《2020版高考数学二轮复习分层设计专题检测(十五)圆锥曲线的方程与性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学二轮复习分层设计专题检测(十五)圆锥曲线的方程与性质（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 10 页 专题检测（十五）圆锥曲线的方程与性质 A 组 “633”考点落实练 一、选择题 1.(2019全国卷 )若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆 x2 3p y2 p 1 的一个焦点，则p () A.2B.3 C.4 D.8 解析： 选 D抛物线y22px(p0)的焦点坐标为 p 2，0 ，椭圆 x2 3p y2 p 1 的焦点坐标为 () 2p，0 . 由题意得 p 2 2p，解得 p0(舍去 )或 p8.故选 D. 2.一个焦点为 (26，0)且与双曲线 y2 4 x2 9 1 有相同渐近线的双曲线方程是() A. y2 18 x2 8 1 B. x2 18 y2
2、8 1 C. x2 16 y2 101 D. y2 16 x2 10 1 解析： 选 B设所求双曲线方程为 y2 4 x2 9 t(t0)，因为一个焦点为(26，0)，所以 |13t| 26.又焦点在x 轴上，所以t 2，即双曲线方程为 x2 18 y2 8 1. 3.已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆 M 在圆 C1内部且与圆C1 内切，与圆C2外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 () A. x2 24 y2 251 B. x2 25 y 2 241 C. x2 48 y2 641 D. x2 64 y2 48 1 解析： 选 D设圆 M 的半径为r， 则|MC
3、1|13 r， |MC2|3r ， |MC1|MC2| 16|C1C2|， 所以点 M 的轨迹是以点C1(4，0)和 C2(4，0)为焦点的椭圆，且2a16，a8，c4，则 b2a2c 248，所以点 M 的轨迹方程为 x2 64 y2 481. 4.(2019全国卷 )已知 F 是双曲线C： x2 4 y 2 5 1 的一个焦点，点P 在 C 上， O 为坐标 原点 .若|OP|OF|，则 OPF 的面积为 () 第 2 页 共 10 页 A. 3 2 B.5 2 C.7 2 D.9 2 解析： 选 B由 F 是双曲线 x2 4 y2 5 1 的一个焦点，知|OF| 3， 所以|OP|OF|
4、3. 不妨设点 P 在第一象限， P(x0，y0)，x00，y00， 则 x20 y20 3， x20 4 y20 5 1， 解得 x20 56 9 ， y20 25 9 ， 所以 P 2 14 3 ， 5 3 ， 所以 S OPF 1 2|OF| y 0 1 23 5 3 5 2. 故选 B. 5.(2019石家庄市模拟 (一)已知椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0)，点 F 为左焦点，点 P 为下顶点， 平行于 FP 的直线 l 交椭圆于A， B 两点，且 AB 的中点为 M 1， 1 2 ， 则椭圆的离心率为() A. 1 2 B. 2 2 C.1 4 D. 3 2 解析： 选 B
5、FP 的斜率为 b c， FP l，直线 l 的斜率为 b c.设 A(x 1，y1)，B(x2，y2)， 由 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b2 1 得 y21 b2 y22 b 2 x21 a2 x22 a2 ，即 y1y2 x1x2 b2（ x1 x2） a2（ y1y2） . AB 的中点为M 1，1 2 ， b c 2b2 a2 ，a22bc，b2c22bc，bc，a2c，椭圆的离心率为 2 2 ，故选 B. 6.(2019全国卷 )设 F 为双曲线C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆x2y2 a2交
6、于 P，Q 两点 .若|PQ|OF|，则 C 的离心率为 ( ) A.2B.3 C.2 D.5 第 3 页 共 10 页 解析： 选 A设双曲线C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右焦点 F 的坐标为 (c，0).由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知， PQ 是以 OF 为直径的圆的直 径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则 |OP|a，|OM|MP| c 2.由|OM| 2|MP|2|OP|2 得 c 2 2 c 2 2 a 2，故c a 2，即 e2.故选 A. 二、填空题 7.(2019北京通州区三模改编)抛物线 y22px(p0)的准线与双曲线 x2y 2 4 1 的
7、两条渐 近线所围成的三角形的面积为2，则p_，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为 _. 解析： 抛物线 y2 2px(p0)的准线方程为 x p 2，双曲线 x 2y 2 4 1 的两条渐近线方程 分别为 y2x，y 2x，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p，三角形的高为 p 2，因 此1 22p p 22，解得 p2.则抛物线焦点坐标为 (1， 0)，且到直线y2x 和 y 2x 的距离 相等，均为 |20| 5 2 5 5 . 答案： 2 2 5 5 8.设直线 l：2xy 20 关于原点对称的直线为l，若 l 与椭圆 x2 y2 4 1 的交点为 A， B，点 P 为椭圆上的动点，则
8、使PAB 的面积为 1 2的点 P 的个数为 _. 解析：直线 l 的方程为2xy 20，交点分别为椭圆顶点(1，0)和(0，2)，则|AB|5， 由 PAB 的面积为 1 2，得点 P 到直线 AB 的距离为 5 5 ，而平面上到直线2xy 20 的距离 为 5 5 的点都在直线2xy10 和 2x y30 上，而直线2xy10 与椭圆相交，2x y30 与椭圆相离，满足题意的点P 有 2 个. 答案： 2 9.已知 M(x0， y0)是双曲线C： x2 2 y21 上的一点， F1，F2是双曲线 C 的两个焦点 .若 MF1 MF2 0，则 y0的取值范围是_. 解析： 由题意知a2，b1
9、， c3， 第 4 页 共 10 页 设 F1( 3，0)，F2(3，0)， 则MF1 (3x0， y0)， MF2 (3x0， y0). MF1 MF2 0， (3x0)(3x0)y200， 即 x203y200. 点 M(x0，y0)在双曲线 C 上， x20 2 y201，即 x 2 022y20， 22y203y200， 3 3 y0 3 3 . 答案： 3 3 y0b0)的中心是坐标原点 O，左、 右焦点分别为F1，F2，设 P 是椭圆 C 上一点，满足 PF2x 轴， |PF2| 1 2，椭圆 C 的离心率 为 3 2 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过椭圆 C 左焦点且
10、倾斜角为45的直线l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求 AOB 的 面积 . 解： (1)由题意知，离心率e c a 3 2 ，|PF2| b2 a 1 2，得 a2，b1，所以椭圆 C 的标 准方程为 x2 4 y21. (2)由条件可知F1(3， 0)，直线l：yx3，联立直线l 和椭圆C 的方程，得 y x3， x2 4 y21， 消去 y 得 5x283x8 0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8 3 5 ， x1 x2 8 5，所以 |y 1y2|x1x2|（x1x2）24x1x24 2 5 ， 所以 S AOB 1 2 |y 1y2| |OF1| 2 6
11、5 . 第 5 页 共 10 页 11.(2019全国卷 )已知抛物线C：y 23x 的焦点为 F，斜率为 3 2的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为P. (1)若|AF|BF|4，求 l 的方程； (2)若 AP 3 PB ，求 |AB|. 解： 设直线 l：y 3 2xt，A(x 1， y1)，B(x2，y2). (1)由题设得F 3 4，0 ，故 |AF|BF|x1x 2 3 2. 又|AF|BF|4，所以 x1x2 5 2. 由 y 3 2xt， y23x 可得 9x212(t1)x 4t20， 则 x1x2 12（ t1） 9 . 从而 12（t1） 9 5 2，
12、得 t 7 8. 所以 l 的方程为y3 2x 7 8. (2)由 AP 3 PB 可得 y1 3y2. 由 y 3 2xt， y23x 可得 y22y2t0. 所以 y1y22，从而 3y2y22，故 y2 1，y13. 代入 C 的方程得x13，x2 1 3. 故|AB| 4 13 3 . 12.(2019成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的短轴长为 42，离 心率为 1 3. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设椭圆 C 的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点 M，N 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点，且F1MF2N，直线
13、F1M 的斜率为 2 6，记直线AM，BN 的斜率 分别为 k1，k2，求 3k12k2的值 . 第 6 页 共 10 页 解： (1)由题意，得2b 4 2， c a 1 3. 又 a2c2b2，a3， b22，c1. 椭圆 C 的标准方程为 x2 9 y 2 8 1. (2)由(1)可知 A(3，0)，B(3，0)，F1( 1，0). 据题意，直线F1M 的方程为y2 6(x 1). 记直线 F1M 与椭圆 C 的另一个交点为 M.设 M(x1，y1)(y10)，M (x2，y2). F1MF2N，根据对称性，得N(x2， y2). 联立得 8x29y272， y26（x1）， 消去 y，
14、得 14x227x 90. 由题意知 x1x2，x1 3 7，x 2 3 2， k1 y1 x1 3 26（x1 1） x1 3 46 9 ， k2 y2 x23 26（ x2 1） x23 2 6 3 ， 3k12k2 34 6 9 2 2 6 3 0，即 3k12k2的值为 0. B 组 大题专攻强化练 1.已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为 1 2，其中一个顶点是抛物线 x2 43y 的焦点 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若过点 P(2，1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点M，求直线 l 的方程和点M 的 坐标 . 解： (1)设椭圆 C 的方程为
15、x2 a2 y2 b21(ab0)， 由题意得 b3， c a 1 2， 解得 a2， c1. 故椭圆 C 的标准方程为 x2 4 y 2 3 1. (2)因为过点P(2， 1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 第 7 页 共 10 页 故可设直线l 的方程为yk(x2)1(k0). 由 x2 4 y2 3 1， yk（x2） 1 得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80. 因为直线 l 与椭圆 C 相切， 所以 8k(2k1) 24(34k2)(16k216k8)0. 整理，得 2k10， 解得 k 1 2. 所以直线l 的方程为y 1 2(x 2
16、) 1 1 2x2.将 k 1 2代入 式，可以解得 M 点的 横坐标为1，故切点M 的坐标为1， 3 2 . 2.在直角坐标系xOy 中， 长为21 的线段的两端点C， D 分别在 x 轴，y 轴上滑动， CP 2 PD .记点 P 的轨迹为曲线E. (1)求曲线 E 的方程； (2)经过点 (0，1)作直线 l 与曲线 E 相交于 A，B 两点， OM OA OB ，当点 M 在曲线 E 上时，求直线l 的方程 . 解： (1)设 C(m，0)，D(0，n)，P(x，y). 由 CP 2 PD ，得 (xm，y)2(x，n y)， 所以 xm2x， y2（ny）， 得 m（21）x， n 2 1 2 y， 由|CD | 21，得 m2n2 (21)2， 所以 (21)2x2 （21） 2 2 y2(21)2
