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1、第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理,【知识提炼】 1.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的_的比相等. 即： = = =2R.(R为ABC外接圆的半径),正弦,2.三角形中的元素与解三角形 (1)三角形的元素：指的是三角形的_. (2)解三角形：已知三角形的_求_的 过程.,三个角及其对边,几个元素,其他元素,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)在ABC中，若已知三个角A，B，C，可以解其他元素吗？ 提示：不可以，在ABC中，必须有“边”的元素加入，否则无法确定三角形的大小.,(2)用正弦定理解三角形时需要哪些已知条件？ 提示：需要三个，任意两角及其一边或任意
2、两边与其中一边的对角.,2.在ABC中，a=15，b=10，A=60，则sinB=() 【解析】选A.由正弦定理 ，知sinB=,3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A=105，B=45，b=2 ，则c=() 【解析】选D.因为A+B+C=180，所以C=30，由正 弦定理 ，故,4.在ABC中，若B=30，b=2，则 =_. 【解析】 答案：4,5.在ABC中，若 a=2bsinA，则B=_. 【解析】由正弦定理得 sinA=2sinBsinA，因为sinA0，所以sinB= . 又0B180，所以B=60或120. 答案：60或120,【知识探究】 知识点 正弦定理 观
3、察图形，回答下列问题：,问题1：观察图形，求出ABC的其他边和角分别为多少？ 问题2：计算 的值，三者有何关系？对于任意的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形是否也有类似的结论？ 问题3：正弦定理常见的变形公式有哪些？,【总结提升】 1.对正弦定理的四点说明 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式.,(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能：实现三角形中边角关系的转化.,2.正弦定理的变形公式 (1)a=2RsinA，b=2Rs
4、inB，c=2RsinC. (2)sinA= ，sinB= ，sinC= (其中R是ABC外接圆的半径).,【题型探究】 类型一 已知两角及一边解三角形 【典例】1.(2015安徽高考)在ABC中，AB= ，A=75，B=45，则AC=_. 2.在ABC中，A=60，sinB= ，a=3，求三角形中其他边与角的大小.,【解题探究】1.典例1中由A=75，B=45怎样求C，已知AB= ，如何求AC. 提示：利用C=180-B-A求C，由正弦定理 求AC的值.,2.典例2中由sinB= 能解出B的大小吗？能用正弦定理求出边b吗？怎样求其他边与角的大小？ 提示：由sinB= ，知B=30或150，再
5、由三角形内角和定理知B=150不合适，舍去，得B=30.可利用正弦定理求其他边与角的大小.,【解析】1.因为A=75，B=45，所以C=180-75- 45=60.因为AB= ，由正弦定理得， ， AC= =2. 答案：2,2.因为sinB= ，所以B=30或150， 当B=30时，由A=60得，C=90； 当B=150时，不合题意，舍去. 所以由正弦定理可得： 故b= c=,【方法技巧】解决已知两角及一边类型的解题方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边. (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三
6、个角，再由正弦定理求另外两边.,【变式训练】在ABC中，已知A=60，B=45，c=2，求C，a，b. 【解析】在ABC中，C=180-(A+B)=180-(60+45)=75. sin75=sin(45+30)=sin45cos30+ cos45sin30=,根据正弦定理，得,【补偿训练】1.已知ABC中，a=20，A=30，C=45，则角B的对边长等于_. 【解析】因为A=30，C=45，所以B=180-(A+C) =105， 由正弦定理得 =10( ). 答案：10( ),2.在ABC中，已知a=8，B=60，C=75，解此三角形. 【解析】A=180-(B+C)=180-(60+75)
7、=45. 由正弦定理 ，得 由 ，得,类型二 已知两边及一边的对角解三角形 【典例】1.在ABC中，若a=3，b= ，A= ，则C=_. 2.在ABC中，已知a=2，c= ，C= ，求A，B，b.,【解题探究】1.典例1中由已知边a，b及边a的对角A，能否用正弦定理求得B呢？求出B值后，怎样求C呢？ 提示：由正弦定理得sinB= 求B，求出B值后，利用三角形内角和定理求C.,2.典例2中如何求A？求出A后如何求B及b的值？ 提示：由ca可得A为锐角，由正弦定理求出sinA，从而求出角A，再由内角和定理求出角B，由正弦定理求得b.,【解析】1.在ABC中，由正弦定理得sinB= 因为ab，所以A
8、B，所以B= 所以C= 答案：,2.因为 ，所以sinA= 因为ca，所以CA.所以A= . 所以,【延伸探究】 1.(变换条件)若把典例2中C= 改为A= ，其他条件不变，求C，B，b.,【解析】因为 所以本题有两解. 因为 ，所以sinC= 所以C= 或 . 当C= 时，B= ，b= 当C= 时，B= ，b=,2.(变换条件)若把典例2中a=2改为B= ，求A，a，b的值. 【解析】由三角形内角和定理知A= 又由正弦定理 ，得 又由 ，得,【方法技巧】 1.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三
9、角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.,(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.,2.已知两边及其中一边对角判断三角形解的个数的方法 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数. (2)在ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：,【拓展延伸】图示已知a，b，A，ABC解的情况. (1)A为钝角或直角时解的情况如下：,(2)A为锐角时，解的情况如下：,【补偿训练】 1.在A
10、BC中，已知b=30，c=15，C=26，则此三角形的解的情况是() A.一个解B.两个解 C.无解D.无法确定 【解析】选B.因为bsinC=30sin2630sin30 =15=c，所以bsinCcb，故此三角形有两解.,2.在ABC中，已知a= ，b=1，A=45，解此三角形. 【解析】由正弦定理 ，得 因为ab，所以AB，B为锐角，B=30. C=180-(A+B)=105. 由正弦定理 ,得,类型三 判断三角形形状 【典例】1.已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，则ABC一定是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角
11、形或直角三角形,2.在ABC中，若sinA=2sinBcosC，且sin2A=sin2B+ sin2C，试判断ABC的形状.,【解题探究】1.在典例1的ABC中，由acosA=bcosB能得出什么结论？ 提示：结合正弦定理，由acosA=bcosB得出sinAcosA= sinBcosB.,2.在典例2的ABC中，由sin2A=sin2B+sin2C，能得出什么结论？ 提示：结合正弦定理，由sin2A=sin2B+sin2C得出a2=b2+c2.,【解析】1.选D.由正弦定理，已知条件可以变形为sinAcosA=sinBcosB，所以sin2A=sin2B，故2A=2B或2A+2B=，即A=B
12、或A+B= ，ABC为等腰三角形或直角三角形.,2.方法一：设 则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC 因为sin2A=sin2B+sin2C. 所以(ksinA)2=(ksinB)2+(ksinC)2. 所以a2=b2+c2.,所以A=90，B+C=90. 由sinA=2sinBcosC，得sin90=2sinBcos(90-B)， 所以sin2B= . 因为B是锐角，所以sinB= ，所以B=45，C=45. 所以ABC是等腰直角三角形.,方法二：同方法一，求得A=90. 因为A=-(B+C)，sinA=2sinBcosC， 所以sin(B+C)=2sinBcosC. 所以sin
13、BcosC-cosBsinC=0，即sin(B-C)=0. 所以B-C=0，即B=C. 所以ABC是等腰直角三角形.,【延伸探究】若将典例2中条件“sinA=2sinBcosC”改为“bsinB=csinC”，其他条件不变，结果如何？,【解析】由本例解法知A=90， 由bsinB=csinC可得sin2B=sin2C， 所以sinB=sinC. 由A=90知，B、C均为锐角. 所以B=C. 故ABC为等腰直角三角形.,【方法技巧】 1.判断三角形形状的两种途径 (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.,(2)利用正弦定理把已知条件
14、转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.,2.用正弦定理进行边角互化的两种方法 (1)边化角. 根据sinA= ，sinB= ，sinC= 化边为角(其中R为ABC外接圆的半径). (2)角化边. 根据a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC化角为边(其中R为ABC外接圆的半径).,【变式训练】ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为 () A.锐角三角形 B.
15、直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定,【解析】选B.依据题设条件的特点，由正弦定理， 得sinBcosC+cosBsinC=sin2A，有sin(B+C)=sin2A， 从而sin(B+C)=sinA=sin2A，解得sinA=1， 所以A= ，所以ABC为直角三角形.,【补偿训练】在ABC中，已知 ，且2sinAsinB=2sin2C，试判断其形状.,【解析】由已知 所以b2-a2=ab 又2sinAsinB=2sin2C，由正弦定理得： 2ab=2c2 由得b2=a2+c2. 所以该三角形是以B为直角的直角三角形.,易错案例 利用正弦定理解三角形 【典例】在ABC中，已知A=45，a=2，b= ，则 B=_.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是忽略了题目中的隐含条件ab，从而AB.,【自我矫正】因为 所以sinB= 因为ab，所以AB，所以B为锐角.故B=30. 答案：30,【防范措施】解三角形时的两个关注点 (1)已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角时，要分清是大边对的角还是小边对的角，从而确定解的情况. (2)有时也可借助图形加以判断，应尽量避免增根或失根问题的出现.,
