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1、1 / 11 高三数学基础知识复习 第一部分集合 1理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的 取值？还是曲线上的点？ ； 2数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具， 将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3（1）含 n 个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n1；非空真子集的数为 2n2； （ 2）;BBAABABA注意：讨论的时候不要遗忘了A的情况。 4是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分函数与导数 1映射： 注意 第一个集合中的元素必须有象； 一对一
2、，或多对一。 2函数值域的求法： 分析法 ； 配方法 ； 判别式法； 利用函数单调性； 换元法； 利用均值不等式 22 22 baba ab； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 绝对值的意义等）； 利用函数有界性（ x a、xsin、xcos等）； 导数法 3复合函数的有关问题 （ 1）复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为a，b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式a g(x) b解出 若 fg(x)的定义域为 a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b时，求 g(x)的值域。 （ 2）复合函数单调性的判定： 首先将原函数)(xgfy分解为基本函数：内函数)(xgu与外函数)(u
3、fy； 分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； 根据 “ 同性则增，异性则减” 来判断原函数在其定义域内的单调性。 4分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5函数的奇偶性 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ； )(xf是奇函数f(x)=f(x)；)(xf是偶函数f(x)= f(x) 奇函数)(xf在原点有定义，则0)0(f； 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； 若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6函数的单调性 单调性的定义： )(xf在区间M上是增函数, 21 Mxx当 21 x
4、x时有 12 ()()f xf x ； )(xf在区间M上是减函数, 21 Mxx当 21 xx时有 12 ()()f xf x ； 单调性的判定 定义法：一般要将式子)()( 21 xfxf化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； 导数法（见导数部分）； 复合函数法； 图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7函数的周期性 (1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有)()(xfTxf（其中T为非零常数），则称函数 )(xf为周期函数，T为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （ 2）三角函数的周期 2 / 11 2
5、:sinTxy；2:cosTxy； Txy:tan； | 2 :)cos(),sin(TxAyxAy； | :tanTxy； (3)与周期有关的结论 )()(axfaxf或)0)()2(axfaxf)(xf的周期为a2； 8基本初等函数的图像与性质 幂函数：xy（)R；指数函数：) 1,0(aaay x ； 对数函数 :) 1,0(logaaxy a ；正弦函数 :xysin； 余弦函数：xycos；（ 6）正切函数：xytan；一元二次函数：0 2 cbxax； 其它常用函数： 正比例函数：)0(kkxy； 反比例函数：)0(k x k y； 函数)0(a x a xy； 9二次函数： 解析
6、式： 一般式：cbxaxxf 2 )(； 顶点式：khxaxf 2 )()(，),(kh为顶点； 零点式： )()( 21 xxxxaxf。 二次函数问题解决需考虑的因素： 开口方向； 对称轴； 端点值； 与坐标轴交点； 判别式； 两根符号。 二次函数cbxaxy 2 的图象的对称轴方程是 a b x 2 ，顶点坐标是 a bac a b 4 4 2 2 ，。 10函数图象： 图象作法 ： 描点法 （特别注意三角函数的五点作图） 图象变换法 导数法 图象变换： 平移变换： )()(axfyxfy，)0(a左“ +”右“ ” ； )0( ,)()(kkxfyxfy上 “ +”下“ ” ； 对称变
7、换： )(xfy )0,0( )( xfy；)(xfy 0y )(xfy； )(xfy 0 x )( xfy； )(xfy xy ( )xfy； 翻转变换： )|)(|)(xfyxfy右不动，右向左翻（)(xf在y左侧图象去掉）； )|)(|)(xfyxfy上不动，下向上翻（|)(xf| 在x下面无图象）； 11函数图象（曲线）对称性的证明 (1)证明函数)(xfy图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图 像上； （ 2）证明函数)(xfy与)(xgy图象的对称性，即证明)(xfy图象上任意点关于对称中心 （对称轴）的对称点在)(xgy的图象上，反之亦然； 注： 曲
8、线 C1:f(x,y)=0 关于点（ 0,0）的对称曲线 C2方程为： f(x,y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线C2方程为： f(x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线C2方程为： f(x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线C2方程为： f(y, x)=0 f(a+x)=f(b x) （xR）y=f(x)图像关于直线x= 2 ba 对称； 特别地： f(a+x)=f(ax) （x R）y=f(x)图像关于直线x=a 对称； 12函数零点的求法： 直接法（求0)(xf的根）； 图象法
9、； 二分法 . (4)零点定理：若y=f(x)在a,b上满足 f(a)f(b)0； 6圆的方程的求法： 待定系数法； 几何法。 7点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） 点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离） Rd点在圆上； Rd点在圆内； Rd点在圆外。 直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离） Rd相切； Rd相交； Rd相离。 圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，rR,表示两圆半径，且rR） rRd相离； rRd外切； rRdrR相交； rRd内切； rRd0内含。 8、直线与圆相交所得弦长 22 | 2ABrd 第六部分圆锥曲线 1定义： 椭圆：|)|2( ,2| 2121
10、 FFaaMFMF； 双曲线：|)|2( ,2| 2121 FFaaMFMF；抛物线： |MF|=d 2结论 焦半径： 椭圆： 0201 ,exaPFexaPF（e 为离心率）；（左 “ +”右“ -” ）； 抛物线： 2 0 p xPF 弦长公式：4)(1(1 21 2 21 2 12 2 xxxxkxxkAB 6 / 11 注： 抛物线：ABx1+x2+p；通径（最短弦）： 椭圆、双曲线： a b 2 2 ； 抛物线： 2p。 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：1 22 nymx（nm,同时大于0 时表示椭圆，0mn 时表示双曲线）；当点P与椭圆短轴顶点重合时 21PF F最大； 双曲线
11、中的结论： 双曲线 1 2 2 2 2 b y a x （a0,b0）的渐近线： 0 2 2 2 2 b y a x ； 共渐近线 x a b y 的双曲线标准方程为 ( 2 2 2 2 b y a x 为参数，0 ）； 双曲线为等轴双曲线2e渐近线为xy渐近线互相垂直； 焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3直线与圆锥曲线问题解法： 直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题： 联立的关于 “x” 还是关于 “y” 的一元二次方程？ 直线斜率不存在时考虑了吗？ 判别式验证了吗？ 设而不求（代点相减法）：-处理弦中点问题 步骤如下： 设点
12、 A(x1，y1)、B(x2,y2)； 作差得 21 21 xx yy kAB ； 解决问题。 4求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式）；（3）代入 法（相关点法或转移法）；待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。 第七部分平面向量 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ab(b 0)a=b （)Rx1y2x2y1=0； ab(a、 b 0)a b=0 x1x2+y1y2=0 a b=| a| b|cos=x2+y1y2； 注： |a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；| b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影； ab 的几何意义：a b
13、等于 | a| 与| b| 在 a 方向上的投影 | b|cos的乘积。 cos= |ba ba ； 三点共线的充要条件：P，A， B 三点共线xy1OPxOAyOB uuu ruuu ru uu r 且 ； （理科） P，A， B，C 四点共面,xyz1OPxOAyOBzOC uuu ruuu ruuu ru uu r 且。 第八部分数列 1定义： 等差数列*,2(2( 11n1n Nnnaaaddaaa nnnn 为常数 BAnsbkna nn 2 ； 等比数列N)n2,(n)0( 1n1-n 2 n 1n n aaaqq a a a n 2等差、等比数列性质 等差数列等比数列 通项公式d
14、naan)1( 1 1 1 n n qaa 前 n 项和d nn na aan S n n 2 ) 1( 2 )( 1 1 q qaa q qa Sq naSq n n n n 1 1 )1( 1. 2 ;1.1 1 1 1 时， 时， 7 / 11 性质an=am+ (nm)d, an=amqn-m; m+n=p+q 时 am+an=ap+aq m+n=p+q 时 aman=apaq , 232kkkkk SSSSS成 AP , 232kkkkk SSSSS成 GP , 2mkmkk aaa 成 AP,mdd, 2mkmkk aaa 成 GP, m qq 3数列通项的求法：定义法（利用AP,
15、GP 的定义）； 累加法（ nnn caa 1 型）； 公式法： 累乘法（ n n n c a a 1 型）； 构造法（bkaa nn 1 型）； 间接法（例如：4 11 4 1 11 nn nnnn aa aaaa）； （理科）数学归纳法。 4前n项和的求法：分组求和法； 裂项法； 错位相减法。 5等差数列前n 项和最值的求法： 0 0 0 0 11n n n n a a a a 或 ； 利用二次函数的图象与性质。 第九部分 不等式 1均值不等式： 22 22 baba ab 注意： 一正二定三相等； 变形， 2 ) 2 ( 22 2baba ab 。 2绝对值不等式：|bababa 3不等
16、式的性质： abba；cacbba,；cbcaba；dcba, dbca；baccba0,；baccba0,；,0ba0cd acbd;)(00Nnbaba nn ;0ba)(Nnba nn 第十部分复数 1概念： z=a+biRb=0 (a,bR)z=z z20 ； z=a+bi是虚数b 0(a,b R)； z=a+bi是纯虚数a=0 且 b 0(a,bR)zz0（z0）z 20 时，变量yx,正相关；r 0时，变量yx,负相关； |r越接近于1，两个变量的线 性相关性越强；| r接近于 0 时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 4回归分析中回归效果的判定： 总偏差平方和： n i i yy 1 2 )(； 残差： iii yye； 残差平方和： 2 1 )( n i
