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1、1 / 10 高中数学高考总复习函数的奇偶性习题及详解 一、选择题 1(文)下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) Ayxx3(xR) By3 x(xR) Cy log2x(x0，xR) Dy 1 x(xR，x0) 答案 A 解析 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C，若 x 0在定义域内，则应有f(0)0， 排除 B；又函数在定义域内单调递增，排除D，故选 A. (理)下列函数中既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是( ) Af(x)sinxBf(x) |x1| Cf(x)1 2(a xax) Df(x)ln 2x 2x 答案 D 解析 y sinx 与 yln 2
2、x 2x 为奇函数，而y 1 2(a xax)为偶函数， y |x1|是非奇非偶函数 y sinx 在1,1上为增函数故选D. 2(2010 安徽理， 4)若f(x)是R上周期为 5的奇函数，且满足f(1)1， f(2)2，则 f(3)f(4)( ) A 1 B1 C 2 D2 答案 A 解析 f(3)f(4)f(2) f(1) f(2)f(1) 21 1，故选 A. 3(2010 河北唐山 )已知 f(x)与 g(x)分别是定义在 R上奇函数与偶函数，若f(x)g(x)log2(x2 x2)，则 f(1)等于 ( ) A 1 2 B. 1 2 C1 D. 3 2 答案 B 解析 由条件知，
3、f1g12 f1g1 1 ， f(x)为奇函数， g(x)为偶函数 2 / 10 f1g1 2 g1f1 1 ， f(1) 1 2. 4(文)(2010 北京崇文区 )已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，并满足f(x 2) 1 fx ，当 1x2时， f( x) x2，则 f(6.5)( ) A4.5 B 4.5 C0.5 D 0.5 答案 D 解析 f(x2) 1 fx ， f(x4)f(x2)2 1 fx2 f(x)， f(x)周期为 4， f(6.5) f(6.58)f(1.5)f(1.5)1.52 0.5. (理)(2010 山东日照 )已知函数 f(x)是定义域为 R的偶函数，且f
4、(x 2)f(x)，若 f(x)在1,0上是减函数 ，则 f(x)在2,3 上是 ( ) A增函数B减函数 C先增后减的函数D先减后增的函数 答案 A 解析 由 f(x2)f(x)得出周期T2， f(x)在 1,0上为减函数， 又 f(x)为偶函数，f(x)在0,1 上为增函数，从而f(x)在2,3上为增函数 5(2010 辽宁锦州 )已知函数 f(x)是定义在区间a，a(a0)上的奇函数，且存在最大值与最小值若 g(x)f(x)2，则 g(x)的最大值与最小值之和为( ) A0 B2 C4 D不能确定 答案 C 解析 f(x)是定义在 a， a上的奇函数，f(x)的最大值与最小值之和为0，又
5、 g(x)f(x)2 是将 f(x)的图象向上平移2 个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为 4. 6定义两种运算：a?ba2 b2，ab|ab|，则函数 f(x) 2?x x22( ) A是偶函数 B是奇函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函数 答案 B 3 / 10 解析 f(x) 4x2 |x 2| 2， x24， 2x2， 又 x0， x2,0)(0,2 则 f(x) 4 x2 x ， f(x)f(x)0，故选 B. 7已知 f(x)是定义在 (， )上的偶函数，且在(， 0上是增函数，设af(log47)，b f(log 1
6、 2 3)， cf(0.20.6)，则 a、b、c的大小关系是( ) AcbaBbca CbacDab1，|log 1 23|log 23log27，00.20.6|log 47|0.20.6|. 又 f(x)在(， 0上是增函数，且f(x)为偶函数， f(x)在 0， )上是减函数 bac.故选 C. 8已知函数 f(x)满足： f(1)2，f(x1) 1fx 1fx ，则 f(2011)等于 ( ) A2 B 3 C 1 2 D. 1 3 答案 C 解析 由条件知， f(2) 3，f(3) 1 2，f(4) 1 3， f(5)f(1)2，故 f(x4)f(x) (x N*) f(x)的周期
7、为4， 故 f(2011)f(3) 1 2. 点评 严格推证如下： f(x2) 1fx1 1fx1 1 fx ， f(x4)f(x2)2f(x)即 f(x)周期为 4. 故 f(4kx)f(x)，(xN *，kN*)， 4 / 10 9设 f(x)lg 2 1 xa 是奇函数，则使 f(x)0的x的取值范围是( ) A(1,0) B(0,1) C(， 0) D(， 0)(1， ) 答案 A 解析 f(x)为奇函数， f(0)0， a 1. f(x) lg x1 1x ，由 f(x)0 得 0 x1 1x1， 1x0 得， 2x2，排除 D， 5 / 10 当 x 6 时， y 6 sin 6
8、3 1，排除 B，故选 C. 二、填空题 11(文 )已知 f(x) sin xx0 ，则 f 11 6 f 11 6 的值为 _ 答案 2 解析 f 11 6 f 5 6 1f 1 6 2 sin 6 2 5 2， f 11 6 sin 11 6 sin 6 1 2，原式 2. (理)设f(x)是定义在 R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x 1 2 对称，则 f(1)f(2) f(3) f(4)f(5)_. 答案 0 解析 f(x)的图象关于直线x 1 2对称， f 1 2x f 1 2x ，对任意 xR 都成立， f(x) f(1x)，又 f(x)为奇函数， f(x) f( x) f
9、(1x) f(1x)f(2x)， 周期 T2f(0)f(2)f(4) 0 又 f(1)与 f(0)关于 x 1 2对称 f(1)0 f(3)f(5)0填 0. 12(2010 深圳中学 )已知函数 yf(x)是偶函数， yg(x)是奇函数，它们的定义域都是 ， ，且它 们在 x0， 上的图象如图所示，则不等式 fx gx 0的解集是 _ 6 / 10 答案 3 ，0 3 ， 解析 依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象， fx gx 0， fx0 ，或 fx0 gx0 ，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在 x 轴下方的，即满足要求，
10、3 x0 或 3 x. 13(文 )若f(x)是定义在 R上的偶函数，其图象关于直线x 2对称，且当 x (2,2)时， f(x) x21.则f(5)_. 答案 0 解析 由题意知f(5)f(5) f(23)f(23) f( 1) (1) 210. (理)已知函数 f(x)是定义域为 R的奇函数，当1x1时， f(x)a，当 x1时， f(x) (x b)2，则 f(3) f(5)_. 答案 12 解析 f(x)是 R 上的奇函数，f(0)0， 1x1 时， f(x)a， a0. f(1)(1b)20， b 1. 当 x 1 时， x1，f(x)(x1)2(x1)2， f(x)为奇函数，f(x
11、) (x1)2， f(x) x12 x 1 0 1x1 x12 x 1 f(3)f(5) (31)2 (51)212. 点评 求得 b 1 后，可直接由奇函数的性质得f(3) f(5) f(3)f(5) (31) 2(51)212. 14(文 )(2010 山东枣庄模拟)若f(x)lg 2x 1x a (aR)是奇函数，则a_. 答案 1 解析 f(x)lg 2x 1x a 是奇函数， f(x)f(x)0恒成立， 即 lg 2x 1x a lg 2x 1x a lg 2x 1x a 2x x1a 0. 2x 1x a 2x x1a 1， 7 / 10 (a24a3)x2(a21)0， 上式对定
12、义内的任意x都成立， a24a30 a210 ， a 1. 点评 可以先将真数通分，再利用f(x) f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些 如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单f(x) lg a2xa 1x 为奇函数，显然x 1 不在 f(x)的定义域内，故x1 也不在 f(x)的定义域内，令x a a21，得 a 1.故平时解题中要 多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力 (理)(2010 吉林长春质检 )已知函数 f(x)lg 1 a 2x 为奇函数，则使不等式f(x)1成立的 x的取值范围是_ 答案 18 11x2 解析 f(x)为奇函数， f(x)f(x)0 恒成立， l
13、g 1 a 2x lg 1 a 2x lg 1 a 2x 1 a 2x 0， 1 a 2x 1 a 2x 1， a 0， 4 a x24 0， a4， f(x) lg 1 4 2 x lg 2 x x 2， 由 f(x) 1得， lg 2x 2x1， 02x 2x0 得， 2x2， 由 2 x 2 x 1 10得， x 18 11， 18 11x0，当 x(1， 1 3)时， g(x)0， g(x)在 x 1 处取得极大值，在x 1 3处取得极小值 又 g(1)2，g( 1 3) 50 27，且方程 g(x)b0 即 g(x) b 有三个不同的实数解， 50 27 b2， 解得 2b0且a1)
14、是定义在 (， )上的奇函数 (1)求a的值； (2)求函数 f(x)的值域； (3)当x(0,1时， tf(x)2x2恒成立，求实数 t的取值范围 解析 (1)f(x)是定义在 (， )上的奇函数，即f(x) f(x)恒成立， f(0) 0. 即 1 4 2a0 a0， 解得 a2. (2)y 2x1 2x1， 2 x 1y 1y， 由 2x0 知1y 1y 0， 1y0 fx x0 . (1)若f(1)0，曲线 yf(x)通过点 (0,2a3)，且在点 ( 1，f(1)处的切线垂直于y轴，求 F(x)的表达 式； (2)在(1)的条件下，当x 1,1时， g(x)kxf(x)是单调函数，求
15、实数k的取值范围； (3)设mn0，a0，且 f(x)为偶函数，证明F(m)F(n)0. 解析 (1)因为 f(x) ax2bxc，所以 f (x)2ax b. 又曲线 yf(x)在点 ( 1，f(1)处的切线垂直于y 轴，故 f ( 1) 0， 即 2ab0，因此 b2a. 10 / 10 因为 f(1)0，所以 bac. 又因为曲线yf(x)通过点 (0,2a3)， 所以 c2a3. 解由，组成的方程组得，a 3， b 6，c 3. 从而 f(x) 3x26x3. 所以 F(x) 3x 12 x0 3x12 x0 . (2)由(1)知 f(x) 3x2 6x3， 所以 g(x)kx f(x)3x2(k6)x3. 由 g(x)在1,1上是单调函数知： k 6 6 1 或 k6 6 1，得 k 12 或 k0. (3)因为 f(x)是偶函数，可知b0. 因此 f(x)ax2c. 又因为 mn0， 可知 m，n 异号 若 m0，则 n0. 若 m0. 同理可得F(m)F(n)0. 综上可知F(m)F(n)0.
