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1、1 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案答案 一、选择题一、选择题:18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分. .下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. . 1、设，当时，（ ）cos1sin( )xxx ( ) 2 x 0 x ( )x （A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小xx （C）与同阶但不等价的无穷小 （D）与是等价无穷小xx 【答案】 （C） 【考点】同阶无
2、穷小 【难易度】 【详解】，cos1sin( )xxx 2 1 cos1 2 xx ，即 2 1 sin( ) 2 xxx 1 sin( ) 2 xx 当时，0 x ( )0 xsin( )( )xx ，即与同阶但不等价的无穷小，故选（C）. 1 ( ) 2 xx( )xx 2、已知由方程确定，则（ ） ( )yf xcos()ln1xyyx 2 lim ( ) 1 n n f n （A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【答案】 （A） 【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】 【详解】当时，.0 x 1y 00 2 ( ) 1 2(2 ) 1(2 )(0) lim ( ) 1lim
3、lim2lim2(0) 1 2 nnxx f fxfxf n n ff nxx n 方程两边同时对求导，得cos()ln1xyyxx 1 sin()()10 xyyxyy y 将，代入计算，得 0 x 1y (0)(0)1yf 2 所以，选（A）. 2 lim ( ) 12 n n f n 3、设，则（ ） sin0, ) ( ) 2 ,2 x f x 0 ( )( ) x F xf t dt （A）为的跳跃间断点 （B）为的可去间断点x( )F xx( )F x （C）在处连续不可导 （D）在处可导( )F xx( )F xx 【答案】 （C） 【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度
4、】 【详解】， 2 00 2 (0)sinsinsin2Ftdttdttdt (0)2F ，在处连续.(0)(0)FF( )F xx ， 00 ( )( ) ( )lim0 x x f t dtf t dt F x 00 ( )( ) ( )lim2 x x f t dtf t dt F x ，故在处不可导.选（C）.( )( )FF ( )F xx 4、设函数，若反常积分收敛，则（ ） 1 1 1 1 (1) ( ) 1 ln xe x f x xe xx 1 ( )f x dx （A） （B） （C） （D）2 220 02 【答案】 （D） 【考点】无穷限的反常积分 【难易度】 【详解】
5、 11 ( )( )( ) e e f x dxf x dxf x dx 由收敛可知，与均收敛. 1 ( )f x dx 1 ( ) e f x dx ( ) e f x dx ，是瑕点，因为收敛，所以 1 11 1 ( ) (1) ee f x dxdx x 1x 1 1 1 (1) e dx x 1 12 1 11 ( )(ln ) ln ee e f x dxdxx xx ，要使其收敛，则0 3 所以，选 D.02 5、设，其中函数可微，则（ ）() y zf xy x f xzz y xy （A） （B） （C） （D）2()yfxy2()yfxy 2 ()f xy x 2 ()f x
6、y x 【答案】 （A） 【考点】多元函数的偏导数 【难易度】 【详解】， 2 2 ()() zyy f xyfxy xxx 1 ()() z f xyyfxy yx 2 2 1 ()() ()() xzzxyy f xyfxyf xyyfxy y xyyxxx ，故选（A）. 11 ()()()()2()f xyyfxyf xyyfxyyfxy xx 6、设是圆域位于第象限的部分，记 k D 22 ( , )1Dx y xyk ，则（ ）()(1,2,3,4) k k D Iyx dxdy k （A） （B） （C） （D） 1 0I 2 0I 3 0I 4 0I 【答案】 （B） 【考点】
7、二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】 【详解】根据对称性可知，. 13 0II （） ，（） 2 2 ()0 D Iyx dxdy 0yx 4 4 ()0 D Iyx dxdy 0yx 因此，选 B. 7、设 A、B、C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则（ ） （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 【答案】 （B） 4 【考点】等价向量组 【难易度】 【详解】将矩阵、按列分块，AC 1 (,) n
8、 A 1 ( ,) n C 由于，故ABC 111 11 1 (,)( ,) n nn nnn bb bb 即 1111111 , nnnnnnn bbbb 即 C 的列向量组可由 A 的列向量组线性表示. 由于 B 可逆，故，A 的列向量组可由 C 的列向量组线性表示，故选（B）. 1 ACB 8、矩阵与相似的充分必要条件是（ ） 11 11 a aba a 200 00 000 b （A）0,2ab （B）为任意常数0,ab （C）2,0ab （D） 为任意常数2,ab 【答案】 （B） 【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】 【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要
9、条件是有相同的特征值. 由的特征值为 2，0 可知，矩阵的特征值也是 2，0. 200 00 000 b b 11 11 a Aaba a b 因此， 22 1111 2202240 11020 aa EAababaaa aa 0a 将代入可知，矩阵的特0a 101 00 101 Ab 征值为 2，0.b 此时，两矩阵相似，与的取值无关，故选（B）.b 5 二、填空题：二、填空题：914 小题小题, ,每小题每小题 4 分分, ,共共 24 分分. .请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上. . 9、 . 1 0 ln(1) lim(2)x x x x 【答案】 1 2 e
10、【考点】两个重要极限 【难易度】 【详解】 0 1 1ln(1)1ln(1)1ln(1)1ln(1) 1(1)(1)lim(1) 000 ln(1)ln(1) lim(2)lim1 (1)lim x xxxx xxxxxxxx xxx xx ee xx 其中， 2 0000 1 1 1ln(1)ln(1)1 1 lim(1)limlimlim 22 (1)2 xxxx xxxx x xxxxxx 故原式= 1 2 e 10、设函数，则的反函数在处的导数 . 1 ( )1 x t f xe dt ( )yf x 1( ) xfy 0y 0y dx dy 【答案】 1 1 1 e 【考点】反函数的
11、求导法则；积分上限的函数及其导数 【难易度】 【详解】由题意可知，( 1)0f . 1 01 11 ( )1 11 x x yx dydxdxdx fxe dxdydydy ee 11、设封闭曲线的极坐标方程方程为，则所围平面图形的面积是 .Lcos3 () 66 r L 【答案】 12 【考点】定积分的几何应用平面图形的面积 6 【难易度】 【详解】面积 6 22 666 00 06 11 cos61sin6 ( )cos 3() 222612 Srddd 12、曲线上对应于点处的法线方程为 . 2 arctan , ln 1 xt yt 1t 【答案】ln20 4 yx 【考点】由参数方程
12、所确定的函数的导数 【难易度】 【详解】由题意可知，故 1 2 2 2 2 11 (1)2 2/ 1 1 / 1 tt dydy dt t t dxdx dt t 1 1 t dy dx 曲线对应于点处的法线斜率为.1t 1 1 1 k 当时，.1t 4 x ln2y 法线方程为，即.ln2() 4 yx ln20 4 yx 13、已知，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 32 1 xx yexe 2 2 xx yexe 2 3 x yxe 3 个解，则该方程满足条件，的解为 . 0 0 x y 0 1 x y y 【答案】 32xxx yeexe 【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程
13、【难易度】 【详解】，是对应齐次微分方程的解. 3 12 xx yyee 23 x yye 由分析知，是非齐次微分方程的特解. *2x yxe 故原方程的通解为，为任意常数. 32 12 () xxxx yC eeC exe 12 ,C C 由，可得 ，. 0 0 x y 0 1 x y 1 1C 2 0C 7 通解为. 32xxx yeexe 14、设是 3 阶非零矩阵，为 A 的行列式，为的代数余子式，若() ij AaA ij A ij a ，则 .0( ,1,2,3) ijij aAi jA 【答案】-1 【考点】伴随矩阵 【难易度】 【详解】 * 0 TT ijijijij aAAa
14、AAAAAAA E 等式两边取行列式得或 23 0AAA1A 当时，（与已知矛盾）0A 00 T AAA 所以.1A 三、解答题：三、解答题：15152323 小题小题, ,共共 9494 分分. .请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上. .解答应写出文字说明、证解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤. . 15、 （本题满分 10 分） 当时，与为等价无穷小，求和的值.0 x 1 coscos2cos3xxx n axna 【考点】等价无穷小；洛必达法则 【难易度】 【详解】 00 cos6cos4cos21 1 1 coscos2cos3 4 liml
15、im nn xx xxx xxx axax 1 00 3cos6cos4cos26sin64sin42sin2 limlim 44 nn xx xxxxxx axanx 2 0 36cos616cos44cos2 lim 4(1) n x xxx an nx 故，即时，上式极限存在.20n2n 8 当时，由题意得2n 00 1 coscos2cos336cos616cos44cos236 164 limlim1 88 n xx xxxxxx axaa 7a 2,7na 16、 （本题满分 10 分） 设 D 是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是 D 绕 x 轴， 1 3 yxxa(0)a x x V y V y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值.10 yx VVa 【考点】旋转体的体积 【难易度】 【详解】根据题意， 155 2 333 0 0 33 () 55 a a x Vxdxxa . 177 333 0 0 66 2 77 a a y Vx x dxxa 因，故.10 yx VV 75
