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1、第十章图像的频域变换,本章要点: 二维离散Fourier变换 快速Fourier变换（FFT） 二维Fourier变换的应用,人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。 但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。例如，空间位置上的变化不改变信号的频域特性。,问题的提出：,10.1 二维离散Fourier变换,正变换：,注：这里给出的一维正变换的系数为1。,二维Fourier变换可以转化为两次一维Fourier变换。,反变换：,注：逆变换的系数不为1。,因为Fourier变换是一种正交变换，所以其正、反变换的系数可以有几种表示形式。 按照严格意义上的正交变换，正、反变换的系数相
2、等，为：,按照计算方便的角度，正、反变换的系数可以按照前面的方式给出，并且正、反变换的系数可以互换。,Fourier变换有两个好处： 1）可以得出信号在各个频率点上的强度。 2）可以将卷积运算化为乘积运算。,10.2 快速Fourier变换（FFT）,快速Fourier变换的提出，是为了减少计算量。,基本思想是，找出Fourier变换中的数据变化规 律，按照其规律整理出适合计算机运算的逻辑 结构。,N个点需做N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法。而做一次复数乘法需要做四次实数相乘和两次实数相加，做一次复数加法需要做两次实数相加。 例：N=1024时，则需要总共1,048,576次复数乘，即4
3、,194,304次实数乘法。 快速傅里叶变换(FFT，Fast Fourier Transform)算法的本质:充分利用因子WN的周期性和对称性。 对称性： 周期性： FFT算法的基本思想：避免运算中的重复运算，将长序列的DFT分割为短序列的DFT的线性组合，从而达到整体降低运算量的目的。 效果：使原来的N点DFT的乘法计算量从N2次降至为N/2log2N次，如N=1024，则计算量现在为5120次，仅为原计算量的4.88% 。,10.2.1 FFT的推导,（分成奇数项和偶数项之和）,（又可分成奇数项和偶数项之和）,=,=,=,=,=,FFT的数据变换规律之一是： 1)可以不断分成奇数项与偶数
4、项之加权和。 2)奇数项、偶数项可分层分类。,至此，计算量可减少近一半。,10.2.2 FFT的设计思想,首先，将原函数分为奇数项和偶数项，通过不断的一个奇数一个偶数的相加（减），最终得到需要的结果。,也就是说FFT是将复杂的运算变成两个数相 加（减）的简单运算的重复。,10.2.3 FFT算法,1. 先将数据进行奇、偶分组。,例：,下标为2x,下标为2x+1,偶数部分：,奇数部分：,0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110,0001，0011，0101，0111，1001，1011，1101，1111,下标用二进制数表示为：,下标用二进制数表示为：,二进
5、制数为：0000，0010，0100，0110，1000，1010，1100，1110,第一层下标为： 0 2 4 6 8 10 12 14,0 2 4 6,1 3 5 7,第一层下标分组为： 0， 4，8，12； 2，6，10，14,2.对偶数部分进行分层分组排序,移位：000，001，010，011，100，101，110，111,偶数组：000，010，100，110,奇数组：001，011，101，111,二进制数为： 0000， 0100， 1000， 1100,第二层下标为： 0 4 8 12,0 2,1 3,第二层下标分组为： 0， 8； 4，12；,移位：00，01，10，11
6、,偶数组：00，10,奇数组：01，11,3. 根据每层偶数组的排序方式，获得奇数组的排序方式。,因为偶数项的系数为f(2x)，奇数项的系数为f(2x+1),所以由第二层偶数排序： 0， 8， 4，12； 可以得到第一层偶数排序为：0，8，4，12，2，10，6，14；,再根据第一层的偶数排序，获得原始数据的排序为： 0，8，4，12，2，10，6，14，1，9，5，13，3，11，7，15,4. 进行分层的奇、偶项相加。,对第二层偶数排序： 0， 8， 4，12；,对上面的结果再进行相加运算：,10.2.4 FFT算法图示,10.2.5 FFT计算例,设对一个函数进行快速Fourier变换，
7、函数在采样点上的值设为：,偶数项部分：,下标值分别为：000，010，100，110 排序为： 000, 100, 010, 110,奇数项部分：,下标值分别为：001，011，101，111 排序为： 001, 101, 011, 111,分成偶数、奇数为（偶数在左，奇数在右）：,按照前面叙述的FFT方法,第1层(4组2个点的运算)：,同理：,第2层（2组4个点的运算）：,同理：,第3层（1组8个点的运算）：,对函数：,按照定义，可得其Fourier变换为：,下面，我们以F3为例验证结果是否正确：,10.3 二维Fourier变换的应用,前面已经提到了Fourier变换有两个好处，即：可以获
8、得信号的频域特性；可以将卷积运算转换为乘积运算。 因此二维Fourier变换的应用也是根据这两个特点来进行的。,10.3.1 在图像滤波中的应用,首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。 因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。,10.3.2 在图像压缩中的应用,变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。 考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。,10.3.3 在卷积运算中的应用,从前面的图像处理算法中知道，如果抽象来看，其实都可以认为是图像信息
9、经过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化滤波等 ）。 如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。 Fourier变换可以卷积运算转换为点乘运算，由此简化运算，提高计算速度。,10.3.4 在图像分割中的应用,相当于滤波,选择不同的频率段,原 图 功 率 谱 3D 显 示,地毯表面,皮革表面磨损缺陷,原图 功率谱 重构图像 分割结果,利用频域滤波消除图像规律性干扰,规则的图案往往是周期性的，即这种图案有固定的频率。经过傅立叶变换转换到频率域后，原来在空间域遍布整个画面的干扰图案就转换成频率域上少数的离散点。利用合适的滤波器很容易将这些离散的点去掉，再经过反变换重新回到空间域
10、，就会发现原来的干扰没有了。 很多软件都提供了交互式频域滤波处理工具专门处理此类问题，比如Image Pro Plus，Poliview，名捕，恒锐等。 利用Photoshop处理则必须安装第三方提供的专用插件。,利用频域滤波消除图像规律性干扰,10.4 离散余弦变换（DCT）,问题的提出： Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。 为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。,10.4 离散余弦变换（DCT）,正变换：,逆变换：,其中：,10.4 离散余弦变换（DCT）,DCT变换的应用： 余弦变换实际上是利用了Fourier变换的实数部分构成的变换。 余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。 具体的做法与DFT相似。即高频部分压缩多一些，低频部分压缩少一些。,作 业（共1题）,1. 第230页 第1题。,Fourier 变换示意图,Fourier变换的频率特性,Fourier变换的低通滤波,Fourier变换的高通滤波,基于Fourier变换的压缩,另一幅图像效果,压缩率为：1.7：1,压缩率为：2.24：1,压缩率为：3.3：1,基于Fourier变换的压缩,压缩率为：8.1：1,压缩率为：10.77：1,压缩率为：16.1：1,
