《浦东初一数学补习班东南数理化因式分解授课讲义及习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浦东初一数学补习班东南数理化因式分解授课讲义及习题（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、初一数学东南数理化初中数学教研组 1 因式分解授课讲义 因式分解是初中数学中的基础知识和基本技能。初学上手有一定难度， 必须熟练掌握技巧， 为初二初三的学习打下基础。 本讲义主要介绍如下几种因式分解方法：（其中，一到四为教材要求的基础方法） 一、提公因式法 二、运用公式（平方差公式、平方和公式等）法 三、分组分解法 四、十字相乘法（交叉相乘法） 五、换元法 六、“添”“拆”“配”法 一、提公因式法 .：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法 . 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的 公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b
2、2 -a2-b2=(a+b)(a -b) ； (2) (ab) 2 = a22ab+b2 a 22ab+b2=(ab)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ； (4) (a-b)(a 2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 下面再补充两个常用的公式：（碰到难题可查询） (5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) ； 三、分组分解法 . （一）分组后能直接提公因式 例 1、
3、分解因式：bnbmanam 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从 “局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为 一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式 =)()(bnbmanam =)()(nmbnma每组之间还有公因式！ =)(banm 例 2、分解因式：bxbyayax5102 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解：原式 =)5()102(bxbyayax原式=)510()2(byaybxax =)5()5(2yxbyxa=)2(5
4、)2(baybax =)2)(5(bayx=)5)(2(yxba 练习：分解因式 1、bcacaba 2 2、1yxxy 初一数学东南数理化初中数学教研组 2 （二）分组后能直接运用公式 例 3、分解因式：ayaxyx 22 例 4、分解因式： 222 2cbaba 思考：这两题，将哪些项分在一组？ 解：原式 =)()( 22 ayaxyx解：原式 = 222 )2(cbaba =)()(yxayxyx= 22 )(cba =)(ayxyx=)(cbacba 练习：分解因式 3、yyxx39 22 4、yzzyx2 222 练习： （1） 3223 yxyyxx（2）baaxbxbxax 22
5、 （3）181696 222 aayxyx（4）abbaba49126 22 （5）92 234 aaa（6）ybxbyaxa 2222 44 （7） 22 2yyzxzxyx（8）1222 22 abbbaa （9）)1)(1()2(mmyy（10）)2()(abbcaca 四、十字相乘法 . （一）二次项系数为1 的二次三项式 直接利用公式)()( 2 qxpxpqxqpx进行分解。 特点： （1）二次项系数是 1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例 5、分解因式：65 2 xx 分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于 6=23
6、=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23 的分解适合，即 2+3=5。1 2 解：65 2 xx=32)32( 2 xx1 3 =)3)(2(xx12+13=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于 一次项的系数。 初一数学东南数理化初中数学教研组 3 例 6、分解因式：67 2 xx 解：原式 =)6)(1()6()1( 2 xx1 -1 =)6)(1(xx1 -6 （-1）+（-6）= -7 练习 5、 分解因式 (1) 54 2 xx(2)3615 2 aa (3) 2414 2 xx(4) 2411 2 xx 练习 6、
7、 分解因式 (1)2 2 xx(2)152 2 xx (3)2410 2 xx(3)242 2 xx （二）二次项系数不为1 的二次三项式cbxax 2 条件： （1） 21aaa1a1c （2） 21c cc 2 a 2 c （3） 1221 cacab 1221 cacab 分解结果：cbxax 2 =)( 2211 cxacxa 例 7、分解因式：10113 2 xx 分析：1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：10113 2 xx=)53)(2(xx 练习 7、分解因式： （1）675 2 xx（2）273 2 xx （3）31710 2 xx（4）10116 2 yy
8、 （三）二次项系数为1 的齐次多项式 例 8、分解因式： 22 1288baba 分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解： 22 1288baba=)16(8)16(8 2 bbabba 初一数学东南数理化初中数学教研组 4 =)16)(8(baba 练习 8、分解因式 (1) 22 23yxyx(2) 22 86nmnm (3) 22 6baba （四）二次项系数不为1 的齐次多项式 例 9、 22 672yxyx例 10、23 22 xyyx 1 -2y 把 xy看作一个整体1 -1 2
9、 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式 =)32)(2(yxyx解：原式 =)2)(1(xyxy 练习 9、分解因式：（1） 22 4715yxyx（2）86 22 axxa 练习 10、 （1）178 36 xx（2） 22 151112yxyx （3）10)(3)( 2 yxyx（4）344)( 2 baba （5） 2222 65xyxyx（6）26344 22 nmnmnm （7）34244 22 yxyxyx（8） 2222 )(10)(23)(5bababa （9）103644 22 yyxxyx（10） 2222 )(2)(11
10、)(12yxyxyx 五、换元法。 例 13、分解因式（ 1）2016)12016(2016 22 xx （2） 2 )6)(3)(2)(1(xxxxx 解： （1）设 2016=a，则原式 =axaax)1( 22 =)(1(axax =)2016)(12016(xx （2）型如eabcd的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式= 222 )65)(67(xxxxx 设Axx65 2 ，则xAxx267 2 原式 = 2 )2(xAxA= 22 2xAxA = 2 )(xA= 22 )66(xx 初一数学东南数理化初中数学教研组 5 练习 13、分解因式（1）)(4)( 222
11、22 yxxyyxyx（2）90)384)(23( 22 xxxx 六、添项、拆项、配方法。 例 14、分解因式（ 1）43 23 xx 解法 1拆项。 原式=331 23 xx =) 1)(1(3)1)(1( 2 xxxxx =)331)(1( 2 xxxx =)44)(1( 2 xxx = 2 )2)(1(xx 解法 2添项。 原式=4443 23 xxxx =)44()43( 2 xxxx =)1(4)4)(1(xxxx =)44)(1( 2 xxx = 2 )2)(1(xx 练习 14、分解因式 （1） 4224 )1() 1()1(xxx（2）17 24 xx （3） 224 12a
12、axxx 初一数学东南数理化初中数学教研组 6 因式分解知识总结归纳 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，学 习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式 可提，其次看能否直接利用乘
13、法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组 的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆 项（添项）等方法； 下面我们一起通过例题来回顾本章所学的内容。 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例 1. 分解因式 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别 看成一组，此时六项式变成二项式， 提取公因式后，再进一步分解； 也可把， 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式 解二：原式 = 初一数学东南数理化初中数学教研组 7 2. 通过变形达到分解的目的
14、例 1. 分解因式 解一：将拆成，则有 解二：将常数拆成，则有 3. 在证明题中的应用 例：求证：多项式的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个 多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明： 设，则 4. 因式分解中的转化思想 例：分解因式： 分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与 a+2b+c的关系，努 力寻找一种代换的方法。 解：设 a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B 初一数学东南数理化初中数学教研组 8 说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。 综合练习题（一） 一、填空题
15、 1. 把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫做把这个多项式分解因式。 2 分解因式： m 3-4m= . 3. 分解因式： x 2-4y2= _ _. 4、分解因式： 2 44xx =_ _。 5. 将 x n-yn 分解因式的结果为 (x 2+y2)(x+y)(x-y) ，则 n 的值为 . 6、若 5,6xyxy ，则 22 x yxy =_， 22 22xy =_ 。 二、选择题 7、多项式 32223 15520m nm nm n 的公因式是 ( ) A、5mn B、 22 5m n C 、 2 5m n D 、 2 5mn 8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ) A、
16、2 339aaa B、 22 ababab C、 2 4545aaa a D、 2 3 232mmm m m 10. 下列多项式能分解因式的是（） (A)x 2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+4 11把（ xy） 2（yx）分解因式为（ ） A （xy） （xy1） B （yx） （xy1） C （yx） （yx1） D （yx） （yx1） 12下列各个分解因式中正确的是（） A10ab 2c6ac22ac2ac（5b23c） B （ab） 2（ba）2（ab）2（ab1） Cx（bca）y（abc）abc（bca） （xy1） D （a2b） （3ab）5（2ba） 2（a2b） （11b2a） 13. 若 k-12xy+9x
