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1、第二部分 热点题型攻略,题型六 第23题函数动态变化问题,类型一 线段长与三角形结合的函数动态问题 例1（14内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CBx轴，且AB平分CAO,（1）求抛物线的解析式； （2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值； （3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由,（1）【思路分析】要求抛物线的解析式，须知道三个点坐标，题目已经给出A、C两点的坐标，只需求出B点坐标.,解：如解图，过 点B作BDy轴
2、交x轴于D， 在RtAOC中，AO=3， CO=4， AC= =5， AB平分CAO, CAB=BAD, CBx轴，ABCBAD, ABCCAB，BC=AC=5,例1题解图,D,又BDx轴， BDCO4，点B坐标为（5,4）， y=ax2+bx+c过A（-3，0）、C（0，4）、B（5,4）， 9a-3b+c=0 a=- c=4 解得 b= 25a+5b+c=4， c=4， 抛物线解析式为y=- x2+ x+4.,（2）【思路分析】求线段的最大值，只需求出该线段的表达式，如果是一次函数，可以根据自变量的取值范围来确定；如果是二次函数，可以先配方，再根据取值范围确定,解：直线AB经过点A（-3，
3、0）、B（5,4），设其解析式为y=kx+b（0 x5）， 则有 -3k+b=0 解得 k= 5k+b=4， b= ， 即直线AB解析式为y= x+ . 设点Q（x， x+ ）， 又点P（x,- x2+ x4） PQy轴，,线段PQ等于抛物线与直线的纵坐标之差， 即y=(- x2+56x+4)-( x+ ) =- x2+ x+ =- (x-1)2+ . 由此可见，当点P的横坐标为1（-3x5）时，线段PQ有最大值 ,（3）【思路分析】借助两点之间的线段长度让它的三边满足勾股定理的逆定理,解：如解图，过点B 作BDx轴于点D，抛 物线的对称轴EF交x轴 于E，交BC于F， 抛物线对称轴为x= -
4、 = ， 可设对称轴上的点M坐标为（ ，m）. 又A（-3，0）、B（5,4），,例1题解图,D,M1,M2,E,F,M1,M2,AD25-（-3）264， BD24216，AE2 -(-3)2 = , EM2=m2, BF2=(5- )2= ,MF2=(4-m)2, 在RtABD中，AB2=AD2+BD2=80, 在RtAEM中，AM2=AE2+EM2=m2+ , 在RtBFM中，BM2=BF2+MF2= +(4-m)2. 要使ABM是以AB为直角边的直角三角形，根据勾股定理的逆定理有BM2+AB2=AM2,（AM为斜边）或AM2+AB2=BM2（BM为斜边）， ： +(4-m)2+80=
5、+m2，解得m=9； ：80+ +m2= +（4-m）2，解得m=-11. 综上，存在两个这样的点M，即M1（ ，9）和M2（ ，-11）.,【方法指导】对于二次函数中的线段问题，常涉及二类： （1）线段长的函数关系式：此类问题常常以过直线上的动点作y轴的平行线，并与抛物线相交，再确定这两点之间长度的关系式的形式出题.一般地，先根据直线的解析式，设出动点的坐标，然后由动点与抛物线上点的横坐标相同设抛物线上点的坐标，再观察哪个点在上部，利用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标即可得到线段的函数关系式；,（2）线段最值问题：此类问题一般有两种考查形式，其一，对（1）的延伸，即在（1）的基础上，确定线段
6、的最值.此类问题可以直接运用所列线段的函数关系式，结合二次函数求最值的方法来解，可以先把函数式配成顶点式，然后顶点的纵坐标即为线段最值；其二，确定动点到两定点的距离和的最小值.这类问题一般涉及到二次函数的对称轴，即对称性.先找一个定点关于动点所在直线的对称点，再将对,称点和另一定点相连，连线与动点所在直线的交点即为动点的位置，然后运用勾股定理即可确定线段和的最小值.,类型二 三角形周长与四边形结合的函数动态问题 例2 (14眉山）如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点 C，抛物线y=ax2+bx+c经过 点A和点C，对称轴为直线l： x=-1，该抛物线与x轴的另 一个交点为B
7、,例2题图,（1）求此抛物线的解析式； （2）点P在直线l上，求出使PAC的周长最小的点P的坐标； （3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由,（1）【思路分析】由条件知，点A、B、C均在抛物线上，且点A、C易求，对称轴也已知，所以可把这三个条件代入解析式得到一个三元一次方程组，求解即得抛物线解析式.,解：对于y=3x+3，当x=0时，y=3；当y=0时，x=1， 点C（0，3），点A（1，0）. c=3 a+b+c=0 =1， 解得：a=1,b=-2,c=3， 此抛物线的解析式为：y=x22
8、x+3.,（2）【思路分析】利用最小值模型，先确定点P的位置，易得点P是直线BC与l的交点，把x=-1代入直线BC的解析式即可求解.,解：如解图，点A关于直线l的对称点是点B（-3，0），连接BC交直线l于点P，则此时PAC周长最小. 设BC的解析式为：y=kx+m， 3k+m=0 m=3， 解得：k=1,m=3， BC的解析式为：y=x+3， 当x=1时，y=2， 点P为（-1，2）.,例2题解图,则：,P,（3）【思路分析】A、B、M、N四个点中，只有A、B是确定的，所以要分两种情况来讨论：AB为平行四边形的对角线；AB为平行四边形的边.,解：以A、B、M、N为顶点的四边形能成为平行四边形
9、，满足要求的点M的坐标为M1(-2,3),M2(-4,-5),M3(4,-21).,例2题解图,M1,M2,N1,Q,【解法提示】当AB为对角线时，可知点M在第二象限，点N在y轴负半轴上， 由平行四边形的中心对称性可知，若过点M作MQx轴于点Q时，则BQ=AO=1， 点M的横坐标为-2，代入解析式可求得（-2，3）； 当AB为边时，由抛物线的形状特点可知点M、N都在x轴下方， 当点M在第三象限时，可把x=-4代入解析式求得（-4，-5），,当点M在第四象限时，可把x=4代入解析式求得（4，-21）. 则以A、B、M、N为顶点的四边形能成为平行四边形. 满足要求的点M有3个，分别是： M1（-2
10、，3），M2（4，-5），M3（4，-21）.,【方法指导】三角形周长与四边形判定结合的函数动态问题可从以下几个方面思考： （1）周长问题：周长问题其实质也是线段问题，用同一个未知数分别表示出图形各边长的表达式，然后相加即可得到几何图形的周长表达式，再确定最值即可.可以参照“类型一线段长与三角形结合的函数动态问题”的方法指导.,（2）四边形判定的探究问题：首先运用特殊四边形的性质画出相应图形，确定动点的位置；其次借助特殊四边形的性质（如平行四边形对边平行且相等）找到动点与已知点的位置关系和数量关系；最后结合已知列方程求解.,类型三 三角形面积与几何图形判定结合的函数动态问题 例3 如图，在平面
11、直角坐标系中，已知抛物线y=- x2+bx+c经过点A（0，1）、B（3， ）两点，BCx轴，垂足为C.点P是线段AB上的一动点（不与A，B重合），过点P作PDx轴交抛物线于点M，延长BA交x轴于点E，设点P的横坐标为t.,（1）求此抛物线的函数表达式； （2）连接AM、BM，设AMB的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值； （3）四边形 BCDM是否能构成 矩形，若能构成矩 形，确定点P的坐 标，若不能，说明 理由.,（1）【思路分析】将点A、B的坐标代入抛物线解析式，确定b，c的值，即可确定抛物线的函数表达式.,解：抛物线y- x2+bx+c经过点A（0，1）、B（3， ）两
12、点， c1 - 9+3b+c ， b c1， 抛物线的函数表达式为：y- x2+ x+1；,解得,（2）【思路分析】设点P的横坐标为t，分别表示出点P的纵坐标及点M的纵坐标，即可用t表示MP的长，再根据AMB的面积等于AMP的面积+BMP的面积，以MP为底，点A和点B到MP的距离为高，用三角形面积公式即可列出函数关系式，再运用二次函数最值性质求解.,解：设点P的横坐标为t， 点M坐标为（t，- t2+ t+1）， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 将A(0,1),B(3, )代入， b1 3k+b ， k b1， 直线AB的解析式为y x+1， 点P在直线AB上，点P的横坐标为t，,得,解得
13、,点P的纵坐标为 t+1， MP- t2+ t+1- t-1=- t2+ t, SAMBSAMP+SBMP (- t2+ t)t+ (- t2 + t)（3-t） - t2+ t- (t- )2 + ， 当t 时，S最大值 ；,（3）【思路分析】要四边形BCDM是矩形，则MBCD，即点B与点M关于抛物线对称轴对称，由此可确定点M坐标，进而确定点P的坐标.,解：MDCD，BCCD， 要四边形BCDM是矩形，则BMCD，即BMx轴， 点M与点B关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为x= ， 点B（3， ）， 点M坐标为（ ， ），,将x= 代入直线AB的解析式得yP= +1 ， 点P的坐标为（ ， ）.,【方法指导】三角形面积与几何图形判定结合的函数动态问题一般可以从以下几个方面思考： （1）适当选取三角形的底边及对应的高.一般地，三角形的底边选择平行于坐标轴的线段，这样底边上的高也容易表示； （2）注意图形的分割和填补.一般情况下，若所给三角形三边没有平行于坐标轴的，那么过三角形的一个顶点作坐标轴的平行线,（常常问题中已经给出），将三角形分成两个小三角形，再进行计算；若所求三角形正好可以填补成一个特殊四边形，且这个四边形和其他各部分面积易求，可运用这个四边形的面积减去其他各部分的面积来计算； （3）计算最值其实质就是二次函数最值性质的应用.,
