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1、第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波,1。一平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为S，接于 一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即 。 试求：,(1) 电容器中的位移电流密度的大小； (2) 设 为由圆板中心到该点的距离，两板之间的磁感应强度分 布,解 （1）由题意可知， ，对于平行板电容器电位 移矢量的大小为,所以，位移电流密度的大小为,(2) 由于电容器内无传导电流，故 。又由于位移电流具 有轴对称性，故可用安培环路求解磁感应强度。设 为由圆板 中心到场点的距离，并以 为半径做圆周路径L。根据全电流 安培环路定理可知,通过 所围面积的位移电流为,所以,最后可得,注释：由于平行板电容器极板上
2、的电荷 随时间作周期性变化， 可知电容器极板间的电场也是时间的函数，则由随时间变化的 电位移通量可求出位移电流 。由于全电流具有轴对称性，可 用全电流安培环路定理求出磁场强度H，最后求得磁感应强度B。 从结果中看到，B B(r,t)，表明在平行板电容器中的磁场是非 均匀磁场。,2。充电，试求：如图（a）所示，用二面积为 的大圆盘组成一 间距为d的平行板电容器，用两根长导线垂直地接在二圆盘的中 心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流,(1) 此电容器中的位移电流密度； (2) 如图（b）所示，电容器中 点的磁感应强度；,(3) 证明在此电容器中从半径为 、厚度为 的圆柱体表面流 进的电磁能与圆柱
3、体内增加的电磁能相等。,解 (1) 由全电流概念可知，全电流是连续的。电容器中位移电 流密度 的方向应如图（c）所示，其大小为,通过电源给电容器充电时，使电容器极板上电荷随时间变化，从 而使极板间电场发生变化。因此，也可以这样来求 :,因为,由于 ，因此,所以,(2) 由于传导电流和位移电流均呈轴对称，故磁场 也呈轴对 称，显然过 点的 线应为圆心在对称轴上的圆，如图（c） 所示。,根据全电流安培环路定理，将 用于此 线上，有,得,所以,(3) 在电容器中作半径为 、厚度为 的圆柱体，如图（d）所示。 由坡印廷矢量 分析可知，S垂直指向圆柱体的侧壁，这 表明电磁场的能量是从侧壁流人圆柱体内的。
4、在单位时间内流人 的能量为,因为。,所以,由于传导电流和位移电流都不随时间变化，故磁场和磁场的能量 也都不随时间变化。但电容器中的电场是随时间增强的，故电场 的能量是随时间增加的。图（d）中圆柱体内单位时间内增加的 电场的能量为,显然，单位时间内流人圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。,注释： 本题中由于电源给平行板电容器稳定充电，电容器极板上 电荷不断变化，使极板内部电场稳定变化，产生不随时间变化的 位移电流，进而在电容器内部激发磁场。由于传导电流和位移电 流的对称性分布，可用安培环路定理求解B。问题（3）中的结果 表明电磁场的能量是从电容器的侧面流入的，且单位时间内流入 电容器中的能量与
5、电容器内增加的能量相等。,3。如图所示，已知电路中直流电源的电动势为12V、电阻R = 6 ，电容器的电容 ，试求：,（1）接通电源瞬时电容器极板间的位移电流： （2） s时，电容器极板间的位移电流； (3) 位移电流可持续多长时间。（通常认为经过10倍电路时 间常数 后电流小到可忽略不计）,解 : 对 串联电路的暂态过程有,求解该方程得： ，表示极板 上的电荷量是随时间变化。,在电容器内，由上题结论得电容器中 的位移电流为,对应不同的情况，可求得,(1) 在接通电源的瞬时 ，电容器极板间的位移电流A,(2) 当 s时，,A,(3) 在 时可认为电流忽略不计，即 。所以,(s),注释: 当接通
6、电源后，电源给电容器充电，所以电容器极板上 的电荷量随时间变化，在电容器中产生位移电流。但当充电过 程结束时，电容器极板上的电荷q不再变化，电容器内部的电 场也不再变化，故此时位移电流消失。,4. 一球形电容器，其内导体半径为 ，外导体半径为 ，两极板 之间充有相对介电常数为 的介质。现在电容器上加电压，内球 与外球的电压为V= ，假设 不太大，以致电容器电场分 布与静电场情形近似相等，试求介质中的位移电流密度以及通过 半径为 的球面的位移电流。,解: 设电容器极板上带有电荷 ，由位移电流密度公式可知,由于球形电容器具有球形对称，可用电场高斯定理求出球形极板 间的电位移矢量为,(为径向单位向量
7、),球形电容器极板间的电势差为,与上式联立，消去 ，得,所以位移电流密度为,在电容器中，作半径为 的球面（ r ），通过它的位移 电流为,的流向沿径向，且随时间变化。,注释 球形电容器两极板间的电压随时间变化，所以极板间电 场 变化，产生位移电流。从结果中看出，介质中各处的位移电 流密度不同，而穿过任意球面的位移电流与球面大小无关。,5. 如图所示，电荷 以速度 向 点运动（ 到 点的距离 以 表示）。在 点处作一半径为a的圆，圆面与 垂直。试 求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处的磁感应强度 。,解 电荷在其周围要激发电场， 同时由于电荷运动，根据麦克 斯韦假设，此时随时间变化的 电场又激发
8、磁场。设 时刻穿 过圆面上的电位移通量为,为使计算简便，可以 为球心，r为半径，a为小圆半径的底面， 做一球冠，球面上各点的 的大小相等，穿过题意圆面的电位 移通量与穿过球冠的电位移通量相等。即,代入位移电流的定义式，得,取半径为a的圆为积分回路L，由麦克斯韦方程，有,由于 运动沿圆面的轴线，系统具有对称性，所以环路上各点 的H大小相等，即,得,写成矢量形式有,这正是运动电荷产生的磁场公式。,注释: 求出电位移通量，就可由位移电流定义求解 ，因此本 题的关键是求解 。取球冠求 的优点是球面上各点 的大小 相同，便于计算。而在圆面上各点D的大小是不相同的，需要 用积分来解决。由于问题具有轴对称性
9、，可用安培环路定理求 解 。,如图所示，由电容为0. 025 F的电容器和自感系数为1.015H 的线圈构成一振荡电路，若忽略线路中的电阻，充电后电容器 所带电量的幅值为2.5 C。试求：,(1) 充电时电容器两极板间电位差随时间的变化率； (2) 电路中电流随时间的变化率； (3) 电场和磁场能量分别随时间的变化率。,解： 在图示中，将开关K先后扳向位置2,1使电容器充、放电， 便可在 电路中产生电流的周期性变化。设电路中电荷随时 间的变化规律为,则电路中的充、放电流为,由于在LC电路中， ，所以 回路的振荡频率,（1）由题意可知,rads,Hz,所以,代人电容器的电容公式，有,100cos(2000 ) V,表明电容器两极板间电压随时间作用周期性变化。,（2） 已知电路中电荷变化规律，则有,（3） 电容器储存的电场能量为,(J),线圈储存的磁场能量为,(J),整个电路系统的总能量,(J),注释：变化的电场在周围空间激发变化的磁场，此变化的磁场 又会在较远的周围空间激发变化的感生电场，这样，变化的磁 场和变化的电场相互激发、交替产生，以一定的速度由近及远 地在空间传播而形成电磁波。LC电路的电磁振荡规律与力学中 的简谐振动规律相类似。电路系统的总能量包括电容器储有的 电场能和线圈L储存的磁场能。,
