《高考数学30道压轴题训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学30道压轴题训练（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考数学压轴题 1椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2 2，相应于焦点( , )0F c（ 0c ）的准线l与 x 轴相交于点 A，2OFFA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0OP OQ uuu r uuu r ，求直线 PQ的方程； （3）设APAQ uuu ruuu r （ 1） ，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M ，证明 FMFQ uuuu ruuu r . (14分) 2 已知函数)(xf对任意实数x 都有1)() 1(xfxf，且当2,0 x时，|1|)(xxf。 （1）)(22,2Zkkkx时，求)(xf的表达式。 （2）证
2、明)(xf是偶函数。 （3）试问方程0 1 log)( 4 x xf是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数； 若没有实数根， 请说明理由。当 3 （本题满分12 分）如图，已知点F（0，1） ，直线 L：y=-2，及 圆 C：1)3( 22 yx。 （1）若动点 M 到点 F 的距离比它到直线L 的距离小 1，求动 点 M 的轨迹 E 的方程； （2）过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 G（x1，y1） 、H（x2，y2）两 点，求证： x1x2为定值； （3）过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线，切点为A、B，要使 四边形 PACB 的面积 S 最小，求点P的坐标及S的最小 值。
3、4. 以椭圆 2 2 2 y a x 1（a1）短轴一端点为直角顶点，作椭 圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形. 5 已知，二次函数f（x） ax2bxc 及一次函数 g（x） bx，其中 a、b、cR，abc，ab 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -15-10-5510 x C y XO F c0. （）求证： f（x）及 g（x）两函数图象相交于相异两点； （）设 f（x） 、g（x）两图象交于A、B两点，当AB 线段在 x 轴上射影为A1B1时，试求 |A1B1|的取值范 围. 6 已知过函数f（x）=1 23 axx的图象上一点B（1，
4、b）的切线的斜率为3。 （1）求 a、b 的值； （2）求 A 的取值范围，使不等式f（x） A1987 对于 x1，4恒成立； （3）令13 2 txxxfxg。是否存在一个实数t，使得当1 ,0(x时，g（x）有最大 值 1？ 7 已知两点 M（ 2，0） ，N（2，0） ，动点 P在 y 轴上的射影为H，PH是 2 和PNPM的等比 中项。 （1）求动点 P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线； （2）若以点 M、N 为焦点的双曲线C 过直线 x+y=1 上的点 Q，求实轴最长的双曲线C 的方程。 8已知数列 an 满足 aa aa b a aa aaaa n n n n n n 设,
5、2 ),0(3 22 11 （1）求数列 bn 的 通项公式；（2）设数列 bn的前项和为Sn，试比较 Sn与 8 7 的大小，并证明你的结论. 9已知焦点在x轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A为圆心， 1 为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线 xy 对称 （）求双曲线C 的方程； （）设直线1mxy与双曲线 C 的左支交于A，B 两点，另一直线l经过 M（-2，0）及 AB 的中点，求直线 l 在y轴上的截距b 的取值范围； （）若 Q 是双曲线C 上的任一点， 21F F为双曲线 C 的左，右两个焦点，从 1 F引 21QF F的 平分线的垂
6、线，垂足为N，试求点 N 的轨迹方程 10. )(xf对任意Rx都有. 2 1 )1()(xfxf （）求) 2 1 (f和)() 1 () 1 (Nn n n f n f的值 （）数列 na 满足： na =)0(f+)1() 1 () 2 () 1 (f n n f n f n f，数列na是 等差数列吗？请给予证明；试比较 n T与 n S的大小 11.如图，设 OA、OB 是过抛物线y22px 顶点 O 的两条弦，且 OA OB 0，求以 OA、OB 为直径的两 圆的另一个交点P 的轨迹 .(13 分) 12.知函数 f(x)log3(x22mx2m2 9 m23)的定义域为 R (1
7、)求实数 m 的取值集合M； (2)求证： 对 mM 所确定的所有函数f(x)中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2 的 m 的值和 x 的值 . 13.设关于 x 的方程 2x 2-tx-2=0 的两根为 ),(,函数 f(x)=. 1 4 2 x tx (1). 求 f()()f和的值；（2）证明： f(x) 在,上是增函数； （3） 。对任意正数x1、x2,求证：2)()( 21 21 21 21 xx xx f xx xx f 14已知数列 an 各项均为正数， Sn为其前 n 项的和 .对于任意的 * nN，都有 2 41 nn Sa. I、求数列 n a 的通项公式；II
8、、若2 n n tS对于任意的 * nN 恒成立，求实数 t 的最大值 . 15.( 12 分)已知点 H（ 3，0） ，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点M 在直线 PQ 上，且满足 HPPM=0，PM= 2 3 MQ， （1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点M 的轨迹 C； （2）过点 T（ 1，0）作直线 l 与轨迹 C 交于 A、B 两点，若在x 轴上存在一点E（x0,0） ，使得 ABE 为等边三角形，求x0的值 . 16.（14 分）设 f1(x)= x1 2 ,定义 fn+1 (x)=f1fn(x),an= 2)0( 1)0( n n f f ,其中 nN*
9、. (1)求数列 an的通项公式； (2)若 T2n=a1+2a2+3a3+2na2n,Qn= 144 4 2 2 nn nn ,其中 nN *,试比较 9T2n 与 Qn的大小 . 17 已知a=（x,0） ，b=（1，y） ， （a+3b）（a3b） （I） 求点（x，y）的轨迹C 的方程； （II ） 若直线 L：y=kx+m(m0)与曲线 C 交于 A、B 两点， D（0， 1） ，且有|AD|=|BD| ，试求 m 的取值范围 18已知函数)(xf对任意实数p、q 都满足()()( ),fpqfpf q 1 (1). 3 f且 （1）当nN 时，求)(nf的表达式；（2）设),()(
10、Nnnnfan 求证： 1 3 ; 4 n k k a （3）设 1 (1) (), ( ) n nnk k nf n bnNSb f n 试比较 1 1 n k k S 与 6 的大小 19已知函数),10(log)(aaxxf a 且 若数列：),(),(, 2 21 afaf， )(42),(Nnnaf n 成等差数列 . （1）求数列 n a的通项 n a；（2）若,10 n aa数列的前 n 项和为 Sn，求 n n Slim； （3）若)(,2 nnn afaba令，对任意)(, 1 tfbNn n 都有,求实数 t 的取值范围 . 20已知 OFQ 的面积为.,62mFQOF且
11、（1）设的夹角与求向量FQOFm,646正切值的取值范围； （2）设以 O 为中心， F 为焦点的双曲线经过点Q（如图）， 2 ) 1 4 6 (,|cmcOF ， 当 |OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程. （3）设 F1为（ 2）中所求双曲线的左焦点，若A、B 分别为此双曲线渐近线l1、l2上的动 点，且 2|AB|=5|F1F|，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 21、已知函数13)( 2 bxxxf是偶函数，cxxg5)(是奇函数，正数数列 11 2 11 )aaa(g)aa(f,a nnnnnn 求 n a的通项公式；若 n a的前n项和为 n S，求
12、n n Slim. 22、直角梯形ABCD 中 DAB90 ，ADBC， AB2，AD 2 3 ，BC 2 1 椭圆 C 以 A、B 为焦点且 经过点 D （1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程； （ 2）若点E 满足EC 2 1 AB，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M、N 两点且 |NEME，若存在，求出直线l 与 AB 夹角的范围，若不存在，说明理由 23、 设函数, 24 1 )( x xf （1）求证：对一切)1()(,xfxfRx为定值； （2）记 *),() 1() 1 () 2 () 1 ()0(Nnf n n f n f n ffan 求数列 n a的通 项公式
13、及前n 项和 . 24. 已知函数)(xf是定义在 R 上的偶函数 .当 X0 时, )(xf= 1 7 2 xx x . (I)求当 X0时, )(xf的解析式 ; (II)试确定函数 y=)(xf (X0) 在, 1的单调性，并证明你的结论. (III)若2 1 x且2 2 x，证明： |)( 1 xf)( 2 xf|0，a1=1，an+1=f( an) 2，求数列 an 的通项公式an，并证明你的 结论 . 30、已知点集,|),(nmyyxL其中),1, 1 (),1 ,2(bnbxm点列),( nnn baP在L 中， 1 P为L与y轴的交点，等差数列 n a的公差为 1，Nn。 （
14、1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）若 ),2( | 5 1 n PPn c n n 求 )(lim 21n n ccc； 21经过抛物线 2 4yx的焦点 F的直线l与该抛物线交于 A、B两点 . (12 分) （1）若线段 AB的中点为( , )M x y , 直线的斜率为 k, 试求点M 的坐标 ,并求点 M 的轨迹方程 （2）若直线l的斜率 2k , 且点 M 到直线 340 xym 的距离为 1 5 , 试确定m的取值范围 . 高考数学压轴题参考答案 1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为() 22 2 12 2 xy a a 。 由已知得 , (). 22 2 2 2 a
15、c a cc c 解得,62ac 所以椭圆的方程为 22 1 62 xy ，离心率 6 3 e。 （2）解：由（ 1）可得 A（3，0） 。 设直线 PQ的方程为 ()3yk x 。由方程组 , () 22 1 62 3 xy yk x 得( ) 2222 31182760kxk xk ，依题意 () 2 12 230k ，得 66 33 k。 设 (,),(,) 1122 P xyQ xy，则 2 12 2 18 31 k xx k ， 2 12 2 276 31 k x x k 。 由直线 PQ的方程得 (),() 1122 33yk xyk x 。于是 ()()() 22 1212121
16、2 3339y ykxxkx xxx。 0OP OQ uuu r uu u r ， 1212 0 x xy y 。 由得 2 51k ，从而 (,) 566 533 k。 所以直线 PQ的方程为530 xy或530 xy （3，理工类考生做）证明：(,),(,) 1122 33APxyAQxy uuu ruuu r 。由已知得方程组 (), , , . 12 12 22 11 22 22 33 1 62 1 62 xx yy xy xy 注意 1，解得 2 51 2 x 因 ( ,),(,) 11 2 0FM xy ，故 (,)( (),) 1121 231FMxyxy uuuu r (,)(,) 12 11 22 yy。 而(,)(,) 222 1 2 2 FQxyy uuu r ，所以FMFQ uuu u ruuu r 。 2 . f(x)= 12kx (2kx2k+2, k Z) 略方程在 1 ，4 上有 4 个实根 3. x 2=4y x1x2=-4 P(2,1) SM
