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1、热传导和扩散方程 热传导方程,热传导：当物体内各处的温度分布不均匀时，就会有热量从温度高的地方流向温度低的地方，这就是热传导。,热量的传递又会引起温度分布的变化。解决热传导的问题，归结为求温度的分布与变化。,推导均匀且各向同性的导热体在传热过程中温度所满足的微分方程,采用微元法，在物体中任取一个闭曲面S,它所包围的区域记作V,假设在时刻t区域V内点 处的温度为 , 为曲面元素 的法向（从V内指向V外）,傅里叶（Fourier）定律：物体在无穷小时间段 内，流过一个无穷小面积 的热量 与时间 ，曲面面积 ，以及物体温度沿曲面的法线方向的方向导数 三者成正比，,即,其中k称为物体的热传导系数，当物
2、体为均匀且各向同性的导热体时，k为常数。,负号是由于热量的流向和温度梯度的正向方向相反而产生的。,从时刻 到 ,通过曲面S流入区域V的全部热量为,流入的热量使V内温度发生了变化，在时间间隔 内区域V内各点温度从 变化到 ，则在 内V内温度升高所需要的热量为,其中，c为物体的比热， 为物体的密度，对各向同性的物体来说，它们都是常数。,由于热量守恒，流入的热量应等于物体温度升高所需吸收的热量，即,此式左端的曲面积分中S是闭曲面，利用Gauss公式将它化为三重积分，即,同时，右端的体积分可以写成,因此有,由于时间间隔 及区域V都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以上式左右恒等的条件是它们的被积函数
3、恒等，即,其中,三维热传导方程,若物体内有热源，其强度为 , 则相应的热传导方程为,其中,作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不是细杆（或薄板），而其中的温度只与 x，t（或x，y，t）有关，则三维热传导方程就变成一维热传导方程,和二维热传导方程,扩散方程,扩散：,描写扩散现象的特征物理量应选物质的浓度u(x,y,z,t)。,浓度的不均匀可用浓度梯度 表征。,扩散现象的强弱用扩散流强度q（单位时间、穿过单位截面的物质流量）来描述。,扩散定律：浓度的不均匀程度和引起的扩散现象的强弱之间的关系满足扩散定律,其中，k称为扩散系数。,物质因空间浓度不均匀而引起从浓度高处到低处的
4、运动，称为扩散。,负号表示扩散转移的方向（浓度减少的方向）与浓度梯度（浓度增大的方向）相反。,在空间任取一个微小六面体，如图所示。,这个平行六面体内浓度的变化取决于穿过它的表面的流量。,x方向：设 从左面流入，,从右面流出，,因此单位时间通过左右两面流入的净流量是：,将 代入，得：,如果六面体中没有源和汇，则浓度对时间的变化率为：,如扩散系数在空间是均匀的，则方程可化为：,一维扩散方程,令 ，则方程写为：,如考虑x，y，z三个方向，则方程为：,如扩散系数在空间是均匀的，则方程可化为：,类似的，若物体内存在生成该物质的源，其强度（单位时间、单位体积产生之质量）为f(x,y,z,t），则得非齐次的
5、扩散方程,泊松方程和拉普拉斯方程 静电场的电势,静电场中，电荷分布与电场强度满足方程,因为静电场是保守场，存在势函数，设电势为u，则,代入方程式（*）中，即得静电势满足的方程,它称为泊松方程，是非齐次的。,对于不存在电荷的区域， ，静电势满足方程,此方程称为拉普拉斯方程。是齐次的。,（*）,由,和,可得：,稳定温度场,在热传导问题中，如果物体内不存在热源，物体周围的环境温度不随时间变化，则经过相当长的时间后，物体各处的温度将不再随时间而改变，趋向于稳定状态。这时， ，齐次的热传导方程便化为稳定温度场的拉普拉斯方程。,热传导方程：,变为：,亥姆霍兹方程,方程形式为：,在讨论用分离变量法求解波动方
6、程、热传导方程时会用到这个方程。,薛定谔方程：,其中， 是粒子势能， 是描述微观粒子运动状态的波函数。,用 来代替 ，方程可化为：,当 ，亥姆霍兹方程就退化为拉普拉斯方程。,总结,波动方程 热传导方程 拉普拉斯方程 齐次、非齐次（右端+自由项f(M,t)） 一维、二维、三维,1-2 定解条件,作为完整的定解问题，除了给出相应问题的泛定方程外，还应给出定解条件。 定解条件 说明系统的初始状态初始条件 说明边界上的物理情况边界条件,初始条件,对于随着时间变化的问题，必须考虑研究对象初始时刻的状态，即“初始条件”。,1. 热传导方程,对热传导问题，初始状态指的是物理量u的初始分布，即初始温度的分布。
7、因此初始条件为：,其中， 是一个已知的函数。,2. 波动方程,波动问题既要给出初始位移分布，还要给出初始时刻的速率分布。,从数学角度看，热传导方程中只出现时间t的一阶导数，因此只需要一个初始条件，而波动方程中出现时间t的二阶导数，因此需要两个初始条件。,3. 稳定分布问题,对于稳定分布的问题，例如稳定温度场，静电场等，不随时间而变化，因此不需要给出初始条件。,如静电场方程,4. 有源问题,在周期性外源引起的传导和周期性外力作用下的振动问题中，经过很多周期后，初始条件引起的自由传导或自由振动可以认为已经消失。这时的传导或振动可以认为完全是由周期性外源或外力引起的。处理这类问题时，完全可以忽略初始
8、条件的影响，将其当作无初始条件问题。,边界条件,物理量在其所占范围（即区域）的边界上的分布总是比内部的分布直观得多，因为边界上的情况总可以通过观察、测量甚至规定得出，通过边界上的条件来探索物理量在区域内部的分布，实际上是解决数学物理问题的重要方法，所以给出边界条件非常重要。,所谓边界，即区域边界点所组成的集合，一维区域（例如弦）的边界，即两个端点：x=0，x=l；二维区域的边界为曲线或折线；三维区域的边界为曲面。,一维区域，A和B为边界点,二维区域D，边界为曲线 和,三维区域 ，边界为曲面,1.第一类边界条件,直接给出物理量在边界上的分布条件,例如，弦的横振动问题中，若其一端x=0处被固定，任
9、何时候也不能产生位移，则该点的边界条件就是,对热传导问题，如果在导热过程中，物体边界 上的温度为已知，则边界条件为,也为第一类边界条件。,第一类边界条件又称为Dirichlet条件,以下我们将区域通记为 ，将其边界记为 ，则边界条件主要有以下三种类型：,2.第二类边界条件,给出物理量的梯度在边界上的分布（即物理量在边界处的法向微商）,法向的正向为指向系统外,例如：杆的热传导问题中，若杆的一端x=a处，是绝热的，没有热流通过，那里的边界条件就是,又如：均匀弦的横振动问题中，如果在其一端x=L处，是未加固定的自由端，弦在自由端处不受位移方向的外力，从而在这个端点上弦在位移方向的张力应该为零，即,所
10、以边界条件是：,其中 为边界 的法线方向,第二类边界条件又称为Neuman条件。,3.第三类边界条件,给出物理量及其边界上法线方向导数的线性关系,其中 为常数。,弦振动问题的弹性支承，即是这类边界条件。,在弹性支承时，由Hooke定律可知：,即,其中 为弹性体的弹性系数。,在杆的热传导问题中，x=L的一端既不固定为某一温度，又不是处于绝热状态，而是处于一种自由冷却情况下。这样的状态由牛顿冷却定律反映其规律：若周围媒质的温度为 ，则物体和媒质在边界上交换热量，其沿外法线方向的热流强度与物体和媒质的温差成正比：,令 ，上式化为：,4.齐次边界条件,上面三类边界条件，可用统一的线性关系式表示：,如果
11、 ，则： ，称为齐次边界条件，否则称为非齐次边界条件。,第三类边界条件（混合边界条件）又称为Robin条件。,5.自然边界条件和周期边界条件,自然边界条件：只要求边界上保持有限值,周期边界条件：如圆柱系统。取柱坐标,对坐标 而言，相差 的整数倍，仍表示同一点。由于要求解有唯一性，自然要满足：,对坐标 而言，这就是一种周期边界条件。,1.3 定解问题的提法,推导了三种不同类型偏微分方程 波动方程 热传导方程 Laplace方程 定解条件：初始条件和边界条件。 定解问题：偏微分方程和相应的定解条件 初值问题（ Cauchy(柯西)问题）：只有初始条件，没有边界条件的定解问题 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题 混合问题：既有初始条件也有边界条件的问题,定解条件应提得合理：从数学角度来看，可以从以下三方面加以检验，即讨论解的适定性问题 解的存在性，即看所归纳的问题是否有解； 解的唯一性，即看是否只有一个解； 解的稳定性，即看当定解条件有微小变动时，解是否相应地只有微小的变动，否则所得的解就无实用价值,如果一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题的解称为适定的,
