图像处理锐化平滑课件

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1、第六讲 图像的空间域邻域运算,图像的各种域运算简介 图像的线性操作及卷积 图像的平滑 图像的锐化及边缘检测,图像的各种域运算简介,1. 空间域运算 将图像看作是二维空间离散分布的点阵，对每一像素点及其邻域像素的灰度值进行运算操作，以达到某种特定的目的，如突出或提取图像中感兴趣的特征；改善视觉效果；提高图像质量等。,频率域运算 将图像作傅立叶变换，得到其频域信息。进而 在频域中对其频域信息进行运算操作，如低通滤波；带通滤波；高通滤波等，以提取出图像中感兴趣的频率分量。最后，进行傅立叶反变换，可得到已提取出频率分量的空间表示。,空间-频率域相结合的运算 指小波分析方法，针对传统变换方法（如傅立叶变

2、换）的局限性，通过构造空间-频率域皆具有局域特性的小波函数，可对图像进行多尺度、空间-频率域相结合的分析。,其它变换 类似傅立叶变换的其它离散线性变换，如离散余弦变换、离散正弦变换、方波型变换等等。,图像的线性操作及卷积,线性操作：主要是指图像处理操作中，输出图像的像素值是输出图像的多像素的线性组合。 可将线性操作看作是： 输入线性系统输出 的一个操作过程。 下面分析线性系统应具有的特性。,线性系统也称线性移不变系统，具有以下性质： 1. 线性： 定义 为一个系统，即一种运算。 设输入信号 经系统 输出信号 即 令,若 则 为线性系统。 线性系统的一般性表示为： 即叠加求和。,2. 移不变性(

3、shift invariance)： 定义：对于线性系统，有： 若 则系统具有移不变性。 对于移不变系统，平移输入信号仅使输出信号移动同样长度。 空间移不变性是时间移不变性的二维推广。,卷积,可以用叠加积分的表达式来描述线性系统的输入和输出之间的关系： 我们加入移不变约束条件，可得：,进行变量代换，令 ，则： 比较上式和叠加积分式，可知： 意味着当两变量增加同样的量时， 的值不变，即只要 与 的差不变， 的值也不变。,这样，我们可以定义一个 与 之差的函数： 从而叠加积分式变为： 这就是著名的卷积积分表达式。 卷积满足线性移不变的条件。,一维卷积,记卷积积分为： 其中 表示两个函数的卷积。 卷

4、积的运算过程如下所示：,0,0,0,0,0,0,输入函数,卷积函数,卷积函数折反,卷积函数折反并平移,函数叠显,卷积结果,t,t,卷积的几个重要性质： 1. 交换律： 证明：对 进行变量替换 得到,2. 分配律： 证明：,结合律： 求导性质：,离散一维卷积： 对于两个长度分别为m和n的序列 和 ，它们的卷积为： 卷积结果为一个长度为N=m+n+1的输出序列。 离散卷积和连续卷积几乎具有所有对应的性质。,二维卷积,二维卷积的表达式为： 计算过程： 绕其原点旋转180度，得到 ；然后平移至点(x,y) ，得到 ；两个函数逐点相乘， 再将积函数作二维积分，得到卷积结果。,离散二维卷积： 对于一幅数字

5、图像F和一个二维卷积模板G，它们的二维卷积为： 由于F和G仅在有限范围内非零，因此求和计算只需在非零部分重叠的区域上进行。,二维离散卷积的计算过程为：,(0,0),(0,0),图像,卷积模板,旋转180度,移动方向,x,y,重合部分点点相乘再求和,一个长宽均尺寸为M的图像与一个长宽尺寸均为N的卷积模板的二维离散卷积结果的尺寸为 图像的边缘处的像素由于缺乏完整的邻接像素集，因此卷积运算在这些区域需作特殊处理，处理方法有： 1. 重复边缘上的行和列； 2. 对图像进行周期延拓； 3. 在图像外部填充常数（如0）； 4. 去掉不能计算的行和列。,图像的平滑,图像平滑是指采用使图像“柔和”的技术对图像

6、中噪声加以滤除的方法。 手段：使用像素邻域的加权或非加权平均值代替原像素灰度值。,设 为加性白噪声，即其分布的均值为0，方差为 。 则原图像f(m,n)被噪声污染后为： 对上述图像求邻域平均得： 其中S为一个包含g(m,n)有M个像素的邻域。,则 求邻域平均后，图像中噪声的方差为 即噪声的方差为原来的1/M。 而 表示原图像被平滑(钝化)。,对图像空间域的平滑降低了图像中的噪声（不可能完全消除），但是以原图像变模糊为代价。,噪声信号,卷积模板,卷积结果,边缘信号,卷积模板,卷积结果,平滑算法原理示意,噪声信号的平滑,卷积模板,卷积结果,平滑算法原理示意,边缘信号的平滑,卷积模板,卷积结果,常用

7、平滑算子： 非加权平滑； 加权平均，中央贡献稍大 中央权重最大，最近邻域 次之,非加权平滑算子,将原图中的每一点的灰度和它周围八个点的灰度相加，然后除以9，作为新图中对应点的灰度,平滑算法实例,原图,非加权平滑后效果,高斯数值模板的平滑： 中央权重最大,最近邻域次之。,高斯数值模板平滑效果图：,高斯平滑算子 二维高斯函数的表达式为： 高斯函数是单值函数。这表明高斯滤波器用像素邻域的加权均值来替代该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的。,高斯滤波器的宽度决定着平滑的程度，而这宽度是由参数 表征的。所以 和平滑程度的关系比较简单。 越大，高斯滤波器的作用范围就越宽，平滑

8、程度就越好。 所以，通过调节平滑程度参数 ，可在图像特征过分模糊（过平滑）与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的突变量（欠平滑）之间取得折衷。,高斯函数的可分离性： 由于高斯函数的可分离性，使实际应用中较大尺度的高斯滤波具有可行性。二维高斯函数卷积可以分为两步来进行。首先将图像与一维高斯函数进行水平方向卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积。因此，二维高斯滤波的计算量随滤波器的宽度呈线性增长而不是平方增长。,原图,窗口参数数为17,参数为17时的高斯函数平滑效果,参数为11,参数为11时的高斯函数平滑,参数为5,参数为5的高斯函数平滑效果图,空间域保持图像细节的平滑,上面已述

9、的平滑方法一般称为邻域平均法，或称为均值滤波。 其问题：在滤掉噪声的同时，使图像的边缘及细节等有用信号被模糊。 所以，使用时应慎重。,为克服均值滤波方法所带来的负面效应，探索在空间域可直接实现可保持边缘及细节的平滑方法，一直在进行之中。 以下介绍几种常用方法： 1. 取阈值的邻域平均法 2. 邻域加权平均法 3. 中值滤波,1. 取阈值的邻域平均法 设输入图像为 ，则： 表示为以 为中心的含M个像素的邻域的平均灰度值。 其中s表示以(i,j)为中心的邻域 。,取阈值的邻域平均法表示为： 若 其它 其中T为预先给定的阈值，应通过试验确定。 即某一点像素的灰度值是否用邻域灰度平均值来替代，要看其灰

10、度值与其邻域灰度平均值之差是否大于给定阈值，也即确定做不做均值滤波。,关键问题： 1. 邻域取多大？ 越大平滑效果越好。 2. 阈值T定多大？ T愈大，图像的模糊程度愈小。则平滑效果不好。,一维例子,4,1,1,1,1,T=1.5,1,1,2,1,1,噪声信号,T=1.5,1,1,1,1,4,4,4,4,4,4,边缘信号,二维例子,噪声信号,T=3.5,T=3.5,边缘信号,加入噪声的原图,参数为7时的取阈值的邻域平均法,参数为15时的取阈值的邻域平均法效果图,参数为34的取阈值的邻域平均法,2. 邻域加权平均法 也称非等值加权平均法。 特点：每一点都做，但每一点的平滑模板可能都不同，具有自适

11、应特性，具有空间移变特性。 定义：对各个像素做平滑卷积的模板的权值不是预先给出的，而是根据被处理像素的邻域像素与之灰度相近程度而定。若接近，则赋予较大权值；若与之灰度相差较远（超过一给定阈值），则权值较小。,邻域加权平均法可表示为： 设(m,n)表示以点(x,y)为中心的邻域点，则： 当 其它 其中T为一给定阈值，判定邻域像素点与中心像素点是否相近。,一维例子：,T=2,T=2,2,2,1,2,1,1,2,2,1,2,2,2,2,1,1,卷积,卷积,1,7/5,7/5,1,2,1,7/5,3,3,13/5,噪声信号,边缘信号,二维例子,T=5,噪声信号,卷积,边缘信号,T=5,卷积,参数为3时

12、的邻域加权平均法效果图,以上两种空间域平滑方法（取阈值的邻域平均法、邻域加权平均法）所使用的卷积算子为空间移变算子，它们是所谓的启发式 ( heuristic ) 的自适应滤波方法，或称为上下文有关的处理方法 ( context sensitive )。 它们对轻噪声（即尺度较小的噪声）的滤除有一定的效果，但对重噪声（即尺度较大的噪声）的滤除至今仍为一难题。而建立有效的3乘3模板至今仍为研究热门。,3. 中值滤波( Median filtering ) 以上平滑算法均属于线性滤波方法（无论其空间移变否）。以下介绍一种常用的非线性的空间域图像处理方法中值滤波。 所谓中值滤波，是指设定一个 n 乘

13、 n 的奇数窗口，当窗口在空间域中按逐个像素滑动平移过程中，将窗口内的像素灰度值按大小顺序排列，以中间的一个值（中值）替代窗口中心的像素灰度值。,例子： 如取窗口为 3 乘 3 ，某像素的邻域为： 将邻域内所有像素灰度 按大小排列，可得： 72、70、39、37、31、30、 25、24 对整个图像进行同样的处 理就完成了中值滤波。,常用的窗口形状： 1. 矩形： 2. X形： 3. +形：,例子：窗口宽度 3,噪声信号,边缘信号,排序,1,1,1,1,3,滤波,1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,实际例子分析：,输入信号,中值滤波结果,原图,中值滤波（X形）平滑效果,中值滤波（方形）平滑

14、效果,中值滤波（+形）平滑效果,中值滤波的突出特点： 可显著抑制尖脉冲噪声，又不使图像的边缘和细节发生显著退化。 主要应用： 1. 滤除椒盐噪声( salt & pepper ) 2. 滤除细线条 3. 滤除各种脉冲噪声：即各种大的短暂的正负干扰。 与邻域平均滤波比较，保持边缘的效果更好。,窗口的选择： 1. 大小：必须是噪声宽度的两倍以上，否则无法滤除噪声。 滤波效果：3 乘 3 不好； 5 乘 5 好。,2. 形状选择：滤除细线条时必须考虑其走向，以确定中值滤波的模板。 a. 斜线条 应用“+”形模板 b. 直线条 应用“X”形模板,被斜线条破坏原图,中值滤波X形平滑,中值滤波方形平滑,中值滤波+形平滑,+形中值滤波比其他能更好的滤除斜线条,被直线条破坏后,中值滤波+形平滑,中值滤波方形平滑,图像锐化（sharping）,目的：突出图像中的突变成分（边缘和细节）。 基础：对图像的微分处理。,已知图像平滑是一种卷积和（积分）的处理，它产生的副作用是模糊了原图像（即使原图像的突变部分被削弱）。 因而可首先想到要使图像得到锐化，则采取平滑处理（积分）的逆运算微分，将可获得预想的效果。 锐化即加强图像的突变成分，采用轮廓补偿等方法使图像更清晰。,一阶微分： 对二维函数f(x,y)的一阶微分表示为： 由于数字图像是离散的二维信号，所