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1、1 第 22 章二次函数 一、复习目标 1. 理解二次函数的概念； 2. 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用 描点法画二次函数的图象； 3. 会平移二次函数yax 2(a 0) 的图象得到二次函数 ya(ax m) 2k 的图象， 了解特 殊与一般相互联系和转化的思想； 4. 会用待定系数法求二次函数的解析式； 5. 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐 标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 6. 二次函数的综合应用 二、课时安排 2 三、复习重难点 把握二次函数的性质，利用二次
2、函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的 图象与 x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值， 了解二次函数与一元二次方程和不等式之 间的联系，并能和其它知识点进行综合应用。 四、教学过程 （一）知识梳理 二次函数知识点： 1. 二次函数的概念：一般地，形如 2 yaxbxc( abc， ， 是常数，0a) 的函数，叫 做二次函数。 2. 二次函数的基本形式 （1）二次函数基本形式： 2 yax的性质： 2 2. 2 yaxc的性质： 3. 2 ya xh的性质： 4. 2 ya xhk 的性质： 3. 二次函数图象的平移 1. 平移步骤： (1) 将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya x
3、hk ，确定其顶点坐标hk，； a 的符号 开 口 方 向 顶点坐标 对称 轴 性质 0a向上00， y 轴 0 x时， y 随 x 的增大而增大；0 x时， y 随 x 的增大而减小；0 x时， y 有最小值 0 0a向下00， y 轴 0 x时， y 随 x 的增大而减小；0 x时， y 随 x 的增大而增大；0 x时， y 有最大值 0 a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a向上0c， y 轴 0 x时， y 随 x 的增大而增大；0 x时， y 随 x的增大而减小；0 x时， y 有最小值 c 0a向下0c， y 轴 0 x时， y 随 x 的增大而减小；0 x时， y 随 x的
4、增大而增大；0 x时， y 有最大值 c a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a向上0h，X=h xh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时，y 随 x的增大而减小；xh 时， y有最小值 0 0a向下0h，X=h xh 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时，y 随 x的增大而增大；xh 时， y有最大值 0 a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a向上hk，X=h xh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时，y 随 x的增大而减小；xh 时， y有最小值 k 0a 向下 hk，X=h xh 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时，y 随 x的增大而增大；xh 时
5、， y有最大值 k 3 (2) 保持抛物线 2 yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下： 向右(h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0) 【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位 y=a (x-h )2+k y=a(x-h ) 2 y=ax 2+k y=ax 2 （3） 平移规律 在原有函数的基础上“ h值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左 加右减，上加下减” 4. 二次函数 2 yaxbxc图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定 其开口方向、对称
6、轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取 的五点为：顶点、与y 轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与 x 轴 的交点 10 x ，20 x ，( 若与 x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y 轴的交点 . 5. 二次函数 2 yaxbxc的性质 （1） 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ， 当 2 b x a 时， y 随 x的增大而减小；当 2 b x a 时， y 随 x的增大而增大；当 2 b x a 时，
7、y 有最小值 2 4 4 acb a （ 2 ）当0a时 ， 抛 物 线 开 口 向 下 ， 对 称 轴 为 2 b x a ， 顶 点 坐 标 为 2 4 24 bacb aa ，当 2 b x a 时， y 随 x 的增大而增大；当 2 b x a 时， y 随 x 的增大而减 小；当 2 b x a 时， y有最大值 2 4 4 acb a 6. 二次函数解析式的表示方法 （1） 一般式： 2 yaxbxc( a， b ， c 为常数，0a) ； 4 （2） 顶点式： 2 ()ya xhk( a ， h， k 为常数，0a) ； （3）两根式： 12 ()()ya xxxx(0a， 1
8、x ， 2 x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 7. 二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系( 二次函数与x 轴交点情况 ) ： 一元二次方程 2 0axbxc是二次函数 2 yaxbxc当函数值0y时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数： 当 2 40bac时，图象与x轴交于两点 12 00A xB x， 12 ()xx，其中的 12 xx，是 一 元 二 次 方 程 2 00axbxca的 两 根 这 两 点 间 的 距 离 2 21 4bac ABxx a . 当0时，图象与x 轴只有一个交点； 当0时，图象与x 轴没有交点 . 7. 二次函数的应用： （二）
9、题型、方法归纳 类型一：二次函数的平移 【主题训练1】( 枣庄中考 ) 将抛物线y=3x 2 向上平移3 个单位 , 再向左平移2 个单位 , 那 么得到的抛物线的解析式为( ) A.y=3(x+2) 2+3 B.y=3(x-2) 2+3 C.y=3(x+2) 2-3 D.y=3(x-2) 2-3 【自主解答】选A.由“上加下减”的平移规律可知, 将抛物线y=3x 2 向上平移3 个单位 所得抛物线的解析式为:y=3x 2+3; 由“左加右减”的平移规律可知 , 将抛物线y=3x 2+3向左平 移 2 个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2) 2+3. 归纳：二次函数平移的两种方法 1.
10、确定顶点坐标平移: 根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离. 2. 利用规律平移 :y=a(x+h) 2+k是由 y=ax2 经过适当的平移得到的, 其平移规律是“h左加 右减 ,k 上加下减” .即自变量加减左右移, 函数值加减上下移. 类型二：二次函数的图象及性质 【主题训练2】 ( 十堰中考 ) 如图 ,二次函数y=ax 2+bx+c (a0)的图象的顶点在第一象限 , 5 且过点 (0,1) 和(-1,0),下列结论 : ab4a;0a+b+c2;0b-1 时,y0. 其中正确结论的个数是( ) A.5 个B.4 个C.3 个D.2 个 【自主解答】 选 B. 对称轴在y
11、轴右侧 , - 0, 0,a,b 异号 , ab0, b24a, 正确 ; 当 x=1 时 , 图象在x 轴上方 , a+b+c0; 把 x=-1,y=0代入 y=ax 2+bx+1, 得 b=a+1, 图象的开口向下 , a0, a+b+c= a+a+1+1=2a+22, 0a+b+c2, 正确 ; b=a+1, a=b-1, 0a+b+c2,c=1, 0b-1+b+12, 即 02b2, 0b-1 时, 函数图象有部分在x 轴上方 , 与 x 轴有交点 , 有部分在 x 轴下方 , 所以 y0,y=0,y4ac;abc0;2a - b=0;8a+c0;9a+3b+c0, 即 b24ac,
12、是正确的 . 抛物线的开 口方向向上 , a0; 抛物线与y 轴的交点在y轴的负半轴 , c0, a 与 b 异号 , 则 b0, 是正确的 . 抛物线的对称轴x= b 2a =1, b=-2a, 2a+b=0, 是错误的 . 当 x=-2 时,y=4a-2b+c0,又 b=-2a, 4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c0,是错误的 . 抛物线的对称轴为直线x=1, 在 x=-1 与 x=3 时函数值相等 , 由函数图象可知x=-1 的 函数值为负数 , x=3 时的函数值y=9a+3b+c0; 抛 物线 y=ax 2+bx+c 在 x 轴下方部分的横坐标满足 ax 2+bx+c0
13、. 类型四：二次函数的应用 【主题训练4】( 武汉中考 ) 科幻小说实验室的故事中, 有这样一个情节: 科学家把一 种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中, 经过一天后 , 测试出这种植物高度的增长情况( 如 表). 温度 x( ) -4 -2 0 2 4 4.5 7 植物每天 高度增长 量 y(mm) 41 49 49 41 25 19.75 由这些数据 , 科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度 x的函数 , 且这种函数是一次函 数和二次函数中的一种. (1) 请你选择一种适当的函数, 求出它的函数关系式, 并简要说明不选择另外两种函数的 理由 . (2) 温度为多少时 , 这种植物每天高
14、度增长量最大? (3) 如果实验室温度保持不变, 在 10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm, 那么 实验室的温度x 应该在哪个范围内选择?直接写出结果. 【自主解答】(1) 选择二次函数. 设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c, 根据题意 , 得 4a2bc49,a1, 4a2bc41,b2, c49,c49 解得 ， y 关于 x 的函数解析式为y=-x 2-2x+49. 不选另外两个函数的理由: 点(0,49) 不可能在任何反比例函数图象上, 所以 y 不是 x的反 比例函数 ;点 (-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上, 所以 y 不是 x 的一次函数
15、 . (2) 由(1) 得 y=-x 2-2x+49, y=-(x+1)2+50. a=-10, 当 x=-1 时 y 的最大值为50. 即当温度为 -1 时 , 这种植物每天高度增长量最大. (3)-6x0 B.c0 C.b 2-4ac0 D.a+b+c0 4. 4.( 陕西中考 ) 已知两点 A(-5,y1),B(3,y2) 均在抛物线y=ax 2+bx+c(a0)上 , 点 C(x 0,y0) 是该抛物线的顶点,若 y1y2 y0, 则 x0的取值范围是 ( ) A.x0-5 B.x0-1 C.-5x0-1 D.-2x00; bac; 若 -1mn1,则 m+nb a ; 3|a|+|c
16、|y2y0, 抛物线开口向上,且对称轴不可能 在 A点的左侧 ;若对称轴在B点或其右侧 , 此时满足题意 , 则有 x0 3; 若对称轴在A,B 两点之间 , 当 y1=y2时, 有 x0=-1, 当 y1y2时, 应有 x0 53 2 , 即 3x0-1, 综上可得x0的取值范围是x0-1. 5. 【解析】对称轴x= b 2a 1，所以 b 2a，即 2a+b0，故正 确；抛物线开口向下，a0，与 y 轴交于负半轴，c0，对称 轴 x=b 2a 0， b 0. 根据图象无法确定a 与 c 的大小，故不 正确；因为1m n1，mn 2 1，而对称轴x= b 2a 1，所以mn 2 b 2a ，即 m+n b a ，故正确；因为x=1 时， a+b+c 0，而 2a+b0， 2a+b+a+b+c0，所以 3|a| 2|b|
