元内任一点的位移列阵；,单元的结点位移列阵；,单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐标的函数）,4. 单元的力学特性分析,把（4-1）式代入几何方程可推导出用单元结点位移表示的单元应变表达式：,（4-2）,式中：,单元内任一点应变列阵；,单元的应变矩阵；（它的元素仍为位置坐标的 函数）,再把（4-）式代入物理方程，可导出用单元结点位移列阵表示的单元应力表达式：,（4-3）,最后利用弹性体的虚功方程建立单元结点力阵与结点位移 列阵之间的关系，即形成单元的刚度方程
4、式：,式中：,单元内任一点的应力列阵；,单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关）,式中：,单元刚度矩阵,（4-4）,（4-5）,考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后，（4-6）式就变成以结点位移为未知数的代数方程组。解此方程组可求出结点位移。,用直接刚度法将单刚组集成总纲，并将组集成总载荷列阵，形成总体结构的刚度方程：,（4-6）,解出整体结构的结点位移列阵后，再根据单元结点的编号找出对应于单元的位移列阵，将代入（4-3）式就可求出各单元的应力分量值。,5. 建立整体结构的刚度方程,6. 求解修改后的整体结构刚度方程,7. 由单元的结点位移列阵计算单元应力,求解出整体结构的位移和应力后，
5、可有选择地整理输出某些关键点的位移值和应力值，特别要输出结构的 变形图、应力图、应变图、结构仿真变形过程动画图及整体结构的弯矩、剪力图等等。,8. 计算结果输出,一、离散化,在运用有限单元法分析弹性力学平面问题时，第一步就是要对弹性体进行离散化，把一个连续的弹性体变换为一个离散的结构物。对于平面问题，三角形单元是最简单、也是最常用的单元，在平面应力问题中，单元为三角形板，而在平面应变问题中，则是三棱柱。,假设采用三角形单元，把弹性体划分为有限个互不重叠的三角形。这些三角形在其顶点（即节点）处互相连接，组成一个单元集合体，以替代原来的弹性体。同时，将所有作用在单元上的载荷（包括集中载荷、表面载荷
6、和体积载荷），都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。由此便得到了平面问题的有限元计算模型，如图4-1所示。,4-2 三角形常应变单元,图4-1 弹性体和有限元计算模型,图4-2 平面三角形单元,二、位 移,首先，我们来分析一下三角形单元的力学特性，即建立以单元节点位移表示单元内各点位移的关系式。设单元e的节点编号为i、j、m，如图4-2所示。由弹性力学平面问题可知，每个节点在其单元平面内的位移可以有两个分量，所以整个三角形单元将有六个节点位移分量，即六个自由度。用列阵可表示为：,其中的子矩阵,（i，j，m 轮换） (a),式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。,(4-7
7、),从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接,在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来的连续体，但每一个单元体仍是一个弹性体，所以在其内部依然是符合弹性力学基本
8、假设的，弹性力学的基本方程在每个单元内部同样适用。,起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种化繁为简、联合局部逼近整体的思想，正是有限单元法的绝妙之处。,基于上述思想，我们可以选择一个单元位移模式，单元内各点的位移可按此位移模式由单元节点位移通过插值而获得。线性函数是一种最简单的单元位移模式，故设,(b),式中 1、2、6是待定常数。因三角形单元共有六个自由度，且位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式，得：,(c),由 (c) 式左边的三个方程可以
9、求得,(d),其中,(4-8),从解析几何可知，式中的 就是三角形i、j、m的面积。为保证求得的面积为正值，节点i、j、m的编排次序必须是逆时针方向，如图4-2所示。,图4-2 平面三角形单元,将 (d) 式代入 (b) 式的第一式，经整理后得到,(e),其中,同理可得,若令,这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为,（i , j , m轮换） (4-10),（i , j , m轮换） (4-9),(f),式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数，它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形函数。矩阵 N 叫做形函数矩阵。三节点三角形单元的形函数是坐标的线性
10、函数。单元中任一条直线发生位移后仍为一条直线，即只要两单元在公共节点处保持位移相等。则公共边线变形后仍为密合。,(4-11),也可写成矩阵形式,(4-12),三、应 变,有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程,求得应变分量。将 (e) 、(f) 两式代入上式，即得：,(g),(e),(f),可简写成,其中 B 矩阵叫做单元应变矩阵，可写成分块形式,而子矩阵,由于和bi 、bj 、bm 、ci 、cj 、cm 等都是常量，所以矩阵B中的诸元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都是常量，通常称这种单元为常应变单元。,（i , j , m轮换） (4-15),(4-14),(4-13),
11、四、应 力,求得应变之后，再将（4-13）式代入物理方程 ， 便可推导出以节点位移表示的应力。即,(4-16),(h),(4-17),令,则,其中 S叫做应力矩阵，若写成分块形式，有,对于平面应力问题，弹性矩阵D为,(4-18),(i),所以，S的子矩阵可记为,（i , j , m轮换） (4-19),对于平面应变问题，只要将 (i) 式中的E换成E/1-2 ，换成 /1-，即得到其弹性矩阵,(j),（i , j , m轮换）(4-20),注意到（4-7）式，则有,(4-21),由（4-19）、（4-20）式不难看出，S中的诸元素都 是常量，所以每个单元中的应力分量也是常量。,可见，对于常应变
12、单元，由于所选取的位移模式是线 性的，因而其相邻单元将具有不同的应力和应变，即在单 元的公共边界上应力和应变的值将会有突变，但位移却是 连续的。,在上节中，提出了形函数的概念，即,其中,（i , j , m轮换）,现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零，并注意到（4-9）式中的常数ai 、bi 、ci ，aj 、bj 、,4-3 形函数的性质,cj 和am 、bm 、cm 分别是行列式的第一行、第二行和第 三行各元素的代数余子式，
13、我们有, 形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它点为零”的性质，即,在节点i上，,在节点j、m上，,(a),(b),(c),类似地有,(d), 在单元的任一节点上，三个形函数之和等于1，即,(e),简记为,(4-22),这说明，三个形函数中只有二个是独立的。,三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节 点坐标有关、而与其它节点坐标无关。例如，在i j 边上， 有,(4-23),例如，对图4-3所示的单元 ijm和ijn ，具有公共边ij。,这样，不论按哪个单元来计算，根据（4-11）式，公共边ij上的位移均由下式表示,图4-3,由(4-23)式可知，在ij边上,式中 Ni , Nj
14、 的表达形式如（4-23）式所示。,(i),利用形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。,由此可见，在公共边上的位移 u、v 将完全由公共边上的两个 节点i、j 的位移所确定，因而 相邻单元的位移是保持连续的。 为了在以后讨论问题中能够比较 方便地确定单元中任意一点处的 形函数数值，这里引入面积坐标的概念。,在图4-4所示的三角形单元ijm中， 任意一点P(x , y)的位置可 以用 以下三个比值来确定,图4-4,式中 为三角形单元ijm的面积，i 、j 、m 分别是三角形Pjm、Pmi、Pij的面积。这三个比值就叫做P点的面积坐标。,(4-24)
15、,显然这三个面积坐标并不是完全独立的，由于,所以有：,而三角形pjm的面积为：,故有：,类似地有,(4-25),(4-26),由此可见，前述的三角形常应变单元中的形函数Ni 、Nj 、Nm 就是面积坐标Li 、Lj 、Lm 。,根据面积坐标的定义，我们不难发现，在平行jm边的直线上的所有各点，都有相同的坐标Li ，并且该坐标就等于“该直线至jm边的距离”与“节点i至jm边的距离”之比，图4-4中给出了Li 的一些等值线。,容易看出，单元三个节点的面积坐标分别为,节点 i： Li =1 Lj =0 Lm =0,节点 j： Li =0 Lj =1 Lm =0,节点m： Li =0 Lj =0 Lm
16、 =1,不难验证，面积坐标与直角坐标之间存在以下变换关系：,(4-27),当面积坐标的函数对直角坐标求导时，可利用下列公式：,(4-28),一. 单元刚度矩阵,为了推导单元的节点力和节点位移之间的关系，可应用虚位移原理对图4-2中的单元e进行分析。单元e是在等效节点力的作用下处于平衡的，而这种节点力可采用列阵表示为,(a),假设在单元e中发生有虚位移，则相应的三个节点i、j、m 的虚位移为,且假设单元内各点的虚位移为f *，并具有与真实位移相同的位移模式。,4-4 刚度矩阵,故有,(c),参照（4-13）式，单元内的虚应变 *为,于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为,(d),(f),而单元内的应力在虚应变上所做的功为,(g),这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d ）式及（4-16）式代入上式，并将虚位移提到积分号的前面，则有,根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程，即,注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等，即得,
