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1、2015 年高中数学曲线与方程自测试题 【梳理自测】 一、曲线与方程 1f (x0，y0)0 是点 P( x0，y0) 在曲线 f (x，y) 0 上的( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 2方程 (xy) 2( xy1)20 表示的是 ( ) A一条直线和一条双曲线 B 两条双曲线 C两个点 D 以上答案都不对 答案： 1.C 2.C 以上题目主要考查了以下内容： 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f ( x，y)0 的实数解建立 了如下关系： (1) 曲线上点的坐标都是方程f ( x，y)0 的解 (2) 以这个方程的解为
2、坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做 方程的曲线 二、直接法求轨迹方程 1若 M ，N为两个定点，且 | MN | 6，动点 P满足PM PN 0，则 P点的轨迹是 ( ) A圆 B 椭圆 C双曲线 D 抛物线 2 已知点 A(2,0) ，B(3,0) ，动点 P(x，y)满足AP BP x 26， 则 P点的轨迹方程是 _ 3 过圆 x 2 y 24上任一点 P作 x轴的垂线 PN ， N为垂足， 则线段 PN中点 M的轨迹方程为 _ 答案： 1.A 2. y 2x 3. x 2 4 y 21 以上题目主要考查了以下内容： (1) 直接法求动点的轨迹方程的一般步骤
3、建立适当的坐标系，用有序实数对( x，y) 表示曲线上任意一点M的坐标 写出适合条件 p 的点 M的集合 PM | p( M ) 用坐标表示条件p( M )，列出方程 f ( x，y) 0. 化方程 f ( x，y)0 为最简形式 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 (2) 两曲线的交点 由曲线方程的定义可知， 两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组 成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就 没有交点 【指点迷津】 1一个核心问题 通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解
4、 析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题 2二个检验方向 求出轨迹方程后，从两个方面检验 曲线上所有点的坐标都适合方程； 方程的解表示的点都是曲线上的点 3五种方法 求轨迹方程的常用方法 (1) 直接法：直接利用条件建立x，y 之间的关系 F(x，y)0； (2) 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由 条件确定其待定系数； (3) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹 方程； (4) 代入转移法：动点 P( x，y)依赖于另一动点 Q ( x0 ，y 0) 的变化而变化，并且Q (x0 ，y 0)又在某
5、已 知曲线上，则可先用x，y 的代数式表示 x0，y0，再将 x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程； (5) 参数法：当动点 P(x， y) 坐标之间的关系不易直接找到， 也没有相关动点可用时， 可考虑将 x， y 均用一中间变量 (参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程 考向一直接法求轨迹方程 例题 1 已知两点 M (1,0) ，N (1,0) ，且点 P使MP MN ，PMPN，NMNP 成公差小于零的等差 数列，求点 P的轨迹方程 【审题视点】首先设出点 P坐标为 ( x，y) ，然后计算各个数量积，根据题目已知直接表示等量 关系，整理求得点P的轨迹方程 【典例精讲】设点 P(
6、x，y) ，则MP ( x1，y) ， NP (x1，y) ，MN(2,0) 故MP MN 2(x1)， PM PNMP NP (x1)(x1) y2 x 2 y 21， NM NP2(x1)2(1x) MP MN ，PMPN ，NM NP 成公差小于零的等差数列， 2(x 2 y 21)2( x1)2(1x) 且NM NP MPMN 2(1x)2(x1)4x0， 整理得 x 2y23(x0) 故点 P的轨迹方程为 x 2 y 23(x0) 【类题通法】运用直接法应注意的问题 (1) 在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏 的点或删除多余的点，这是不能
7、忽视的； (2) 若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略 变式训练 1如图所示，已知F(1,0) ，直线 l ：x1，P 为平面上的动点，过点P 作 l 的垂线，垂足为 点 Q ，且QP QF FPFQ. 求动点 P的轨迹 C的方程 解析：设点 P( x，y)，则 Q ( 1，y) ，FP ( x1，y) ，QP (x1,0) ，QF (2，y) ，由QP QF FP FQ ，得( x1,0) (2， y) ( x1，y)(2，y) ，化简得 C：y 24x. 考向二用定义法求轨迹方程 例题 2 已知点 A 1 2，0 ，点 B是圆 F： x 1 2 2 y 24( F 为圆心 )上
8、一动点，线段 AB的垂直平 分线交 BF于点 P，求动点 P的轨迹方程 【审题视点】由线段的垂直平分线定义转化为椭圆的定义，求椭圆方程 【典例精讲】如图，连接 PA ， 依题意可知 | PA | | PB |. | PA | | PF | | PB | | PF | | BF | 21. P点轨迹为以 A 1 2，0 ， F 1 2，0 为焦点，长半轴长为 1 的椭圆 其方程可设为 x 2 1 y 2 b 21. 又c 1 2，a1，b 2 a 2 c 23 4. 故 P点的轨迹方程为 x 24 3y 21. 【类题通法】在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据
9、曲线的方程， 写出所求的轨迹方程， 若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线 的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围 变式训练 2已知圆 C1：( x3) 2 y 21 和圆 C 2：( x3) 2 y 29，动圆 M同时与圆 C 1及圆 C2相外切，求动 圆圆心 M的轨迹方程 解析：如图，设动圆半径为 r . | MC1| r 1，| MC 2| r3， 所以|MC2| |MC 1| |BC2| |AC1| 312. 这表明动点 M到两定点 C2、C1的距离的差是常数 2，且小于 | C1C2| 6. 根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支 ( 点 M到 C2的
10、距离 大，到 C1的距离小 )，这里 a1，c3，则 b 28. 设点 M的坐标为 ( x，y) ， 其轨迹方程 为 x 2y 2 8 1( x1) 考向三相关点 ( 代入)法求轨迹 例题 3 设 F(1,0) ，M点在 x 轴上， P点在 y 轴上，且 MN 2MP，PM PF ，当点 P在 y 轴上运动 时，求点 N的轨迹方程 【审题视点】设 N ( x1，y) ，M ( x0,0) ，P(0，y0) ，由已知条件，建立 x0 ，y 0与 x，y 之间的关系： 用 x、y 表示 x0及 y0代入 x0与 y0的关系式 【典例精讲】设 M ( x0,0) ，P(0，y0) ，N( x，y)
11、， PM PF ，PM( x 0，y0) ，PF (1，y0) ， ( x0，y0)(1， y0) 0， x 0 y 2 00. 由MN 2MP 得( xx 0，y)2(x0 ，y 0)， xx02x0 y2y0 ，即 x0 x y01 2y . x y 2 4 0，即 y 24x. 故所求的点 N的轨迹方程是 y 24x. 【类题通法】“相关点法”的基本步骤： (1) 设点：设被动点坐标为 ( x，y) ，主动点坐标为 ( x1 ，y 1) ； (2) 求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 x1 f x，y， y1gx，y； (3) 代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨
12、迹方程 变式训练 3已知 ABC 的两个顶点为 A( 2,0) ，B(0 ，2) ，第三个顶点 C在曲线 y3x 21 上移动，求 ABC 重心的轨迹方程 解析：设 ABC 的重心 G (x，y) ，C(x0，y0)，则 x x02 3 ， y y02 3 ， 即 x03x2， y03y2. 点 C在 y3x 21上， y 03x 2 01. 3y23(3x2) 21，整理得 y9x212x3. ABC 重心的轨迹方程为y9x 212x3. 求曲线方程的规范解答 典型例题(2014山东高考专家原创卷 ) 已知抛物线 y 22px 经过点 M (2， 2 2)， 椭圆x 2 a 2y 2 b 2
13、 1 的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为 1 2. (1) 求抛物线与椭圆的方程； (2) 若 P为椭圆上一个动点， Q为过点 P且垂直于 x 轴的直线上的一点， | OP | | OQ | ( 0)，试求 Q的轨迹 【审题视点】根据抛物线及椭圆的性质求其方程，利用直接法求Q点轨迹方程 【思维流程】 代入法求 P. 利用离心率的定义及a、b、c 之间的关系，求 a 与 b，写椭圆方程 设 Q点，进而设 P点，并转换两点坐标 把 Q 、P点坐标代入已知等式，并整理方程 根据 x 2 的系数为正数、负数、零讨论曲线特征 【规范解答】(1) 因为抛物线 y 22px 经过点 M (2，2 2
14、)， 所以(2 2) 24p，解得 p2 2 分 所以抛物线的方程为y 24x，其焦点为 F(1,0) ，即椭圆的右焦点为 F(1,0) ，得 c1. 又椭圆的离心率为 1 2，所以 a2，可得b 2413，故椭圆的方程为 x 2 4 y 2 3 1. 6分 (2) 设 Q ( x，y) ，其中 x 2,2 ，设 P( x，y0)，因为 P为椭圆上一点， 所以 x 2 4 y 2 0 3 1，解得 y 2 0 33 4x 2. 由| OP | | OQ | 可得 | OP | 2 | OQ | 2 2，故 x 233 4x 2 x 2 y 2 2， 得 21 4 x 22y23，x 2,2.9
15、 分 当 21 4，即 1 2时，得 y 212，点 Q的轨迹方程为 y2 3，x 2,2 ，此轨迹是两条 平行于 x 轴的线段； 当 21 4，即 0 1 2时，得到 x 2 3 21 4 y 2 3 2 1，此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x 2,2 的部分； 11 分 当 21 4，即 1 2时，得到 x 2 3 21 4 y 2 3 2 1，此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足 x 2,2 的部分 . 12分 【规范建议】(1) 在第(1) 问中要有代入过程及求解a、b 的过程 (2) 等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程 (3) 区分求轨迹方程与求轨迹问题 真题体验
16、1(2013高考全国卷 ) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆 P在 x 轴上截得线段长为2 2，在 y 轴上截得线段长为23. (1) 求圆心P的轨迹方程； (2) 若 P点到直线 yx 的距离为 2 2 ，求圆 P的方程 解析： (1) 设 P( x，y) ，圆 P的半径为 r. 由题设 y 22r2 ，x 23r2，从而 y22x23. 故 P点的轨迹方程为 y 2 x 21. (2) 设 P( x0，y0) 由已知得 | x0y0| 2 2 2 . 又 P点在双曲线 y 2 x 21 上，从而得 | x 0 y 0| 1， y 2 0 x 2 01. 由 x0 y 01， y 2 0 x 2 01 得 x00， y01. 此时，圆 P的半径 r 3. 由 x0 y 01， y 2 0 x 2 01 得 x00， y01， 此时，圆 P的半径 r3. 故圆 P的方程为 x 2( y1)23 或 x2( y1)23. 2(20
