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1、坐标系与参数方程 一考纲 （1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变 化情况 . （2） 了解极坐标的基本概念， 会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行 极坐标和直角坐标的互化. （3） 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的 圆）表示的极坐标方程 . （4）了解参数方程，了解参数的意义. （5） 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 二、坐标系与参数方程命题分析 解答题坐标系与参数方程命题的概率是1.0，都位于解答题的第六题，虽 然是倒数第一题，但不是压轴题，是选考题，二选一共10 分，属于解答题中的 容易或比较容易的试
2、题。 内容主要涉及曲线与极坐标方程、参数方程、 普通方程 关系，求曲线的轨迹方程、 求曲线的交点， 极坐标与直角坐标的转化等知识与方 法。从多年命题情况分析，总体是比较容易解决的。 三、考点 （一）方程互化问题 互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同. 互化公式： sin cos y x 或 )0(tan 222 x x y yx （的象限由点(x,y)所在的象限确定） 名师点睛： “互化思想” 是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想, 解题时应熟记极坐标 方程与直角坐标方程的互化公式, 以及直线、 圆、椭圆的参数方程形式,直线、 圆的参数方程 中参数的几何意义,理解
3、其意义并在解题中灵活地加以应用, 往往可以化繁为简, 化难为易 . 1、极坐标方程与直角坐标方程的互化 考题 1（直角坐标方程化为极坐标方程） （2016 全国卷 2）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为 22 (6)25xy （）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； 答案： （） 2 12cos110 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化 命题意图：重点考查了转化与化归能力 试题解析：（ I）由cos ,sinxy可得C的极坐标方程 2 12cos110. 总结升华：极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意 点所在的象限和极角的范围，否
4、则点的极坐标将不唯一在曲线的方程进行互化时，一定 要注意变量的范围要注意转化的等价性. 强化训练1. （ 2015 新课标1，23）在直角坐标系 xOy 中。直线 1 C : 2x ，圆 2 C ： 22 121xy ,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （I）求 1 C ， 2 C 的极坐标方程； 解： （）因为cos ,sinxy，所以 1 C的极坐标方程为 cos2，2 C的 极坐标方程为 2 2cos4sin40 考题 2（极坐标方程化为直角坐标方程） （2015 新课标 2 ，23）在直角坐标系xOy 中，曲线 C1： cos sin xt yt （t 为参数，
5、t 0） ，其 中 0 ，在以 O 为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： 2sin，C3： 2 3cos。 （1）求 C2与 C3交点的直角坐标； 答案：(0,0)和 3 3 (,) 22 考点：直角坐标及极坐标方程的互化 试题解析： （）曲线 2 C的直角坐标方程为 22 20 xyy，曲线 3 C的直角坐标方程为 22 2 30 xyx. 联立 22 22 20, 2 30 xyy xyx 解得 0, 0, x y 或 3 , 2 3 . 2 x y 所以 2 C与 3 C交点的直角坐标为(0,0)和 3 3 (,) 22 总结提升： 1. 运用互化公式： 222, sin
6、,cosxyyx将极坐标化为直角坐标； 2. 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质， 可转化直角坐标系的情境进行 3. 若是和角， 常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式， 两边可以同乘以，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决. 强化训练 1（2016 全国卷 3， 23） 在直角坐标系xOy 中， 曲线 1 C的参数方程为 3 cos () sin x y 为参数 ， 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C 的极坐标方程为 sin()2 2 4 . （I）写出 1 C的普
7、通方程和 2 C的直角坐标方程； 答案： 1 C的普通方程为 2 2 1 3 x y， 2 C的直角坐标方程为40 xy. 2、参数方程普通方程的互化 考题 1（参数方程化为普通方程） （2017 课标 3，22）在直角坐标系xOy中，直线 1 l 的参数方程为 2+ , , xt ykt （t为参数），直 线 2 l 的参数方程为 2, , xm m m y k （为参数） . 设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为 曲线C （1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标 系，设l3：(cos+sin) -2 =0，M为l3与C的交点，求M的极径 . 答案
8、： （1） 22 4(0)xyy； （ 2）5 试题解析：（ 1）直线 1 l的普通方程为(2)yk x，直线 2 l的普通方程为2xky， 消去 k 得 22 4xy，00kyQ即 C的普通方程为 22 4(0)xyy. （2） 3 l 化为直角坐标方程为 2xy ， 联立 22 2 4 xy xy 得 3 2 2 2 2 x y ， 222182 5 44 xy， 3 l与 C的交点 M 的极径为5. 考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程 总结升华：（ 1）消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式 消参等。 消参过程要注意谁是参数以及等价性，即应考虑
9、变量的取值范围，一般来说应分别 给出 x,y 的范围， 在这过程中， 实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各 种方法。（2）利用 222 cos ,sin ,xyxy将极坐标方程化直角坐标方程 强化训练 1.（2017 课标 1，22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos , sin , x y （为参数） ， 直线l的参数方程为 4 , 1, xat t yt （ 为参数）（ 1）若1a，求C与l的交点坐标； 答案： （1）(3,0)， 21 24 (,) 25 25 试题解析：（ 1）曲线C的普通方程为 2 2 1 9 x y 当1a时，直线l的普通方程为430
10、 xy 由 2 2 430 1 9 xy x y 解得 3 0 x y 或 21 25 24 25 x y 从而C与l的交点坐标为(3,0)， 21 24 (,) 25 25 2. （2016 高考新课标23）在直角坐标系xy中, 曲线C1的参数方程为 cos 1sin xat yat （t 为参数 ,a0） 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线C2：=4 cos. （I ）说明C1是哪一种曲线, 并将C1的方程化为极坐标方程； （II ）直线C3的极坐标方程为 0, 其中0满足 tan0=2, 若曲线 C1与C2的公共点都在 C3上, 求a 答案： （I ）圆 , 22
11、2sin10a（ II ）1 试题解析： cos 1sin xat yat （t均为参数） , 2 22 1xya 1 C为以01，为圆心 ,a为半径的圆方程为 222 210 xyya 222 sinxyy，, 22 2sin10a即为 1 C的极坐标方程 2 4cosC ：, 两边同乘得 2222 4coscosxyxQ， 22 4xyx, 即 2 2 24xy 3 C：化为普通方程为2yx, 由题意： 1 C和 2 C的公共方程所在直线即为 3 C 得： 2 4210 xya, 即为 3C 2 10a, 1a 考题 2（普通方程化为参数方程化） 已知曲线C： 22 1 49 xy ，直线
12、l： (t为参数 ) (1) 写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； 分析：在第 (1) 问中，可根据参数方程与普通方程的关系求解 解： （1）曲线 C 的参数方程为 （为参数）故直线l 的普通方程为2x+y-6=0 名师点睛：本题考查参数方程与普通方程的转化 （二）弦长问题 考题 1. 1（2016 江苏 21）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程 为 1 1 2 3 2 xt yt （t 为参数），椭圆 C 的参数方程为 cos , 2sin x y （为参数） . 设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，求线段AB 的长 解 ： 椭 圆C的 普 通 方 程 为 2
13、2 1 4 y x， 将 直 线l的 参 数 方 程 1 1 2 3 2 xt yt ， 代 入 2 2 1 4 y x，得 2 2 3 () 1 2 (1)1 24 t t，即 2 7160tt，解得 1 0t， 2 16 7 t. 12 16 | 7 ABtt. 考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化. 直线与圆相交的弦长问题 总结升华： 1、 “互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想, 解题时应熟记极 坐标方程与参数方程的互化公式, 以及直线、 圆、椭圆的参数方程形式,直线、 圆的参数方程 中参数的几何意义,理解其意义并在解题中灵活地加以应用, 往往可以化繁为简, 化难为
14、易 . 2、计算直线与圆锥曲线相交得到的弦长，一般考虑三种方法： （1）将直线与圆锥曲线联立方程组，得到关于x 的一元二次方程，利用弦长公式计算。 其中， k 为直线的斜率，x1、x2 为方程的两根；(这个方法的前提的直线的斜率必须存在) （2）利用直线的参数方程来解； （3）转化为极坐标方程来计算，极坐标方程中的几何意义就表示距离。 变式训练 1 （2015 新课标 2， 23） 在直角坐标系xOy中, 曲线 1 cos , : sin, xt C yt （t为参数 , 且0t） , 其 中0, 在 以O为 极 点 ,x轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线 23:2
15、sin,:2 3cos .CC （I ）求 2 C与 3 C交点的直角坐标； （II ）若 1 C与 2 C相交于点A, 1 C与 3 C相交于点B,求AB最大值 . 答案：（ I） 3 3 0,0 , 22 ；（ II ）4. 试题解析： 解 ： （ I ） 曲 线 2 C的 直 角 坐 标 方 程 为 22 20 xyy, 曲 线 3 C的 直 角 坐 标 方 程 为 22 2 30 xyx, 联立两方程解得 0 0 x y 或 3 2 3 2 x y , 所以 2 C与 3 C交点的直角坐标 3 3 0,0 , 22 . （II ）曲线 1 C极坐标方程为,0 ,R其中0 , 因此点A的
16、极坐标为 2sin,点B的极坐标为2 3 cos,所以 21 2 21 2 21 2 4)(11xxxxkxxkAB 2sin2 3cos4 sin 3 AB , 当 5 6 时AB取得最大值 , 最大值为4. 2.（2016 全国卷 2）在直角坐标系 xOy 中，圆 C的方程为 22 (6)25xy （）以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （）直线l的参数方程是 cos sin xt yt （t为参数） , l与C交于,A B两点，|10AB， 求l的斜率 答案： （） 2 12cos110； （） 15 3 . 试题解析：（ I）由 cos ,sinxy 可得 C 的极坐标方程 2 12cos110. （II ）在（ I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为()R 由,A B所对应的极径分别为 12 ,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 2 12cos110. 于是 1212 12cos,11, 22 121212 | |()4144co
