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1、,2020/10/17,1,普通高等学校 线性代数课件 计算机科学系 黄玉昌 二三年八月,第一章,第二章,第三章,第四章,第五章,第六章,结 束,第一章,第二章,第三章,第四章,第五章,第六章,结 束,普通高等学校 复变函数与积分变换 信息科学与工程学院 黄老师 2013年8月,Home,目录,复变函数与积分变换,Home,目录,1.2 复数的运算,1.3 复数方程与平面几何图形,1.4 区域,1.1 复数及其表示法,第1章 复数与复变函数,1.5 复变函数,1.6 复变函数的极限和连续性,自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对象. 由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,
2、本章将在原有的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.,一、复数的概念,特别地，,1.1 复数及其表示法,1.代数形式 :,1)点表示,二、复数的表示法,2) 向量表示,-复数z的辐角(argument),记作Arg z=q .,y,0,x,x,y,q,z=x+iy,|z|=r,-复数z的模,当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:,任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足,-p q0p 的q0 称为Arg z的主值, 记作q0=arg z .则,Arg
3、z=q0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数),说明：当 z 在第二象限时，,2.指数形式与三角形式,利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cosq, y = r sinq, 可以将z表示成三角表示式:,利用欧拉公式 e iq = cosq + i sinq 得指数表示式:,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.,解,1),z在第三象限, 因此,于是,2) 显然, r = | z | = 1, 又,因此,练习：,写出 的辐角和它的指数形式。,解：,1.2 复数的运算,设,z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3) z1
4、(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .,复数运算满足交换律,结合律和分配律:,1 . 四则运算,例1 设 , 求,解,所以,练习 设 , 求,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.,分析：设,等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,的意思是等式的两边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然.,例2：设,求：,解：,;,按照乘积的定义, 当z10时, 有,定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角
5、之差.,2 . 乘方与开方运算,1）乘方,De Moivre 公式：,2 ）开方:,若,则称w为z的n次方根，,记为,于是,推得,从而,几何解释： z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。,例3 求,解 因为,所以,其四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.,即,练习 求 的所有根.,解 因为,所以,于是原方程的所有根为,平面点集在高等数学中已学过,由于复数可以看成复平面上的点,因此我们可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形,同时,很多平面图形也能用复数形式的方程(或不等式)来表示.,1.3 复数方程与平面几
6、何图形,例1a,它表示平面上到定点z0的距离等于常数r的点的集合.显然,它是平面上以 z0为圆心, r为半径的圆周。,例1b,它表示z平面上以 z0为圆心, r为半径的不带边的圆盘。,例1c Rez=1表示z平面上实部 等于1的点的集合。,例1d 表示主辐角为 的点的集合。,因此, 它的复数形式的参数方程为,z=z1+t(z2-z1). (-t+),由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2-z1). (0t1),例2 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.,解 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为,例3 求
7、下列方程所表示的曲线:,解：,设 z = x + i y , 方程变为,几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线, 方程为 y = - x 。,用代数方法也可求解.,设 z = x + i y , 那末,可得所求曲线的方程为 y = -3 .,练习 试确定下列曲线.,1.4 区域,1. 区域的概念,包括无穷远点自身在内且满足 |z|M 的所有点的集合, 其中实数 M0 , 称为无穷远点的邻域. 即它是圆 |z|=M 的外部且包含无穷远点本身. 不包括无穷远点本身的仅满足 |z|M 的所有点称为无穷远点的去心邻域, 也记作
8、 M|z|.,平面上以 z0为中心, d (任意的正数)为半径的圆: |z-z0|d 内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式 0|z-z0|d 所确定的点集为z0的去心邻域.,设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集,平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件:1) D是一个开集;2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来.,设D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D, 但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点, 这样的点P称为D
9、的边界点. D的所有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作D. 如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数 M, 使区域 D的每个点z都满足 |z|M, 则称 D为有界的, 否则称为无界的.,例1,2. 单连通域与多连通域,在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (atb)代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程 z=z(t)(atb)来代表.
10、这就是平面曲线的复数表示式.,设C: z=z(t) (atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C的起点与终点. 对于满足 at1b, at2b 的 t1与 t2, 当 t1t2而有 z(t1)=z(t2) 时, 点 z(t1)称为曲线 C的重点. 没有重点的连续曲线 C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简单曲线 C的起点与终点闭合, 即 z(a)=z(b) , 则曲线 C 称为简单闭曲线.,任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集, 其中除去 C 外, 一个是有界区域, 称为 C 的内部, 另一个是无界区域, 称为 C 的外部, C 为它们的
11、公共边界. 简单闭曲线的这一性质, 其几何直观意义是很清楚的.,内部,外部,C,定义 复平面上的一个区域 B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域, 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域.,1. 复变函数的定义,定义 设D是一个复数z = x+iy的集合,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合D中的每一个复数z, 就有一个或几个复数w = u+iv 与之对应,那么称复变数是的函数(简称复变函数),记作 w = f(z).,其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数 u ,v .,1.5 复变函数,在以后的讨论中, D常常是一个平面区域, 称之为
12、定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.,例如, 考察函数 w = z2.令 z = x+iy, w = u+iv , 则u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy ,因而函数 w = z2 对应于两个二元函数:u = x2-y2, v = 2xy,2. 映射的概念,函数 w=f (z) 在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集D(定义集合)变到 w平面上的一个点集G (函数值集合)的映射(或变换). 如果 D 中的点 z 被映射 w=f (z) 映射成 G中的点 w, 则 w 称为 z 的象(映象), 而 z 称为 w 的原象.,设函数 w = z2 = (x
13、+iy)2 = x2-y2+i2xy , 有 u = x2-y2, v = 2xy,函数 w=z2 对应于两个二元实变函数: u=x2-y2, v=2xy 把 z 平面上的两族双曲线 x2-y2 = c1 , 2xy = c2 分别映射成w平面上的两族平行直线 u=c1 , v=c2 .,如果函数(映射) w=f (z) 与它的反函数(逆映射) z =j (w)都是单值的, 则称函数(映射) w =f (z)是一一对应的. 此时, 我们也称集合D与集合G是一一对应的.,举例：曲线在映射下的像,例题1,1.函数的极限,或记作当 zz0 时 , f (z)A.,1.6 复变函数的极限和连续性,定义
14、 设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域 00, 相应地必有一正数d (e) (0 d ), 使得当 0 |z-z0|d 时有| f (z)-A |e ,则称A为f (z)当 z趋向于z0时的极限, 记作,几何意义:,等价定义：,设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则,运算性质：,例1 求下列极限,解:,当 z0 时的极限不存在。,例2 证明函数,证 令 z = x + i y, 则,由此得,让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有,故极限不存在.,2. 函数的连续性,如果 f (z) 在区域D内处处
15、连续, 我们说 f (z) 在D内连续.,函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0处连续的充要条件是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)处连续.,定义,则说 f (z)在 z0 处连续.,例: 函数 f (z) = ln(x2+ y2) + i(x2-y2)在复平面内除原点外处处连续.因为 u= ln(x2+ y2)除原点外处处连续,而 v=x2-y2处处连续.,(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模,在D上取到最大值与最小值;,(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.,性质：,(1)连续函数的四则运算仍然连续；,(2)连续函数的复合函数仍然连续；,(3)连续函数的模也连续；,例3 讨论,解：,的连续性。,同学们学习愉快！ 下次课再见！,
