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1、2020/10/15,1,第十一章 弹性力学的变分原理,问题的引入,弹性力学问题的两种基本解法,1、建立偏微分方程边界条件（直接法）,2、建立变分方程（泛函的极值条件）,优点：最终可以转化为求函数的极值问题，化为代数方程，为近似解的寻求提供方便。也是数值方法的理论基础。,两种方法具有等价性,且力学问题中的泛函多为能量,是标量,应用方便。,11 1 变分法的预备知识,数学上的变分法：求解泛函的极值方法 弹性力学中的变分法： 以能量为泛函，求能量泛函的极值方法，又称能量法。 严格地，能量法与变分法不尽相同，变分法含义更广。,关于变分法的若干基本概念：,一、函数与泛函,1、函数,函数是实数空间到实数
2、空间的映射,2、泛函,是函数空间到实数空间的映射,例：设面内有给定的两点和，如图 所示，连接这两点的任一曲线的长度为,显然长度L依赖于曲线的形状，也就是依赖于函数y(x)的形式。因此，长度就是函数y(x)的泛函。,在一般的情况下，泛函具有如下的形式,二、函数的微分 与变分,1、自变量的微分dx 2、函数的微分 3、函数的变分,注意到：,与(*)式比较，可见：,即：,结论：导数的变分等于变分的导数，或变分 记号与求导记号可以互换。,三、泛函的变分,一般情况下，泛函可写为：,1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 的增量可以写成,上式中,右边的前两项是 f 的增量的主部，定义为 f 的一阶变分，表
3、示为,2、再考察,定义: 泛函I 的变分,结论：变分运算和积分运算可以交换次序,与上式比较，可得：,四、泛函的驻值与极值,1、函数的驻值和极值,如果函数y(x)在xx0的邻近任一点上的值都不大于或都不小于y(x0)，即 y(x)y(x0)或,则称函数y(x)在xx处达到极大值或极小值。极值的必要条件为,极值必是驻值，但驻值不一定是极值。,取极值的必要条件为 ，其充分条件由二阶导数来判定,2、泛函的驻值和极值,其中：,五、欧拉方程与自然边界条件,因为取驻值，所以,为欧拉方程，可见上述泛函的驻值问题等同于欧拉微分方程边值问题的解。,如果问题是：,自变函数事先满足的边界条件称为本质边界条件。,11
4、2 应变能与余应变能,1.应变能: 物体因变形储存的能量。,功和能的关系：,可逆过程,外力做功,动能、应变能,不可逆过程,热能、声能,在弹性力学中，仅研究可逆过程。对于静力学问题，认为外荷载对弹性体所做的功全部转化为弹性体的应变能，并贮存于弹性体内。若卸去外荷载，弹性体将释放出全部的应变能，并恢复其未受载时的初始状态。,分析：从A状态到B状态,外荷载做功的增量： 弹性体 应 变能增 量:,对于弹性静力学问题，根据热力学第一定律：,微元体在某一应变状态获得的应变能增量为,其中， 为弹性体变形过程中的位移增量。 利用高斯公式得：,考虑到应力张量的对称性，有,定义：单位体积弹性体的应变能(或称应变能
5、密度)为,与前式,有：,得,比较,比较:,此式称为格林(Green)公式，它适用于一般材料，不局限于线弹性材料。,由于弹性体的应变能由其变形状态唯一确定，它是状态函数，与变形过程无关，故有,在状态 的应变能密度为,、 为 0 、 的某个中间状态。,弹性体应变能是状态函数，故上式积分与路径无关。 对于线性问题，可假设在变形过程中应力、应变分量等比例增长。,2. 余应变能、余应变能密度,对于单向拉伸问题,应变能密度为,引入另一标量函数：,即余应变能密度。,余应变能,一般地，应变能密度和余应变能密度满足关系,对于线弹性体,11 3 广义虚功原理,1、真实位移、真实应力和真实应变,即几何连续条件,即平
6、衡条件,它们构成弹性力学问题的解。,2、容许位移、容许应变,只对应于一个连续的位移场，但不一定对应于一个平衡的应力状态，即与 对应的应力不一定满足平衡条件；而真实位移必对应一个平衡的应力状态。 容许位移和应变不一定是真实的位移和应变。但反之，真实的位移和应变必然是容许的。,比较,3、容许应力,比较,与容许应力对应的应变与位移不一定满足协调方程和位移边界条件，不保证物体内部存在单值连续的位移场，但真实应力对应于单值连续的位移场。 容许应力不一定是真实的应力。但反之，真实的应力必然是容许的。,4、虚位移、虚应变,弹性体平衡位置附近，几何约束条件容许的微小位移，记为,5、虚应力,弹性体平衡位置附衡条
7、件所容许的微小应力状态.,但在位移边界上引起一个容许的面力,6、广义虚功原理,外力在容许位移上所做的功等于容许应力在与该容许位移相应的容许应变上所做的功。简述为，外力虚功等于内力虚功。,证明：,移项后,说明：,1、证明中，涉及到平衡、几何方程，并未涉及到物理方程。故在小变形及连续性条件下，适用于任何材料。,2、容许应力与容许位移、容许应变可以是同一弹性体中不同的受力状态和变形状态，彼此独立。,3、（a）平衡条件、（b）几何条件、（c）广义虚功方程三者间得关系由其中任两个条件可得第三个。,由（b）、（c) (a),表述为：若有一组内外力，对于任意容许位移和相应的容许应变，使广义虚功原理成立，则这
8、组内外力是平衡的。,证明：,因为广义虚功原理,由（a）、（c) (b),表述为：若有一组位移和应变，对于任意容许应力，使广义虚功原理成立，则这组位移和应变是可能的。,关系：,平衡条件,几何条件,平衡条件,几何条件,广义虚功原理,7、虚位移原理,由广义虚功原理：,并取,虚位移原理,外力虚功=内力虚功,即为：,或称：,虚位移原理 平衡方程应力边界条件,8、虚应力原理,由广义虚功原理：,由广义虚功原理：,外余虚功=内余虚功,表 明,在已知位移的边界上，虚面力在真实位移上作的功，等于整个弹性体的虚应力在真实应变上作的功。即虚应力原理。,虚应力原理 几何方程位移边界条件,9、功的互等定理,广义虚功方程应
9、用于同一弹性体两种不同受力和变形状态下的解答。,若取第一种应力，第二种位移和应变，则：,若取第二种应力，第一种位移和应变，则：,故有：,注意：,(1) 功的互等定理仅适用于线弹性体 (2) 可进一步得到位移互等、反力互等定理。,114 最小势能原理、位移变分方程,虚位移原理,称为位移变分方程，也称lagrange变分方程。,表示：弹性体应变能的变分等于外力的虚功。,另：,外力大小和方向在 过程中不变。,因为 微小,对于线弹性体：,由此可见，在满足几何条件的所有可能的位移中，实际存在的位移使总势能变分为零，即：使总势能取驻值。 进一步可以证明，对于稳定平衡状态， ，这个驻值为极小值。又解具有唯一
10、性，由此可以导出：,最小势能原理：在所有变形可能的位移中，实际存在的位移使总势能取最小值。它等价于平衡方程和应力边界条件。证明如下：,必要性也成立。,所以变分问题 的欧拉方程为 ，自然边界条件为应力边界 条件。,证明是极小值,对于线弹性体，其总势能为,又：,对于稳定平衡，应力存在变分,由：,而：,得：,所以,115 最小余能原理、应力变分方程,1、在第二节已经证明了,同样，可以证明,2、由虚应力原理,即应力变分方程,3、,由于 是边界u上给定的已知函数，,所以右端项中变分可以移到积分号前面，并记,由此可见，在所有静力可能的应力中，实际存在的应力使弹性体的总余能取驻值，进一步可以证明，对于稳定平
11、衡状态，这个驻值为极小值。又解具有唯一性，由此可以导出最小余能原理：在所有静力可能的应力中，实际存在的应力使弹性体的总余能取最小值。,得到:,弹性体总余能,证明：,最小余能原理等价于几何方程和位移边界条件。,反之，必要性也成立,变分问题 的欧拉方程为几何方程，自然边界条件为位移边界条件。,118 基于最小势能原理的近似计算,基于最小势能原理，如果能够列出所有变形可能的位移，其中使总势能取最小值的那个位移，就是真实的位移。 问题在于：我们不可能列出所有变形可能的位移，一般只能选其中的一组，故解具有近似性。 但：如果事先给出的变形可能位移中含有真解的形式，则一定可以求出真解。,1. Ritz 法,
12、不失一般性,设可能位移为,上式所示的位移总能满足位移边界条件,求位移的问题 求系数m,m,m,其中,含有应变能和位移的变分,如何实现?,代入,有:,m，,关于m,m,m的3m个线性代数方程组,2.伽辽金法,由:,得到:,如果选择的位移不仅满足位移边界条件，而且还满足应力边界条件，则上式成为,关于m,m,m的3m个线性代数方程组,得到:,例1.求简支梁的挠曲线,满足端点基本边界条件:,分析:关键是求J 的表达式,设:,w()， w(l）,由最小势能原理，得到:,代入:,所以有:,例2.平面矩形薄板受均布压力作用,1) 写出位移边界条件,2) 设满足位移边界条件的位移函数,具体可先取一项,3) 计算,得到:,求出:,根据:,119 基于最小余能原理的近似计算,1) 设定容许应力,2) 根据最小余能原理,得到:,3) 讨论:,m，,当位移边界上的位移全为零，或全部边界为应力边界条件，有：,m，,
