1258编号概率论与数理统计教师用教案概率统计教案3章第1节

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1、概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第 89 页 题 目 与 课 时 第一节二维随机变量 课时: 2 教 学 目 的 (1) 了解多维随机变量的概念; (2) 了解二维随机变量的分布函数; (3) 理解二维离散型随机变量的分布律的概念; (4) 理解二维离散型随机变量的边缘分布律; (5) 理解二维连续型随机变量的概率密度的概念; (6) 理解二维连续型随机变量的边缘概率密度。 内 容 (1) 离散型二维随机变量的分布律及其边缘分布律; (2) 连续型二维随机变量的概率密度及其边缘概率密度。 教 学 重 点 解 决 办 法 加强二维随机变量分布函数、

2、边缘分布率、边缘概率密度 和它们之间的关系的讲评,加大例题讲解力度,布置作业训练巩 固。 内 容 二维随机变量及其分布函数、边缘分布律、边缘概率密度 的关系 。 教 学 难 点 解 决 办 法 讲情概念“边缘”的意思,加大例题讲解力度。 教 学 辅 助 利用多媒体课件,板书配合分析。 习 题 布 置 P79:1、4、8、9. 参 考 文 献 1 郑一 ,王玉敏 ,冯宝成 . 概率论与数理统计. 大连理工大学出版社, 2015 年 8 月. 2 郑一 ,戚云松 ,王玉敏 . 概率论与数理统计学习指导书. 大连理工大学 出版社, 2015 年 8 月. 3 郑一 ,戚云松 ,陈倩华 ,陈健 . 光

3、盘:概率论与数理统计教案、作业册与 试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社,2015 年 8 月 . 4 王玉敏 ,郑一 ,林强 . 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术 出版社, 2007 年 7 月. 联系方式: 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第 90 页 教 学 内 容 教学笔记 内 容 简 介 在很多随机现象中, 进行一次随机试验通常需要同时考察几个随 机变量 . 一般来说 , 这些随机变量之间存在着某种联系, 因而既需要单 独研究每个随机变量, 又需要把它们作为一个整体来研究. 作为整体研究, 我们提出了二维随机变

4、量和分布函数的概念,作为 单独研究,我们提出了联合分布函数(联合分布率 )、边缘分布率和边缘 概率密度等概念,综合分析了它们之间的关系. 预 备 知 识 差事件概率计算,二元函数, 反常二重积分 , 二重积分及其几何意 义,二重积分计算,分段函数的二重积分计算. 第三章 多维随机变量及其分布 在第二章中 , 我们研究了一维离散型随机变量与连续型随机变量的概率分 布的理论与方法. 在本章,我们将一维的概率分布的理论与方法推广到以二维 随机变量为主要内容的多维随机变量的概率分布的情形,并研究多维情形才具 有的边缘分布、条件分布及随机变量独立性的理论与方法,深入研究两个随机 变量函数的概率分布问题.

5、 第一节 二维随机变量及其边缘分布 在很多随机现象中, 进行一次随机试验通常需要同时考察几个随机变量. 例如 , 发射一枚炮弹, 需要同时研究弹着点的横坐标和纵坐标; 考察某地区学 龄前儿童的发育情况时,要同时考察身高和体重等多个因素. 一般来说 , 这些随机变量之间存在着某种联系, 因而既需要单独研究每个 随机变量 , 又需要把它们作为一个整体来研究. 定义 1设 E 是一个随机试验 , 它的样本空间是? , X1=X1( ), X2=X2(), Xn = Xn () 是定义在? 上的随机变量 , 由它们构成的一个n维向量 12 (,) n XXX称为 n 维随机向 量(random vec

6、tor ), 或 n维随机变量 . 例 3.1.1 同时抛一枚5 分硬币和一枚2 分硬币 , 设 1, 5, 0, 5, X 分硬币正面朝上 分硬币反面朝上 1,2, 0,2, Y 分硬币正面朝上 分硬币反面朝上 则(X, Y)是一个二维随机变量,描述了掷5 分硬币和2 分硬币的各种可能结果. 例 3.1.2 设靶心为平面直角坐标系原点, 弹着点坐标为(X,Y). 弹着点离靶 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第 91 页 心距离不超过1 个单位长的随机事件可表示为 ( X, Y) | X 2+Y 2 1. 我们着重研究二维情形, 其中大部分结果可

7、以推广到n 维情形 . 一、二维随机变量的分布函数及其边缘分布函数 类似于一维随机变量的分布函数, 可以定义二维随机变量的分布函数. 定义 2设(X, Y)是二维随机变量 , 对任意实数x, y,二元函数 ( , )()(),F x yPXxYyP Xx Yy(1.1) 称为二维随机变量(X, Y)的分布函数( distribution function), 或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数( jointdistribution function). 如果将二维随机变量(X, Y)看成是平面上随机点的坐标, 那么分布函数 F(x, y)=PXx, Yy 表示随机点 (X, Y)落在以

8、点 (x, y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概 率, 其中 (x, y)R 2, 见图 3- 1. 图 3- 1,P Xx Yy的几何意义 依照上述几何解释和概率减法公式及概率的有限可加性, 对随机点 (X, Y) 落入矩形区域 I = ( X, Y)|x1Xx2, y1x1时, F(x2, y)F(x1,y); 对于任意固定的x, 当 y2 y1时, F(x, y2)F(x,y1). (2) F(x, y)对每个自变量右连续. 即 F(x, y)= F(x+0, y), F(x, y)= F(x, y+0). 也就是 F(x, y)关于 x 右连续 , 关于 y 也右连续 . (3

9、) 0 F(x, y) 1; 并且, 对于任意固定的y, F(- , y)=0; 对于任意固定的x, F(x, - )=0; F(- , - )=0, F(+ , + )=1. (4) 对于任意的x1 y1, x2 y2, 有 F(x2, y2)- F(x1, y2)- F(x2, y1)+F(x1, y1)0. 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第 93 页 我们再来探讨随机变量X, Y 各自的分布函数与联合分布函数之间的关系. 定义 3 设 F(x, y)为随机变量X 和 Y 的联合分布函数. 我们称 FX (x)=P Xx = P Xx, -

10、 Y + =F (x, + ) (xR) (1.3) 为关于随机变量X 的边缘分布函数( marginal distribution function) . 同理 , 称 FY (y)= F(+ , y) (yR) (1.4) 为关于随机变量Y的边缘分布函数(marginal distribution function). 因此 , 如果已知二维联合分布函数F(x, y), 则边缘分布函数FX (x)和 FY (y) 就被唯一确定. 二、 二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律 定义 4 若二维随机变量(X,Y)所有可能的 取值是有限对或可列无限对, 则称 (X,Y)为二维离散型随机变量.

11、 设(X, Y)为二维离散型随机变量, 其所有可能取值为(xi, yj), i, j=1, 2, 令 pij=PX=xi, Y=yj, i, j=1, 2, (1.5) 则称上式为 (X, Y)的分布律 , 或称为 X 和 Y 的联合分布律 . (X, Y)的分布律也可用表格形式给出,见表 3- 1. 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第 94 页 表 3- 1 离散型随机变量(X, Y)的概率分布 X Y x1x2 xi y1p11p21 pi1 y2p12p22 pi2 yjp1jp2j pij 例 3.1.3 设随机变量X 在 1, 2, 3

12、, 4 四个整数中等可能地取一个值, 另一个 随机变量Y 在 1, 2, ,X 中等可能取一整数值. 求: (1) PY=2; (2)二维随机变量 (X,Y)的分布律 . 解(1) 本题涉及两次随机试验, 可用全概率公式去解决: PY=2= PX=1 PY=2|X=1+ P X=2 PY=2|X=2 +PX=3 PY=2|X=3+ P X=4 PY=2|X=4 = 4 1 (0+ 2 1 + 3 1 + 4 1 )= 48 13 . (2) 由概率乘法公式求得(X,Y)的分布律: 由题意知 X=i,Y=j的取值情况是: i=1,2,3,4, j 取不大于i 的正整数 . 于是得到 P X=i,

13、 Y=j= PX=i PY=j|X=i = 11 4i , i=1,2,3,4, ji. 于是 (X, Y)的分布律为 X Y 1234 1 4 1 8 1 12 1 16 1 20 8 1 12 1 16 1 300 12 1 16 1 40 00 16 1 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第 95 页 二维离散型随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y)与分布律的关系是: F(x,y)=PXx,Yy =, ,1,2,. ijij ijij xx yyxx yy P XxYypi j (1.6) 二维离散型随机变量的分布律具有下列性质 : (

14、1) 0pij 1, i, j=1, 2,. (2) 1 ij ij p. (3) , iijiji jj P XxP Xx Yypp,(1.7) PY=yj=, ijijj ii P Xx Yyp p . (1.8) 分别称 i p, i=1,2,和 j p, j =1,2,为 (X,Y)关于 X和 Y的 边缘分布律 . 这里 i p 表示对 ij p的第二个足标j 求和 , j p 表示对 ij p的第一个足标i 求和 . 二维离散型随机变量(X, Y)的分布律及其边缘分布律可用表格表示如下: 表 3- 2 离散型随机变量(X, Y)的分布律与边缘分布律 X Y x1x2 xi j p y

15、1p11p21 pi1 1 p y2p12p22 pi2 2 p yjp1jp2j pij jp ip1p2p ip 1 表中最后一行表示(X,Y)关于 X的边缘分布律 , 最后一列表示(X,Y)关于 Y的 边缘分布律 . 通常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上, 如表 3- 2 所示 , 这就是 “ 边缘分布律 ” 这个名词的来源. 例 3.1.4 继续求例3.1.3 问题 的关于 X 和 Y 边缘分布律 . 解依上述定义, 得到二维随机变量(X, Y)的关于 X和 Y的边缘分布律 , 如 下表所示 . 概率论与数理统计教案 第三章第一节 郑一,戚云松,陈倩华,陈健 编著 大连理工版第

16、96 页 X Y 1 2 3 4 PY=j= j p 1 4 1 8 1 12 1 16 125 48 20 8 1 12 1 16 113 48 30 0 12 1 16 17 48 40 0 0 16 11 16 P X=i= ip 4 1 4 1 4 1 4 1 1 讲评 通过上述边缘分布,可以验证: (1) 这里PX=i= i p= 4 1 , i=1,2,3,4, 说明 “ 随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整 数中等可能地取一个值”. (2) 这里PY=2= 2 p= 13 48 ,与例 3.1.3 利用全概率公式计算得到的相符. 三、 二维连续型随机变量的概率密度及其边缘概率密度 与一维连续型随机变量的定义类似, 我们给出二维连续型随机变量的定 义: 定义 5对于二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y

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