《高一数学(人教B版)-正弦函数的性质与图像-1教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学(人教B版)-正弦函数的性质与图像-1教案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、教 案 教学基本信息 课题正弦函数的性质与图像 学科数学学段：高中年级高一 教材书名：普通高中教科书数学必修第三册B 版出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019 年 7 月 教学目标及教学重点、难点 本节课充分利用单位圆研究正弦函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值 等性质， 并在分析性质的基础上得到正弦函数的图像，再通过函数图像进一步理解性质，解 决函数的相关问题，充分体现了研究函数的一般方法及数形结合的数学思想，主要提升学生 直观想象的数学核心素养，分析问题、解决问题的能力。 重点：正弦函数的性质与图像 难点：理解弧度值与x轴上点的对应和正弦函数 教学过程 ( 表格描述
2、) 教学环节主要教学活动设置意图 引入 我们已经系统的学习了函数的相关知识，包括定义域、 值域、单调性、 奇偶性、 零点等， 并通过研究指数函数、 对数函数、幂函数等基本初等函数，初步掌握了研究函 数的一般方法， 首先我们来回忆一下研究函数的一般方 法是什么：先分析函数性质，函数性质包括定义域、 奇偶性、周期性、单调性、值域、零点等，再借助 性质画出函数的大致图像，利用图像进一步理解函数性 质，从而解决函数的相关问题。这个过程体现了数学的 本质，也充分体现了数形结合的数学思想。本节课，我 回顾研究函数的 一般方法，整体把 握本节内容的研 究思路。 们对于正弦函数的性质与图像也是遵循这样的研究思
3、 路。 情境 请大家看情境与问题：将生活中的摩天轮抽象成如图所 示的平面图形， 以摩天轮转轮中心为原点O，以水平线 为横轴， 建立平面直角坐标系。设O到地面的高OT为 lm ，P点为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为rm 。 记以OP为终边的角为xrad ，点P离地面的高度为y m,请回答问题：你能写出y关于x的表达式吗？ y是x的函数吗？这个函数有什么性质呢？ 对于任意的一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之 对应，因此sinyx也是一个函数， 一般称为正弦函数 通过情境引出本 节课的研究对象， 正弦函数 新课 （一）借助单位圆研究正弦函数的性质 问题 1：正弦函数sinyx的定义域的范
4、围是什么呢？ 问题 2: 正弦函数是否具有奇偶性呢？ 通过单位圆这个直观化解释模型，你能找到角x 和-x 的终边与单位圆交点纵坐标之间的关系吗？x 和 -x 的终 边有什么关系呢？ 问题 3：同学们请思考一下，除了原点，正弦函数还有 其它的对称中心吗？ 问题4：你能用所学知识严格证明正弦曲线关于点 (,0)Zkk中心对称吗？ 问题 5: 类比中心对称的分析方法，你能判断正弦函数是 否还有其它的对称性呢？ 问题 6: 同学们， 从交点纵坐标的变化，你能观察出正弦 函数是否具有周期性呢？ sin(2 )sin,xkx kZ成立，当自变量x 的值每 增加或者减少2的整数倍时，正弦值重复出现，这种 借
5、助单位圆这个直观 化解释模型分析正弦 函数的性质，再借助 周期性、对称性、单 调性通过取值描点或 通过单位圆描点作图 得 到 正 弦 函 数 的 图 像，并获得了快速画 出正弦函数示意图的 方法，即五点作图法， 之后又通过图像进一 步理解性质，这充分 体现了数形结合的数 学思想 . 性质称为正弦函数的周期性。 问题 7： 那正弦函数的周期是多少呢？通过刚才的分析， 我们知道2的整数倍是正弦函数的周期。 问题 8：正弦函数还有其它的周期吗？通过单位圆我们 发现，角 6 和 5 6 的终边与单位圆交点的纵坐标均为 1 2 ，即角的终边从 6 逆时针旋转 4 6 到达 5 6 时，正弦 值重复出现了
6、，也即 45 sin()sin 666 成立，那么 4 6 是正弦函数的周期吗？ 问题 9：根据正弦函数周期性，你能抽象出一般函数周 期性的定义吗？ 函数周期性的定义。对于函数( )f x，如果存在一个非 零 常 数T， 使 得 对 定 义 域 内 的 每 一 个x， 都 满 足 ()( )f xTf x，那么就称函数( )f x为周期函数， 非 零常数T称为这个函数的周期. 问题 10：在这个定义中， 我们需要注意的关键词语和核 心要素是什么呢？解读代数式()( )fxTf x的含 义。 问题 11： 研究完奇偶性和周期性，我们继续观察单位圆， 从交点纵坐标的变化规律中，你能得到正弦函数的单
7、调 性吗？ 问题 12： 通过刚才交点纵坐标的变化，你还能发现函数 的什么性质呢？ （二）根据性质研究正弦函数图像 问题1：上述性质对作出正弦函数的图像有什么帮助 呢？根据周期性，只需选定一个周期长度的区间来作 图，比如选择闭区间,；根据奇偶性，可将作图 区间,缩小到闭区间0,；根据对称性， 正弦函 数关于直线 2 x对称， 所以作图区间进一步缩小到闭 区间0, 2 问题2：请同学们思考：正弦函数sinyx在闭区间 0, 2 上单调递增，那么函数图像的大致形状是怎样的 呢？是一条直线？是增加的越来越快？还是越来越慢 呢？同学们可以在纸上试着画一画， 问题 3:借助单位圆作出正弦函数图像 问题
8、4:观察我们作出的正弦函数的图像，你能说出确定 sin ,0,2yx x的图像形状时， 哪些点起着关键作 用？为什么呢？ 在用五点法作图时，我们要记准被这五个点分割的区间 上函数图像的变化情况。描点连线时，一定要按照正弦 曲线的形状连成光滑曲线，特别注意波峰波谷的平缓过 渡以及对称中心左右曲线凹凸的变化。 例题 例 1：不求值，比较 17 sin() 4 和 23 sin() 5 的大小， 仍然可以借助单位圆这个直观化解释模型，在单位圆中 找到两个角终边所在的位置，比较终边与单位圆交点纵 坐标的大小，就可以解决问题了，当然我们也可以借助 正弦函数的周期性和诱导公式将两个角转化到同一个 单调区间
9、，利用正弦函数的单调性解决问题，请同学们 课下完成。 例 2：求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大 值和最小值时的x 的值： （1）sin2yx（ 2） 2 1 (sin)1 2 yx 解析：第一个问题中， 函数sin2yx与sinyx同 加 深对 正 弦 函数 性 质与 图 像 的理 解，从代数与几何 两 个角 度 理 解正 弦函数的性质 时取得最大值和最小值，所以当2, 2 xkkZ 时，y 的最小值为 -3；当2, 2 xkkZ时，y 的最 大值为 -1； 对于第二个函数，利用换元法，将题目中的函数最值问 题转化为闭区间上二次函数的最值问题。 令sintx，则 1 () 2 yt整
10、体的平方 +1， t 属于闭区 间 1,1，根据二次函数在闭区间上的单调性可得： 1t，即2, 2 xkkZ时，y 的最大值为 13 4 ； 1 2 t，即2, 6 xkkZ或 5 2, 6 xkkZ 时， y 的最小值为1 例 3：用五点法作函数sin1,0,2yxx的图像。 解：找出五个关键点，列表如下： x 0 2 3 2 2 sinyx 010 1 0 sin +1yx 12101 描点作图，如下图所示 总结 同学们，通过本节课的学习，大家有哪些收获呢？对于 正弦函数是否又有了更深刻的认识呢？本节课的核心 任务是借助单位圆研究正弦函数的性质与图像。此时对 加深对正弦函数代数 和几何特征
11、的认识， 深刻体会数形结合的 于正弦函数我们已经有了两个直观化解释模型单位 圆与函数图像。二者存在着紧密的联系也各有所长，通 过单位圆我们能得到正弦函数的性质与图像，利用单位 圆我们可以更直观的得到同角三角函数基本关系式及 诱导公式， 而函数图像可以更直观的表示变量间的变化 过程和变化趋势。总之，我们要通过不断的学习，加深 对正弦函数代数和几何特征的认识，深刻体会数形结合 的数学思想方法，进一步加强对函数及其研究方法的理 解。 数学思想方法，进一 步加强对函数及其研 究方法的理解 作业 作业 1：不求值，比较 31 sin 5 和 13 sin 3 的大小 作业 2：求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最 大值和最小值时x的值 （1）sin3yx； （2）(sin3)yx整体的平方； （3） 1 (sin) 2 yx整体的平方 -3 作业 3：用五点法作出下列函数在0,2上的图像， 并 说明它们与sin ,0,2yx x的图像的关系。 （1）sin ,yx（2）sin1yx 巩固与复习
