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1、稳定约束,不稳定约束,运动约束 （微分约束）,在一个力学体系中常存在着一些限制各质点自由运动的条件，我们把这些条件叫做约束。,约束对各质点位置限制的条件通常可以表示为力学体系中质点的 坐标、速度和时间的方程。,5.1.2广义坐标 对于n个质点所形成的力学体系，如果有k个几何约束 那么独立坐标就减小为 个。这些独立坐标的数目叫做力学体系的自由度。 把3n个坐标用s个独立参数 及t表示 这s个独立参量叫做拉格朗日广义坐标。 在几何约束情况下，广义坐标的数目和自由度的数目相等。,虚位移：不是由于质点的运动而实际发生的，它是所有想象中 可能的位移，取决于质点在此刻的位置和约束条件。 在给定瞬时，力系中
2、各质点所作的为约束所允许的、 可能发生的无限小位移,实位移和虚位移的区别: 在任意的t时刻，虚位移可不止 一个，在稳定约束条件下，实位移 是虚位移中的一个，当对于不稳定 约束，它们并不一致。,5.2 虚功原理,实位移,1.实位移和虚位移,质点由于运动实际上发生的位移,理想约束条件下， ，因此，如果力学体系处于平衡状态，则其平衡条件是 由上式可知，受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力学体系的诸主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零。这个关系叫做虚功原理，也叫虚位移原理。 利用虚功原理可以求解理想约束的力学体系的平衡问题，易简单求出主动力在平衡时满足的条件。,5.2.4广义力 由前面讨论我
3、们知 的虚位移为 所以，虚功原理在广义坐标下的表达式为 式中 称之为广义力。 它和力学体系的自由度数目相等。,应用虚功原理解题的主要步骤是：,(1)明确系统的约束类型, 看是否满足虚功原理所要求的条件；,(2)正确判断系统的自由度, 选择合适的广义坐标；,(3)分析并图示系统受到的主动力；,(4) 各质点坐标表示成广义坐标的函数 ；,(5)求主动力的虚功并令其为零，由此求出平衡条件。,例三：5.2 试用虚功原理解3.4题。 相同的两个均质光滑球悬在结于定点 的两根绳上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求 角、 角之间的关系。,D,5.3.1达朗伯拉格朗日原理 由n个质点所形成的力学体系，根据
4、牛顿运动定律的表达式可写为 或 通过数学上的移项，将主动力和约束反力引起质点的加速度当作惯性力引入，这样就把动力学问题化为静力学问题来处理。这种平衡关系，通常叫做达朗伯原理。,5.3拉格朗日方程,用虚位移标乘上式，在理想约束下（ ），可得： 这个方程是达朗伯原理和虚功原理的结合，被称为 达朗伯拉格朗日方程。,5.3.3基本形式的拉格朗日方程 将达朗伯拉格朗日方程 作广义坐标变换， 得： 交换上式的求和顺序，有 上式方括号中的第一项 即为广义坐标的广义力。 第二项 称之为广义惯性力。,5.3.2拉格朗日关系式 考察由n个质点组成的理想约束系统，受有k个完整约束，其广义坐标数s=3n-k。第i个质
5、点的位矢 将上式对时间求导数 式中广义坐标对时间的变化率 称为广义速度。 将上式对广义速度 求偏导数。因 和 仅是广义坐标和时间的函数，与 无关，故得第一个拉格朗日关系式,再将 对任一广义坐标 求偏导数，得： 另一方面，将位矢 直接对 求偏导数后，再对时间求导数，得： 比较、式，可得第二个拉格朗日关系式,对时间t的微商和对广义坐标 的微商可以对易。,考虑第一、第二拉格朗日关系式，可得：,引入动能函数 惯性力可以写成 所以，广义坐标形式的达朗伯-拉格朗日原理表达式为： 由于 的独立性，可得： 这就是拉格朗日方程的基本形式。,5.3.4 保守系的拉格朗日方程,对保守力系,基本形式的拉格朗日方程成为
6、,由于势能 不是广义速度的函数，即,其中 V 为系统的势能。,所以，（1）式可以写成 引入拉格朗日函数 ，代表动能势能之差 可得保守力系下的拉格朗日方程为：,（1）,解题步骤 （1）确定自由度 （2）选取广义坐标 （3）写出用广义坐标表示的T、V及L的表达式 （4）将拉格朗日函数L代入拉格朗日方程,保守力系下的拉格朗日方程,拉格朗日函数,例一： 滑轮组：求每个砝码的加速度,例二：用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程。,例三：,在平衡位置,令,略去高价小量，取,5.3.5循环积分 拉格朗日方程在某些特殊情况下，部分第一积分甚易获得。如果拉格朗日函数中不显含某一坐标 ，此时 ，保守力系下拉格朗日方
7、程变为： 即 常数 （1） 则该坐标 就叫循环坐标。 对应于该循环坐标的积分叫做循环积分。,拉格朗日方程,以质点在有心力场的运动为例：质点的动能为： 势能 故拉格朗日函数为 表达式中不包含，因此为循环坐标。由（1）式可直接得出循环积分,5.3.6能量积分,（1）动能的表达式,即 。式中 分别是广义速度 的二次、一次和零次函数。分别代表上式中的第一项、第二项和第三项。 对于稳定力学体系， 中不含t，因而 ，上式中第二项、第三项等于零。 动能T仅为广义速度的二次齐次函数。,欧拉齐次式定理： 则拉格朗日函数可以写为：,（2）广义能量积分,如果系统主动力皆为保守力，且拉格朗日函数不显含时间： 则 主动
8、力为保守力： 所以， 将上式移项得：,即： 广义能量积分或广义能量守恒。,广义能量积分变为：,拉格朗日函数：,可推出： 对于稳定力学体系，有： ， ，故 如果主动力皆为保守力，且拉格朗日函数中不显含时间项，则可直接列出广义能量守恒表达式。称之为能量积分。,例四：,例五：,例六：,5.4哈密顿正则方程 5.4.1勒襄特变换,设 ，则 式中 我们在这里用x，y作为独立变量。如果我们把u，y当作独立变量，则x，v可表示为 。 这时函数 亦可表示为 ，该函数的全微分为： 其中,由上式得： 式中 。 上述推导表明：如果变量由 变为 ，则用形式为 的函数才能将 用偏微商的形式表示出来，这就是勒襄特变换的基
9、本法则。,5.4.2正则方程 拉格朗日函数是 及时间t的函数，由此得出的拉格朗日方程是二阶常微分方程组，如果把拉格朗日函数中的广义速度 换成广义动量 就可以使方程组由二阶降到一阶，从而使问题简化。,如果通过勒襄特变化，使拉格朗日函数中的一种独立变量由 变为 （ ，由拉格朗日方程 可推出 ）则应引入新函数H使,对上式全微分得： 而拉格朗日函数的全微分： 将上式代入函数H的全微分表达式中：,而H的全微分表达式还可写为:,比较以上两式，对应项相等，得： 上式中的前两式通常叫做哈密顿正则方程，简称正则方程， 而函数H 则叫哈密顿函数。,5.4.3能量积分与循环积分,（1）能量积分,哈密顿函数对时间的微
10、分可写为： 得：,如H中不显含t，则,因而 如为稳定约束，可将动能表示为广义速度的二次齐次函数，则有： 如为不稳定约束，则它等于,（2）循环积分,如果哈密顿函数中不显含某项，则该项为循环坐标。 该项所对应的广义动量 。,例一：p367-5.22 试写出理论力学教程3.9中拉格朗日陀螺的哈密顿函数 ，并由此求出它的三个第一积分。,解：（一）拉格朗日陀螺的自由度为 选广义坐标 （二）定点转动中拉格朗日陀螺 动能 而 , ,将 代入式，且 ,联立后求得 体系动能 因为动能是广义速度的二次齐次式,H 中不显含时间t,H常数,H中不显含,常数,H中不显含,常数,1. 泊松括号,设,5.6 泊松括号和泊松
11、定理,代入,泊松括号,若,则,是正则方程的一个运动积分，因为有,定义,2. 泊松定理,利用泊松括号，可以从正则方程的两个积分，求另一个积分,若,则,利用,得到,于是,H不是t的显函数时，H=h是正则方程的一个积分，若,由泊松定理,但,故,依此类推，可得,5.7 哈密顿原理,1. 变分运算的几个法则,1）,2）,但是,则,等时变分,不等时变分,2. 哈密顿原理,保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一位形 转移到另一位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具 有稳定值。即对于真实运动来讲，主函数的变分为零。,由拉氏方程可得,但,因为,5.8 正则变换,1. 正则变换的目的和条件,而H中有没有循环坐标，与所选坐标系有关。,如果通过坐标和动量的某种变换，使新的H*中出现 一些循环坐标，而正则方程的形式不变，为正则变换。,又由(5.8.2)得,对(5.8.3)和(5.8.4)分别取微商和变分，得,因此,即,得到,又,而,于是得,2. 几种不同形式的正则变换,1）,上式最后一步利用了勒让德变换。,得,由,而,可见力学体系的运动问题，全靠母函数U的规定，母函数 规定得合适，问题就可大大简化。,
