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1、一、本原多项式,二、整系数多项式的因式分解,1.9 有理系数多项式,三、整系数多项式的有理根,四、整系数多项式在Q上不可约的判定,问题的引入,1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形：,对 则 可唯一分解,成不可约的有理系数多项式的积.,但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个,一般的方法.,2. 在C上只有一次多项式才是不可约多项式；,在 上，不可约多项式只有一次多项式与某些,二次多项式；,但在 上有任意次数的不可约多项式如,如何判断 上多项式的不可约性呢?,3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题,这是因为任一有理数可表成两个整数的商,事实上，设,若 的各项系数有公因子，就可以提出来
2、，得,也即,其中 是整系数多项式，且各项系数没有异于,的公因子,一、本原多项式,设,定义,若 没有,则称 为本原多项式,本原多项式未必是不可约，不可约多项式未必就本原。,注意:,有关性质,其中 为本原多项式,（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）,2Gauss引理,定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式,设,是两个本原多项式,若 不是本原的，则存在素数,证：,又 是本原多项式，所以 不能整除 的,每一个系数,反证法,令 为 中第一个不能被 整除的数，即,同理， 本原，令 为 中第一个不能被,整除的数，即,又,矛盾,在这里,故是本原的,定理11若一非零的整系数多项式可分解成两,个次数较
3、低的有理系数多项式，则它一定可分解,成两个次数较低的整系数多项式的乘积,二、整系数多项式的因式分解,设整系数多项式 有分解式,其中 且,证：,令,这里， 皆为本原多项式，,于是,由定理10， 本原，,即,从而有,得证,设 是整系数多项式，且 是本原,推论,的，若 则,必为整系数多项式,令,本原，,即,为整系数多项式,证：,于是有，,定理12 设,是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，,其中 是互素的，则必有,三、整系数多项式的有理根,是 的有理根，,从而,又 互素，,比较两端系数，得,证：, 在有理数域上，,由上推论，有,本原,所以，,定理12是判断整系数多项式有理根的必要条件，,而非充分
4、条件；,注：,当f(x)为首1多项式时， f(x)的有理根皆为整数；,可用（或者）,事先筛选再讨论,例1求方程 的有理根.,可能有理根为,用综合除法可知，只有1为根,解：,例2在有理数域上分解多项式.,答案：,例2 证明: 在 上不可约,若 可约，,但 的有理根只可能是,所以 不可约,证：,则 至少有一个一次因式，,也即有一个有理根,而,矛盾,定理13 艾森斯坦因Eisenstein判别法,设,是一个整系数多项式，若有一个素数 使得,则 在有理数域上是不可约的,四、整系数多项式在Q上不可约的判定,若 在 上可约，由定理11，,可分解为两次数较低的整系数多项式积,证：,又,不妨设 但,或,不能同
5、时整除,另一方面，,假设 中第一个不能被 整除的数为,比较两端 的系数，得,上式中 皆能被整除，,矛盾,故不可约,例3证明： 在 上不可约,证：（令 即可）,(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式),例4判断,（为素数）在 上是否可约,令,则 为整系数多项式,但,解：,在 上不可约，,从而 在 上不可约,即, Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而,非必要条件,注意,也就是说，如果一个整系数多项式,不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的，,也可能是不可约的, 有些整系数多项式 不能直接用Eisenstein 判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的 代换使满
6、足 Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式 不可约,有理系数多项式 在有理系数上不可约,命题,在有理数域上不可约,多项式,例5证明： 在 上不可约,取,证：,作变换,则,在上不可约，,所以 在上不可约,由Eisenstein判别法知，,对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后,再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的,多项式无论作怎样的代换都不能,使 满足爱森斯坦因判别法的条件，,即找不到相应的素数,说明：,办法，但未必总是凑效的也就是说，存在 上的,如，,练习：,P 为素数， 证明:,在上不可约,作业：,P46.27（1） 28（2）（5）,习题1证明：多项式 （ p 为素数） 在有理数域上不可约。,习题2设是一个整系数多项式，证明： 若 和 都是奇数，则 不能有整数根。,习题3设 是一个整系数多项式，证明：若 是奇数，则 不能被与整除。,习题4设多项式 为整系数多项式，证明：若为奇数，则 在有理数域上不可约。,习题5设p为素数，证明：是一个无理数。,习题6设为互不相同的素数，证明： 是一个无理数。,
