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1、1 / 9 高三文科数学模拟试卷含答案 一、选择题： 1. 设全集 I 是实数集R， 3 |2|0 1 x MxxNx x 与 都是 I 的子集（如图所示），则阴影部分所 表示的集合为 A 2x x B 21xx C 12xx D 22xx 2下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是 A 2 x y B 2 lg1yxx C 22 xx y D 1 lg 1 y x 3若曲线 xxxf 4 )( 在点 P 处的切线平行于直线 03yx ，则点 P的坐标为 A（ 1， 0）B（ 1，5）C（ 1， 3）D（ 1， 2） 4在ABC中， ab、 分别是角 AB、 所对的边，条件“ab”是使 “co
2、scosAB”成立的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5. 若抛物线 1 26 2 22 2 yx pxy的焦点与椭圆 的右焦点重合，则p 的值为 A 4 B4 C 2 D2 6. 已知函数 ), 6 cos() 6 sin()(xxxf 则下列判断正确的是 A )(xf 的最小正周期为 2 ，其图象的一条对称轴为12 x B )(xf 的最小正周期为 2 ，其图象的一条对称轴为 6 x C )(xf 的最小正周期为，其图象的一条对称轴为 12 x D )(xf 的最小正周期为，其图象的一条对称轴为 6 x 7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体
3、的表面积为 A 22 3 B 42 32 2 / 9 C 62 7 D 62 72 8. 若直线 :10laxby 始终平分圆M： 22 4210 xyxy 的周长，则 22 22ab 的最小值为 A 5 B5 C 2 5 D10 9. 设 bc、 表示两条直线， 、 表示两个平面，下列命题中真命题是 A若 c ，c，则 B若 b ，bc，则c C若 b ，c，则bc D若 c ，则 c 10. 已知数列 n x 满足 3nn xx ， 21|()nnnxxxnN ，若 1 1x ， 2 (1,0)xa aa ，则数 列 n x 的前 2010项的和 2010 S 为 A 669 B 670
4、C 1338 D 1340 11. 在平面直角坐标系中， O为坐标原点，设向量 ).3, 1(),1 , 3(,babOBaOA其中 若 10,且baOC ，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是 12已知点 F 是双曲线 )0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于 x轴的直线与双曲线交于 AB、 两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e的取值范围是 A 1, B 1,2 C 1,12 D 2,12 二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分. 13. 对任意非零实数 ab、 ，若a b的运算原理如图所 示，则
5、2 2 1 log 8 2 _1_ 14在 ABC 中，已知 41ABAC u uu ruuu r ， ， 3 ABC S,AB AC uuu ru uu r 则 的值为2 15. 设 n S 表示等差数列 n a 的前 n项和，且9 18S ， 240 n S ，若 4 309 n an ，则 n = 15 16. 已知两个不相等的实数 ab、 满足以下关系式： 2 0 4 asinac os， 3 / 9 2 0 4 bsinbc os ， 则连接 A 2 a ,a 、 B 2 b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是相交 三、解答题：本大题共6 个小题，共74 分. 17（本
6、小题满分12 分） 已知函数 2 ( )sincos3cosf xxxx （）求( )fx的最小正周期； （）求 ( )fx 在区间 , 62 上的最大值和最小值 解：（） 2 ( )sincos3cosf xxxx 13 2sincoscos21 22 xxx 133 sin2cos2 222 xx 3 分 3 sin 2 32 x 5 分 函数 ( )f x 的最小正周期 2 2 T 6 分 （） 62 x ， 4 02 33 x 3 sin 21 23 x ， 9 分 3323 0sin21 3222 x ， ( )f x 在区间 , 62 上的最大值为 23 2 ，最小值为 0 12
7、分 18（本小题满分12 分） 如图，已知AB平面ACD，DEAB， ACD 是正三角形， 2ADDEAB，且F是CD的 中点 （）求证： AF平面BCE； （）求证：平面BCE 平面 CDE 解：（）取CE 中点 P，连结 FP、BP， F 为 CD 的中点， FPDE，且 FP= . 2 1 DE 4 / 9 又 ABDE ，且 AB= . 2 1 DE AB FP，且 AB=FP， ABPF 为平行四边形，AF BP 4 分 又 AF平面 BCE，BP平面 BCE ， AF平面 BCE 6 分 （） ACD 为正三角形，AFCD AB平面 ACD ，DE/AB DE平面 ACD又 AF平
8、面 ACD DE AF 又 AF CD， CDDE=D AF 平面 CDE 10 分 又 BPAF BP平面 CDE 又 BP平面 BCE 平面 BCE 平面 CDE 12 分 19（本小题满分12 分） 已知数列 n a 的首项 1 5a ，前 n项和为n S ，且 1 25 nn SSn()nN （）设 1 nn ba ，求数列 n b 的通项公式； （）求数列 n a 的前 n项和 n S 解：（）由 1 25 nn SSn ()nN 得 1 215 nn SSn (,2)nNn 两式相减得 1 21 nn aa 3 分 1 121 nn aa 即 nn bb2 1 (,2)nNn 4
9、分 又 1651 11122 aSSSa 121 22 ab ， 61 11 ab 12 2bb 6 分 数列 n b 是首项为 6 ，公比为2的等比数列 nn n b2326 1 8 分 （）法一 由（）知 3 21 n n a 9 分 12nn Saaa 2 3 23 23 2 n n 2 21 3 21 n n 5 / 9 1 6 263 26 nn nn 12 分 （）法二 由已知 1 25 nn SSn()nN 设 1 12 nn Sc ndScnd 整理得 1 2 nn SScndc 对照、，得 1,6cd 8 分 即等价于 1 1626 nn SnSn 数列 6 n Sn 是等比
10、数列，首项为 11 161612Sa ，公比为 2q 11 612 23 2 nn n Sn 1 3 26 n n Sn 12 分 20（本小题满分12 分） 如图所示，将一矩形花坛 ABC 扩建成一个更大的矩形花坛 AMP ，要求B点在AM上，D点在 AN上，且对角线MN 过C点，已知 3AB 米，2AD米 （I）要使矩形 AMP 的面积大于32 平方米，则 DN的长应在什么范围内？ （II ）当 DN 的长度是多少时，矩形花坛 AMP 的面积最小？并求出最小值 解：（ I）设 DN 的长为 x（0 x ）米，则 2ANx 米 AM DC AN DN ， 32x AM x ， 2 分 2 3
11、2 AMPN x SANAM x 由 32 AMPN S 得 2 32 32 x x ， 又 0 x ，得 2 320120 xx ， 解得： 2 06 3 xx或 即DN长的取值范围是 2 (0)(6) 3 U，+ 7 分 (第 20 题图 ) 6 / 9 （II ）矩形花坛 AMP 的面积为 2 2 323121212 312 xxx yx xxx 12 231224x x 10 分 当且仅当 12 32xx, x 即时 矩形花坛 AMP 的面积取得最小值24 故， DN 的长度是 2米时，矩形 AMP 的面积最小，最小值为 24平方米 12 分 21（本小题满分12 分） 已知函数 22
12、 ( )ln()f xxa xax aR （）当 1a 时，证明函数( )f x只有一个零点； （）若函数( )f x在区间 1, 上是减函数，求实数 a的取值范围 解：（）当 1a 时， 2 ( )lnfxxxx，其定义域是(0,) 2 121 ()21 xx fxx xx 2 分 令 ( )0fx ，即 2 21 0 xx x ，解得 1 2 x或1x 0 xQ， 1 2 x舍去 当01x时，( )0fx；当1x时，( )0fx 函数( )f x在区间 0 1 , 上单调递增，在区间 1, 上单调递减 当 x =1 时，函数( )f x取得最大值，其值为 2 (1)ln1 110f 当1x
13、时，()(1)f xf，即( )0f x 函数( )f x只有一个零点6 分 （）显然函数 22 ( )lnf xxa xax的定义域为(0,) 22 2121(21)(1) ( )2 a xaxaxax fxa xa xxx 7 分 当 0a 时， 1 ( )0,( )fxf x x 在区间 1, 上为增函数，不合题意8 分 当 0a 时， 00fxx 等价于 21100axaxx ，即 1 x a 7 / 9 此时( )f x的单调递减区间为 1 , a 依题意，得 1 1, 0. a a 解之得1a 10 分 当 0a 时， 00fxx 等价于 21100axaxx ，即 1 2 x a
14、 此时( )f x的单调递减区间为 1 2 , a ， 1 1 2 0 a a 得 1 2 a 综上，实数 a的取值范围是 1 (,1,) 2 U 12 分 法二： 当 0a 时， 1 ( )0,( )fxf x x 在区间 1, 上为增函数，不合题意8 分 当 0a 时，要使函数( )fx在区间 1, 上是减函数，只需 0fx 在区间 1, 上恒成立， 0 xQ 只要 22 210a xax 恒成立， 2 2 1 4 210 a a aa 解得1a或 1 2 a 综上，实数 a的取值范围是 1 (,1,) 2 U 12 分 22（本小题满分14 分） 已知椭圆C： 22 22 10 xy a
15、b ab 过点 3 (1,) 2 A ，且离心率 1 2 e （）求椭圆C 的标准方程； （）若直线： 0ykxm k 与椭圆交于不同的两点 MN、 ，且线段 MN 的垂直平分线 过定点 1 (,0) 8 G ，求k的取值范围 解：（）由题意 1 2 e ，即 1 2 c e a ， 2ac， 2 22222 23bacccc 8 / 9 椭圆 C 的方程可设为 22 22 1 43 xy cc 3 分 代入 3 (1,) 2 A ，得 2 22 3 1 2 1 43cc 解得 2 1c 所求椭圆 C 的方程是 22 1 43 xy 6 分 （）法一 由方程组 22 1 43 xy ykxm
16、消去 y ，得 222 3484120kxkmxm 4 分 由题意， 2 22 84 344120kmkm 整理得： 22 340km 7 分 设 1122 ,Mx yN xy、 ，MN的中点为 00 (,)P xy ，则 12 02 4 234 xxkm x k ， 002 3 34 m ykxm k 8 分 由已知， MNGP 即 1 MNGP kk 即 2 2 3 0 34 1 41 348 m k k km k ;整理得： 2 34 8 k m k 10 分 代入式，并整理得： 2 1 20 k ，即 5 | 10 k 12 分 55 , 1010 kU 14 分 （）法二 ,由方程组 22 1, 43 xy ykxm 消去 y ，得 222 3484120kxkmxm 4 分 由题意， 2 22 84 344
