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1、Theoretical Mechanics,第一篇 理论力学,第四章 平面任意力系,返回总目录, 4-1力的平移定理 4-2平面任意力系向作用面内一点的简化 4-3平面任意力系和平面平行力系的平衡方程 4-4考虑滑动摩擦时的平衡问题,第四章 平面任意力系,目录,第四章 平面任意力系,各个力的作用线在同一平面内，但不汇交于一点，也不都平行的力系称为平面任意力系。,平面任意力系的重要性：,2、平面任意力系的研究方法还可以用到 空间力系-理论上重要。,1、工程上遇到的力系多为平面任意力系 -实践上重要;,平面任意力系实例,第四章 平面任意力系,4.1 力的平移定理,可以把作用于刚体上点A的力 F 平
2、行移到任一点0，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。力的平移定理,M=F. d=Mo(F),逆过程： 用力的平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。,为什么钉子有时会折弯？,图示两圆盘运动形式是否一样？,4.1 力的平移定理,说明：,4.1 力的平移定理,一、平面任意力系向作用面内一点的简化 主矢和主矩,4.2 平面任意力系的简化, 平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点O的主矩。,4.2 平面任意力系的简化,几点说明： 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与
3、简化中心的位置无关。 2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。,4.2 平面任意力系的简化,1. 平面任意力系简化为一个力偶的情形, 因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。,4.2 平面任意力系的简化,二、平面任意力系向简化的结果分析,2 . 平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理,合力的作用线通过简化中心,MO(FR) = FRd = MO = MO(Fi) MO(FR) = MO(Fi),平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和。,4.2 平面任意力
4、系的简化,合力矩定理,原力系平衡,定理的应用：,（1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；,（2）求分布力的合力作用线位置。,3 . 平面任意力系平衡的情形,4.2 平面任意力系的简化,例题 4-1 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。,解：取坐标系Oxy。 1、求向O点简化结果： 求主矢FR：,4.2 平面任意力系的简化,4.2 平面任意力系的简化, 求主矩：,（2）、求合成结果：合成为一个合力R，R的大小、方向与R相同。其作用线与O点的垂直距离
5、为：,R/,O,A,B,C,x,y,4.2 平面任意力系的简化,一、平面任意力系的平衡条件和平衡方程,平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。,平衡方程,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,充要条件：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。,（A、B、C 三点不得共线）,（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线）,平面任意力系平衡方程的形式,基本形式,二力矩式,三力矩式,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,已知：M=Pa,求：A、B处约束反力。,解： （1）取刚架为研究对象,解上述方程，得,（2）画受
6、力图,（3）建立坐标系，列方程求解,例题 4-2,解 法 1,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,解 法 2,解上述方程，得,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,解 法 3,解上述方程，得,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,（1）固定端支座,求：A处约束反力。,既不能移动，又不能转动的约束 固定端（插入端）约束,例题4-3,（2）分布载荷的合力,dP=q(x)dx,合力大小：,由合力之矩定理：,合力作用线位置：,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程, 两个特例,(a) 均布载荷,(b) 三角形分布载荷,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,解：取
7、 AB 梁为研究对象,解上述方程，得,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,例题4-4,求：三杆对三角平板ABC的约束反力。,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,解得:,解：取三角形板ABC为研究对象,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,例4-5 试求图示两外伸梁的约束力FRA、FRB，其中FP = 10 kN，FP1 = 20 kN，q = 20 kN/m，d = 0.8 m。,解：,1. 选择研究对象,以解除约束后的ABC梁为研究对象,2. 根据约束性质分析约束力,A处为固定铰链，约束力为铅垂方向与水平方向的分力FAy和FAx ；B处为辊轴支座，为铅垂方向的约束
8、力，指向是未知的，可以假设为向上的FB 。,3. 应用平衡方程确定未知力,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,FB = 21 kN（）,FA y= 15 kN（）,计算结果的校核,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,例4-6 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力F=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的约束力。,解：以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,例4-6 外伸梁ABC上作用有均布载荷q=10 kN/m，集中力F=20 kN，力偶矩m=10 kNm，求A、B支座的约束力。,解：以梁为研究对象，
9、画受力图，列平衡方程,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,要注意的问题：,根据题意选择研究对象。,分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图。,研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束的性质表示约束反力；,正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位；,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律。,用几何法求解时，按比例尺作出闭合的力多边形，未知力的大小可按同一比例尺在图上量出；,用解析法求解时，应适当地选取坐标轴。为避免解联立方程，可选坐标轴与未知力垂直。根据计算结果的正负判定假设未知力的指向是否正确。,4.3 平面任意
10、力系和平面平行力系的平衡方程,（A、B两点的连线不得与各力平行）,二个方程只能求解二个未知量,二力矩式,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,二、平面平行力系的平衡方程,解：取梁ABCD为研究对象,解得：,已知：F = 2kN，q = 1kN/m 求： A、B支座反力。,例题 4-7,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,物体系统：由若干个物体通过适当的约束相互连接而成的系统 。,静定问题：单个物体或物体系未知量的数目正好等于它的独立的平衡方程的数目。,超静定或静不定：未知量的数目多于独立的平衡方程的数目。,三、物体系统的平衡,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,独立
11、的平衡方程数：3 未知力数：3 独立的平衡方程数=未知力数,独立的平衡方程数：3 未知力数：4 未知力数独立的平衡方程数,静定问题,超静定问题,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,独立的平衡方程数：6 未知力数：6 独立的平衡方程数=未知力数,独立的平衡方程数：6 未知力数：7 未知力数独立的平衡方程数,静定问题,超静定问题,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,求解过程中应注意以下几点,首先判断物体系统是否属于静定问题,恰当地选择研究对象,在一般情况下，首先以系统的整体为研究对象，这样则不出现未知的内力，易于解出未知量。当不能求出未知量时应立即选取单个物体或部分物体的组合为
12、研究对象，一般应先选受力简单而作用又已知力的物体为研究对象，求出部分未知量后，再研究其它物体。,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,受力分析, 首先从二力构件入手，可使受力图比较简单，有利于解题。 解除约束时，要严格地按照约束的性质，画出相应的约束力，切忌凭主观想象画力。对于一个销钉连接三个或三个以上物体时，要明确所选对象中是否包括该销钉？解除了哪些约束？然后正确画出相应的约束反力。 画受力图时，关键在于正确画出铰链约束力，除二力构件外，通常用二分力表示铰链反力。 不画研究对象的内力。 两物体间的相互作用力应该符合作用与反作用定律。,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,列平
13、衡方程，求未知量, 列出恰当的平衡方程，尽量避免在方程中出现不需要求的未知量。为此可恰当地运用力矩方程，适当选择两个未知力的交点为矩心，所选的坐标轴应与较多的未知力垂直。 判断清楚每个研究对象所受的力系及其独立方程的个数及物体系独立平衡方程的总数，避免列出不独立的平衡方程。 解题时应从未知力最少的方程入手，避免联立解。 校核。求出全部所需的未知量后，可再列一个不重复的平衡方程，将计算结果代入，若满足方程，则计算无误。,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,例4-9 图中ADDB2 m，CDDE1.5 m，Q120 kN，不计杆和滑轮的重量。试求支座A和B的约束力和BC杆的内力。,解：解
14、除约束，画整体受力图,列平衡方程,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,可用 ，验算FAy如下：,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,为求BC杆内力F，取CDE杆连滑轮为研究对象，画受力图。列方程：,F = 150 kN，说明BC杆受压力。,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,求BC杆的内力，也可以取ADB杆为研究对象，画受力图。,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,例4-10某厂房用三铰刚架，由于地形限制，铰A及B位于不同高度，。刚架上的载荷已简化为两个集中力F1及F2。试求C处的约束力。,分别取AC及BC两部分为研究对象，画受力图。,解：本题是静定问题
15、，但如以整个刚架作为考察对象，不论怎样选取投影轴和矩心，每一平衡方程中至少包含两个未数，而且不可能联立求解。,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,取AC为研究对象，画受力图。,取BC为研究对象，画受力图。,联立求解以上两式，可得,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,例4-11 结构上作用载荷分布如图，q13 kN/m，q20.5 kN/m，力偶矩M2 kNm，试求固定端A与支座B的约束反力和铰链C的内力。,解：先研究BC部分，画受力图。,简化成合力Fqq22。列方程如下：,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,再取AC部分画受力图，列方程：,4.3 平面任意力系和平
16、面平行力系的平衡方程,例4-12 三无重杆AC、BD、CD如图铰接，B处为光滑接触，ABCD为正方形，在CD杆距C三分之一处作用一垂直力 ，求铰链E处的反力。,解：先以整体为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,解得：,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,下面用不同的方法求解。,解1：先以DC为研究对象，受力如图。,再以BDC为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,类似地，亦可以DC和ACD为研究对象，进行求解。,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,解2：分别以ACD和AC为研究对象，受力如图。,联立求解以上两方程即得同样结果。,类似地，亦可以BDC和BD为研究对象，进行求解。,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,解3：分别以BD和AC为研究对象，受力如图。,用 、 表示的约束反力和用 、 表示的约束反力本质上是同一个力。,4.3 平面任意力系和平面平行力系的平衡方程,思考：图示结构，在水平杆AB上作用一铅垂向下的力 ，试证明AC杆所受的力与 的作用位置无关。,4.3 平面任意力系和平面平行
