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1、第五章 线性系统的频域分析法,5.1 频率特性 5.2 典型环节和开环系统频率特性 5.3 频率域稳定判据 5.4 稳定裕度 5.5 闭环系统的频域性能指标,自动控制原理课程的任务与体系结构,频域分析是在正弦输入信号作用下，考察系统稳态输出与输入量之间的振幅比和相位差的变化规律，其基本思想是把控制系统中的各个变量看成一些由不同频率正弦信号组合而成的信号，系统响应为对不同频率信号的响应的总和。, 控制系统及其元部件的频率特性可运用分析法和实验方法获得，并可用多种形式的曲线表示，故系统分析和控制器设计可应用图解法进行，在工程上获得了广泛应用。 频率特性物理意义明确。对于一阶和二阶系统，频域性能指标
2、和时域性能指标有确定的对应关系；对于高阶系统，可建立近似的对应关系。 控制系统的频域设计可兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。 频域分析法不仅适用于线性定常系统，还可推广应用于某些非线性控制系统。,特点,例：RC 电路如图所示，ui(t)=Asinwt, 求uo(t)=?,建模, 5.1 频率特性,5.1.1 频率特性的基本概念,解：,暂态分量,稳态分量,系统对正弦输入信号的稳态响应称频率响应。,A() 称幅频特性，()称相频特性。 二者统称为频率特性。,幅频特性,相频特性,一个稳定的线性定常系统，输入正弦信号时，输出稳定后也是同频正弦信号，并且输出信号的振幅和相位均为输入信号频率的函数。,0
3、,t,用R(j)和C(j)分别表示输入信号A sint和输出信号cs(t)=A A()sin(t+)， 则输出稳态分量与输入正弦信号的复数比称为该系统的频率特性函数， 简称频率特性， 记作,幅频特性,相频特性,实频特性,虚频特性,频率特性、传递函数、微分方程的关系,频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 例：,5.1.2 频率特性的图示方法,频率特性的图形表示是描述系统的输入频率从0到变化时频率响应的幅值、 相位与频率之间关系的一组曲线。,常用频率特性曲线及其坐标系,对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和
4、一个相频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线，又称Nyquist图。,1. 幅相频率特性曲线,例：RC电路的幅相频率特性。,G(j)=R()+jI() 代数式 =|G(j)|G(j) 极坐标式 =A()ej() 指数式,G(j)=arctanT,又称为伯德曲线（伯德图），由对数幅频曲线和对数相频曲线组成，是工程中广泛应用的一组曲线。 对数幅频曲线的横坐标采用对数分度（=lg），单位为弧度/秒（rad/s），纵坐标按 线性分度，单位是分贝（dB）；对数相频曲线的纵坐标按() 线性分
5、度，单位是度（）。由此构成的坐标系称为半对数坐标系。,2. 对数频率特性曲线（Bode图）,和lg的关系表, =0在对数分度的坐标系中的负无穷远处， =0不可能在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定。 从表中可以看出，的数值每变化10倍， 在对数坐标上lg相应变化一个单位。 频率变化10倍的一段对数刻度称为“十倍频程”， 用“dec”表示。, 轴为对数分度， 即采用相等的距离代表相等的频率倍增，在伯德图中横坐标按=lg均匀分度。,半对数坐标纸,对数坐标图的特点,(1) 由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低频段 频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要
6、的意义)，而将高频段相对压缩了。因此采用对数坐标既可以拓宽视野，又便于研究低频段的特性。 (2) 当系统由多个环节串联而成时，系统的频率特性为各环节频率特性的乘积，由于对数可将乘除运算变成加减运算。以上两式表明，当绘制由多个环节串联而成的系统的对数坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加减即可，从而简化了画图的过程。,(3) 在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有一定的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性曲线。 (4) 若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数频率特性，则很容易写出实验对象的频率特性表达式或
7、传递函数。,精确曲线,渐近线,转折频率,对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数，又称尼柯尔斯曲线。,3. 对数幅相曲线（Nichols）, 典型环节 比例环节：K 惯性环节：1/(Ts+1)，式中T0 一阶微分环节：(Ts+1)，式中T0 积分环节：1/s 微分环节：s, 5.2 典型环节和开环频率特性,振荡环节：1/(s/n)2+2s/n+1；式中n0，0 0，0 1,5.2.1 典型环节,频率特性 G(j)=K,比例环节,对数幅频特性和对数相频特性分别是： L()=20lg| G(j)|=20lgK 和()=0,比例环节的 对数频率特性曲线,5.2.
8、2 典型环节的频率特性,积分环节,0,j,L()=-20lg ()=-90o,0,0,0.1,10,1,20,-90,-180,两重积分,L()=20lg ()=90o,微分环节,0,j,0,0,0.1,10,1,20,90,1/T, L()-20lgT =-20(lg-lg1/T),G(s)=1/(Ts+1),惯性环节,0,j,! 低通 滤波特性,一阶微分环节 G(s)=Ts+1,1/T, L()20lgT =20(lg-lg1/T),G(s)=Ts+1,0,0,！高频放大 ！抑制噪声能力下降,振荡环节,0,0,(a),(b),延迟环节,0,j,0,0,0.1,1,10,100,系统开环幅相
9、曲线主要用于判断闭环系统的稳定性。 通常将系统开环传递函数写成各典型环节串联的形式，利用“幅值相乘、 幅角相加”的原则确定几个关键点的准确位置， 然后绘出图形的大致形状即可。 绘制步骤如下： (1) 将系统的开环频率特性函数G(j)H(j)写成指数式A(j)ej()或代数式P()+jQ()； (2) 确定极坐标图的起点=0+和终点； (3) 确定极坐标图与坐标轴的交点（若奈氏图与负实轴有 交点，则必须求出）; (4) 勾画出大致曲线。,5.2.3 开环幅相曲线的绘制(奈奎斯特Nyquist图),对于一般线性定常系统，其频率特性为,n阶系统,奈氏图的大致规律,1. 极坐标图的起点,开环含有v个积
10、分环节的系统，Nyquist曲线起自幅角为v90的无穷远处。,2. 极坐标图的终点,Nyquist曲线终点幅值为 0 ，而相角为(nm)90。,0型系统（v = 0）,只包含惯性环节的0型系统Nyquist图,设m=0,I型系统（v = 1）,只包含惯性环节的I型系统Nyquist图,设m=0,II型系统（v = 2）,只包含惯性环节的II型系统Nyquist图,设m=0,开环幅相曲线与负实轴相交时的交点,计算方法有两种,例：已知系统开环传递函数 ，试绘制 概略开环幅相曲线。,解：,Nyquist图与实轴相交时,系统的开环传递函数通常可以写成典型环节串联的形式， 即： G(s)H(s)=G1(
11、s)G2(s).Gn(s) 系统的开环频率特性为,幅频特性 = 组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。,相频特性 = 组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。,5.2.4 开环对数频率特性曲线(伯德Bode图),开环系统Bode图的绘制方法,(1) 将开环传递函数表示为典型环节的串联；,(2) 确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率轴上。 转折频率1/Ti， 若T1T2T3., 则有123.。,(3) 计算20lgK，在1 rad/s处找到纵坐标等于20lgK 的点，过该点作斜率等于 -20v dB/dec的直线，向左延长此线，得到最低频段的渐近线。,(4) 向右延长最低频段渐近线
12、，每遇到一个转折频率改变一次渐近线斜率:,惯性环节，- 20dB/dec 振荡环节， - 40dB/dec 一阶微分环节，+20dB/dec 二阶微分环节，+40dB/dec,最低频段的对数幅频特性可近似为L()=20lgK-20vlg ,当1 rad/s时，L()=20lgK；,(5) 渐近线的最后一段(高频段)的斜率为20(n-m) dB/dec； 其中n为极点数，m为零点数。,(6) 作出用分段直线表示的渐近线后，如果需要，可按 照各典型环节的误差曲线对相应段的渐近线进行修正，即可得到精确的对数幅频特性曲线。 (7) 绘制相频特性曲线，逐个作出各典型环节的对数相频特性曲线并进行叠加就可以
13、得到系统开环对数相频特性曲线。 当然， 也可以直接计算()。 通常采取求出几个特定值的办法， 如(0), (1), (10), ()等， 从而得到相频特性曲线的概图。,例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线，设开环传递函数为,转折频率：0.5 2 30 低频段：V=1，在1 处 20lgK=20lg40=32 , 20 dB/dec，,解：,典型环节传递函数表示的标准形式,其对应的频率特性表达式为,0.1,0.5,1,2,10,30,100,0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),-20,-40,-20,-40,-20,例：已知单位反馈系统的开环传递函数,试绘制开环对数频率特性曲
14、线。,解：典型环节传递函数表示的标准形式,其对应的频率特性表达式为,(1) 转折频率为：,(2) 在 时：,(3) 过 的点，画一条斜率为-20dB/dec的斜线，以此作为低频渐近线。,(4) 因第一个转折频率11，故低频渐近线画至1 1为止， 经过11后曲线的斜率应为-40dB/dec； 当曲线延伸至第二个转折频率2 2时，斜率又恢复 为-20dB/dec ； 直至3 20时，曲线斜率再增加-20dB/dec，变为 -40dB/dec的斜线。至此已绘出系统的开环对数幅频特性 渐近线。,直接绘制系统开环对数幅频特性的步骤,(5) 系统开环对数相频特性表达式为,逐点计算结果 系统开环相频特性数据
15、,20dB/dec,40dB/dec,20dB/dec,20,40dB/dec,例：,相频特性曲线,例：已知系统开环传递函数为,试绘出开环对数渐近幅频曲线。,解：,5.2.5 最小相位系统、非最小相位系统,根据零、极点在s平面上分布情况的不同，函数G(s)可分为最小相位系统、非最小相位系统。 最小相位（相角）系统：指系统的开环传递函数中没有右极点、右零点的系统。 非最小相位（相角）系统：指系统的开环传递函数中有右极点或右零点的系统或者系统带有延迟环节。,最小相位系统特点,在具有相同幅值特性的系统中，最小相位系统的相角范围在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围都大于最小相位传递函数的相角范围。 对于最小相位系统，其幅频特性和相频特性一一对应，某频率段的相角主要由该频率段的幅频特性斜率所决定，也受相邻频段的影响。,20dB/dec 900 40dB/dec 1800 60dB/dec 2700,设系统（或环节）的传递函数分母多项式阶次位n，分子多项式的阶次为m（nm），系统串有 v 个积分环节，则对于最小相位系统，当时，对数幅频特性渐近线的斜率为20(n-m)dB/dec，相频特性的相位趋于90(n-m) ；而当0时相角等于v*90，根据上述特征可以判断系统是否为最小相位系统。,对于最小相位系统，对数幅频特性与相频特性之间存在唯一确定的关系，即根据系统的对数幅频特
