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1、新人教版九年级上册数学知识点归纳新人教版九年级上册数学知识点归纳 第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程 21.121.1 一元二次方程一元二次方程 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是 2；(3)是整式方程要判断 一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为 ax2+bx+c=0(a0)的 形式，则这个方程就为一元二次方程 （4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0 时，应满足（a0） 21.221.2 降次降次解
2、一元二次方程解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法： 用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方程，其解为 x= m. 直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果. 2、配方法 通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方 的依据是完全平方公式。 1.转化： 将此一元二次方程化为 ax2+bx+c=0 的形式(即一元二次方程的一般形式） 2.系数化 1： 将二次项系数化为 1 3.移项： 将常数项移到等号右侧 4.配方： 等号左右两边同时
3、加上一次项系数一半的平方 5.变形： 将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方： 左右同时开平方 7.求解： 整理即可得到原方程的根 3、公式法 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b2-4ac 的值，当 b2-4ac0 时，把各项系数 a, b, c 的值代入求根公式 x=(b2-4ac0)就可得到方程的根。 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次 因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一 元二次方程的方法叫做因式分解法。 21.321.3 实际问题与一元二次
4、方程实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展 从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由 于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决如果未知数出现二次，用算术方 法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长 率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等 第二十二章第二十二章 二次函数二次函数 22.122.1 二次函数及其图像二次函数及其图像 二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二
5、次的多项式函数。二次函数可以表示为 y=ax2+bx+c(a 不为 0)。其图像是一条主轴平行于 y 轴的抛物线。 一般的，自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系： 一般式y=ax2+bx+c(a0,a、b、c 为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(b2-4ac)/4a) ； 顶点式 y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k 为常数)或 y=a(x-h)+k(a0,a、h、k 为常数)，顶点坐标为（h，k）对称轴为 x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数ax的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成 顶点式； 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 仅限于与 x 轴有交点 A（
6、x1，0）和 B（x2，0）的抛物线 ； 重要概念：a，b，c 为常数，a0，且 a 决定函数的开口方向，a0 时，开口方向向上，a0 时，开口方向向 下。a 的绝对值还可以决定开口大小,a 的绝对值越大开口就越小,a 的绝对值越小开口就越大。 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x2的平方的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 不同的二次函数图像 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。 轴对称 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴（即直
7、线 x=0） 顶点 2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 P ( -b/2a ，4ac-b2)/4a ) 当-b/2a=0 时，P 在 y 轴上；当 = b2-4ac=0 时，P 在 x 轴上。 开口 3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。 当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 决定对称轴位置的因素 4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于 0，也就是- b/2a0, 所 以 b/2a 要小于 0，所以 a、b 要异号
8、 x y 可简单记忆为左同右异，即当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时 即 ab 0 ） ，对称轴在 y 轴右。 事实上，b 有其自身的几何意义：抛物线与 y 轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的 斜率 k 的值。可通过对二次函数求导得到。 决定抛物线与 y 轴交点的因素 5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。 抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数 6.抛物线与 x 轴交点个数 = b2-4ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。 = b2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。 = b2-4ac
9、0 时，抛物线与 x 轴没有交点。 当 a0 时，函数在 x= -b/2a 处取得最小值,当 a0 时，函数在 x= -b/2a 处取得最大值 当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴， 7.特殊值的形式 当 x=时 y=a+b+c 当 x=-1 时 y=a-b+c 当 x=2 时 y=4a+2b+c 当 x=-2 时 y=4a-2b+c 用函数观点看一元二次方程用函数观点看一元二次方程 1. 如果抛物线与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是 0，因此 yaxbxc 2 x0 xx 0 就是方程的一个根。 xx 0axbxc 2 0 2. 二次函数的图象与 x 轴的位置关系
10、有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次 方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。 实际问题与二次函数实际问题与二次函数 在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大 值或最小值。 第二十三章第二十三章 旋转旋转 23.123.1 图形的旋转图形的旋转 1. 图形的旋转 （1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运 动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。 （2）生活中的旋转现象大致有两大类：一类是物体的旋转运动，如时钟的时针
11、、分针、秒针的转动，风车的 转动等；另一类则是由某一基本图形通过旋转而形成的图案，如香港特别行政区区旗上的紫荆花图案。 （3）图形的旋转不改变图形的大小和形状，旋转是由旋转中心和旋转角所决定，旋转中心可以在图形上也可 以在图形外。 （4）会找对应点，对应线段和对应角。 2. 旋转的基本特征： （1）图形在旋转时，图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）图形在旋转时，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等； （3）图形在旋转时，图形的大小和形状都没有发生改变。 3. 几点说明： （1）在理解旋转特征时，首先要对照图形，找出旋转中心、旋转方向、对应点、旋转角。 （2
12、）旋转的角度是对应线段的夹角或对应顶点与旋转中心连线的夹角。 （3）旋转中心的确定分两种情况，即在图形上或在图形外，若在图形上，哪一点旋转过程中位置没有改变， 哪一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。 23.223.2 中心对称中心对称 中心对称：把一个图形绕着某一点旋转 180，假如它能够与另一个图形重合，那么这刘遇图形关于这个点对 称或中心对称。 中心对称的性质：关于中心对称的刘遇图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。 关于中心对称的刘遇图形是全等形。 中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重
13、合，那么这个图 形叫做中心对称图形。 对称点的坐标规律：关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于 y 轴对称：横坐标互为相反 数，纵坐标不变，关于原点对称：横坐标、纵坐标都互为相反数。 23.323.3 课题学习课题学习 图案设计图案设计 灵活运用平移、旋转、轴对称等变换进行图案设计 图案设计就是通过图形变换(平移、旋转、轴对称或几种的组合)把基本图形组成具有一定意义的新图形，图 案设计时不仅要看是否正确使用了图形变换，还要看图案是否很好的体现了设计意图 第二十四章第二十四章 圆圆 24.124.1 圆圆 定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 （2)平面
14、上一条线段，绕它的一端旋转 360，留下的轨迹叫圆。 圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心 （2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。 （3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。 （4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 注：圆心一般用字母 O 表示 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母 d 表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母 r 表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中： 直径是半径的 2 倍，半径是直径的二分之一.d=2r 或 r=二分之
15、d。 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母 C 表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数） ，用字母 表示。计算时，通常取它的近似值，3.14。 直径所对的圆周角是直角。90的圆周角所对的弦是直径。 圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。r2，用字母 S 表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相
16、等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 周长计算公式 1.、已知直径：C=d 2、已知半径：C=2r 3、已知周长：D=c 4、圆周长的一半:12 周长(曲线) 5、半圆的长：12 周长+直径 面积计算公式： 1、已知半径：S=r 平方 2、已知直径：S=（d2）平方 3、已知周长：S=(c2)平方 24.224.2 点、直线、圆和圆的位置关系点、直线、圆和圆的位置关系 1. 点和圆的位置关系 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径 2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3. 外接圆和外心 经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 4. 直线和圆的
