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1、美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。 二次函数的 应用（一） 一、 选择题 ： 1二次函数yax2bxc 的图象如图 290 所示， 则下列判 断错误的是 ( ) Aa0 Bc0 C.函数有最小 值 Dy 随 x 的增大而减小 2关于二次函数y=x 24x7 的最大 ( 小) 值叙述正确的 是 ( ) A当 x2 时，函数有最大 值 B当 x=2 时，函数有最小 值 C.当 x2 时，函数有最大 值 D当 x2 时，函数有最小 值 3. （2014 年山 东泰安，第 20 题 3 分）二次函数y=ax2+bx+c（a， b，c 为常数，且 a0）中的 x 与 y 的部分 对应值
2、如下表： X 1 0 1 3 y 1 3 5 3 下列结论 ： （1）ac0； （2）当 x1 时，y 的值随 x 值的增大而减小 （3）3 是方程 ax2+（b1）x+c=0 的一个根； （4）当 1x3 时，ax2+（b1）x+c0 其中正确的个数 为（） 美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。 A4 个B3 个C 2 个D 1 个 4 （2014年山 东泰安，第 17 题 3 分）已知函数y=（xm ） （x n） （其中 m n）的图象如图所示， 则一次函数 y=mx+n与 反比例函数 y=的图象可能是（） ABCD 5. （2014?菏泽第 8 题 3 分）如 图，RtA
3、BC中，AC=BC=2 ，正方 形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC 、BC边上，C、D两点不重合， 设 CD的长度为 x，ABC与正方形 CDEF重叠部分的面 积为 y，则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是（） 美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。 ABCD 二、填空 题 6抛物 线 y2x 25xl 有 点， 这个点的坐 标是 7 把二次函数 y2x 24x5化成 y=a(x h)2k的形式是 ， 其图象开口方向，顶点坐 标是，当 x时，函数 y 有最值，当 x 时，y 随 x 的增大而减小 8. （2014?扬州，第 16 题，3 分）如 图，抛物 线
4、y=ax 2+bx+c（a 0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点 P （4， 0）在该抛物线上，则 4a2b+c 的值为 （第 3 题图） 美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。 9（2014?菏泽，第 12 题 3 分）如 图，平行于 x 轴的直线 AC分 别交抛物 线 y1=x2 （x 0） 与 y2= （x 0）于 B、C两点， 过点 C作 y 轴的平行 线交 y1 于点 D，直 线 DE AC ，交 y2 于点 E，则= _ 美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。 三、解答 题： 10已知二次函数y 有最大 值 4，且图象与 x 轴两交点 间
5、的 距离是 8，对称轴为 x3，求此二次函数的解析式 11某玩具厂 计划生 产一种玩具熊猫，每日最高产量为 40 只，且每日 产出的产品全部售出，已知生产 x 只熊猫的成本 为 R 元，售价 为每只 P 元，且 R，P与 x 之间的函数关系式分 别为 R 50030 x，P1702x. (1)当日产量为多少只 时，每日 获得的利 润为 1750 元? (2) 当日 产量为多少只 时，每日可 获得最大利 润?最大利 润是 多少元 ? 美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。 12. 2014 ?广西 贺州，第 26 题 12 分）二次函数 图象的 顶点在原 点 O ，经过点 A（1，
6、1 4） ；点 F（0，1）在 y 轴上直线 y=1 与 y 轴交于点 H （1）求二次函数的解析式； （2）点 P是（1）中图象上的点， 过点 P作 x 轴的垂线与直线 y=1 交于点 M ，求证：FM平分 OFP ； （3）当 FPM 是等边三角形 时，求 P点的坐 标 美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。 13 某商场试销 一种成本 为 60 元件的 T 恤衫，规定试销期间 销售单价不低于成本 单价， 获利不得高于成本 单价的 40经 试销发现 ，销售量 y( 件) 与销售单价 x( 元件 )符合一次函数y kxb，且当 x70 时，y50；当 x80 时，y40 (1)求
7、一次函数y=kxb 的解析式； (2) 若该商场获得的利 润为 w元，试写出利 润 w与销售单价 x 之间的关系式； 销售单价定 为多少元 时，商 场可获得最大利 润? 最大利 润是多少 ? 14 南博汽 车城销售某种型号的汽 车，每 辆车 的进货 价为 25 万元市 场调研表明：当 销售价为 29 万元时，平均每周能售出 8 辆，而当 销售价每降低 0.5 万元时，平均每周能多售出4 辆， 如果 设每辆汽车降价 x 万元，每辆汽车的销售利润为 y 万元( 销 售利 润销售价 进货 价) (1)求 y 与 x 的函数关系式，在保证商家不 亏本的前提下，写 出 x 的取值范围； (2)假设这种汽
8、 车平均每周的 销售利润为 z 万元， 试写出 z 与 x 之间的函数关系式； (3)当每 辆汽车的定价 为多少万元 时，平均每周的 销售利 润最 美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。 大?最大利 润是多少 ? 15. （2014?广西玉林市、防城港市，第26 题 12 分） 给定直 线 l ：y=kx，抛物 线 C：y=ax 2+bx+1 （1）当 b=1 时，l 与 C相交于 A，B两点，其中 A为 C的顶点， B与 A关于原点 对称，求 a 的值； （2）若把直 线 l 向上平移 k2+1 个单位长度得到直 线 r ，则无论 非零 实数 k 取何 值，直 线 r 与抛物 线
9、 C都只有一个交点 求此抛物 线的解析式； 若 P是此抛物 线上任一点，过 P作 PQ y 轴且与直 线 y=2 交于 Q点， O为原点求 证：OP=PQ 参考答案 1D提示： 对称轴异侧的增减性不一致 美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。 2D提示： yx24x7(x 2) 211 a0，函数有最 小值当 x 2 时，函数 y=(x 2) 211 的最小 值是 11 3.B 4.C 5.A 6最高 5 17 48 (,) 7y2(x 1) 23 向上 (1 ，3) 1 小1 8、0 9.3 _ 10提示： y 1 4(x 3) 24 1 4x 2 3 2x 7 4. 11解：
10、设每日利 润是 y 元， 则 yPxR=x(1702x) (500 30 x)=2x 2140 x500=2(x 35)21950( 其中 0 x 40， 且 x 为整数) (1) 当 y=1750 时， 2x 2140 x5001750，解得 x 1 25，x2=45(舍去) ，当日 产量为 25 只时，每日 获得的利 润为 1750 元 (2)y 2(x 35) 21950， 当日 产量为 35 只时， 每日可 获得最大利 润，为 1950元 美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。 12. 解答： （1）解：二次函数 图象的顶点在原点 O ， 设二次函数的解析式 为 y=ax
11、2， 将点 A（1， 1 4）代入 y=ax2得：a= 1 4， 二次函数的解析式为 y= 1 4x2； （2）证明：点 P在抛物 线 y= 1 4x2上， 可 设点 P的坐 标为（x， 1 4x 2） ， 过点 P作 PBy 轴于点 B，则 BF= 1 4x21，PB=x ， RtBPF中， PF= 1 4x2+1， PM 直线 y=1， PM= 1 4x2+1， PF=PM ， PFM= PMF ， 又 PM x 轴， MFH= PMF ， PFM= MFH ， FM平分 OFP ； （3）解：当 FPM 是等边三角形 时， PMF=60 ， 美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加
12、油。 FMH=30 ， 在 RtMFH 中， MF=2FH=2 2=4， PF=PM=FM， 1 4x2+1=4， 解得： x=2， 1 4x2= 1 412=3， 满足条件的点 P的坐 标为（2，3）或（ 2，3） 13解： (1) 由题意得 7050, 8040, kb kb 解得 1, 120, k b 故所求一次函数解 析式 为 y=x120(60 x 84) (2)w=(x60)( x120)= x2180 x7200=(x 90) 2900抛物 线开口向下，当 x 90 时，w随 x 的增大而增大又60 x 84，x84 时，w (8460) (120 84)=864，当 销售单价
13、定为 84 元件 时，商 场可获得最大利 润，最大利 润是 864 元 14解： (1)y=29 25x， y x4(0 x 4) (2)z(8 0.5 x 4)y (8x 8)( x4)=8x 224x32=8(x 3 2) 2 美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。 50 (3) 由(2) 的计算过程可知，当 x 3 21.5 时， z 最大 值50 即 当定价 为 291.5 27.5 万元 时，平均每周的 销售利 润最大，最 大利 润为 50 万元 15. （1）解： l ：y=kx，C：y=ax2+bx+1，当 b=1 时有 A，B两交点， A，B两点的横坐 标满足 kx
14、=ax 2+x+1，即 ax2+（1k）x+1=0 B与 A关于原点 对称， 0=xA+xB=， k=1 y=ax2+x+1=a（x+） 2+1 ， 顶点（，1）在 y=x 上， =1， 解得 a= （2） 解：无论非零实数 k 取何值，直线 r 与抛物 线 C都只有一个 交点， k=1 时，k=2 时，直线 r 与抛物 线 C都只有一个交点 当 k=1 时，r ：y=x+2， 代入 C ：y=ax2+bx+1 中，有 ax2+（b1）x1=0， =0， 美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。 （ b1）2+4a=0， 当 k=2 时，r ：y=2x+5， 代入 C ：y=ax2+
15、bx+1 中，有 ax2+（b2）x4=0， =0， （ b2） 2+16a=0， 联立得关于 a，b 的方程 组， 解得或 r ：y=kx+k 2+1 代入 C ：y=ax2+bx+1，得 ax2+（bk）xk2=0， = 当时，=0，故无论 k 取何 值，直线 r 与抛物 线 C都只有一个交点 当时，=，显然虽 k 值的变化，不恒 为 0，所以不合 题意舍去 C：y= x 2+1 证明： 根据 题意，画出 图象如 图 1， 美好的未来不是等待而是孜孜不倦的攀登！为自己加油。 由 P在抛物 线 y= x 2+1 上， 设 P坐标为（x， x2+1） ，连接 OP ，过 P作 PQ 直线 y=2 于 Q ，作 PD x 轴于 D， PD=| x2+1| ，OD=|x| ， OP=， PQ=2yP=2（ x2+1）=， OP=PQ
