《环境流体力学第三章随流扩散课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《环境流体力学第三章随流扩散课件（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 随流扩散,第一节 随流扩散方程,随流扩散：由于水体的平均运动（包括时间平均和空间平均）使污染物质发生输移的现象。,对层流: u、 v、w为零，水体的平均运动指的是空间平均运动，在这种情况下的物质的迁移就是分子扩散和随流输移的叠加。,设流体质点具有瞬时流速矢量 在x、y、z直角坐标上的分量分别为u、v、w ：,直角坐标系下的瞬时流速分量,第一节 随流扩散方程,紊动扩散：由于脉动流速使污染物质发生输移分子扩散：分子的无规则运动引起的物质迁移现象,对紊流: u、 v、w不为零，水体的平均运动指的是时间平均和空间平均运动，在这种情况下的物质的迁移就是紊动扩散和随流输移的叠加。,紊动扩散系数E远
2、远大于分子扩散系数D，所以在紊流中虽然有分子扩散，但可忽略。,如果流速在空间上有分布，即出现剪切流，这是不仅会有分子扩散、紊动扩散，而且还会有剪切流的分散（将在第五章讨论）。,本章只讨论作层流运动的随流扩散和分子扩散。为后续两章的有关内容提供一个基础。,1.一维随流扩散方程 设v=w=0，只有u分量（沿x轴）,分子扩散通量：,污染物随流输移的通量：,在随流作用和分子扩散作用下，单位时间内通过直角坐标系yz平面上单位面积的示踪物质质量：,第一节 随流扩散方程,随流和分子扩散示意图,Fick定律,质量守恒式：,根据不可压缩流体的一维连续性方程,一维随流扩散方程,（3-1-1）,为了求得在一定的初始
3、条件和边界条件下该方程的解析解,一般都补充假定u/t=0，亦即认为u也不随t 而变。,图 一维输移的控制体示意,第一节 随流扩散方程,用直角坐标表示，有,（3-1-2b）,2、对三维情形，有通量：,将之代入质量守恒式： 由水流连续方程 ，可得:,（3-1-2a）,随流扩散方程与分子扩散方程不同点是多了一些随流项，共同点是两者都是质量守恒定律在扩散问题中的体现。,第一节 随流扩散方程,第一节 随流扩散方程,通常只考虑x方向的纵向流速u，而x方向上的扩散项与随流项对比，相对很小，因而简化为,如果y方向（垂向）的浓度梯度较小，则简化为,一向一维,一向二维,（3-1-2c）,用圆柱坐标（r，q， z）
4、表示，有,式中：ur 、 uq和uz分别是流速在r、q和z方向上的分量。,第一节 随流扩散方程,圆柱坐标与直角坐标的关系：,图 圆柱坐标系,式中：r、z分别为径向距离、方位角、高度。,河流中某些污染物可以沿程降解，而降解的数量与浓度c成比例， 在方程中即为“汇”项写成kc，k是比例系数，称为降解率，得,3、具有源和汇的随流扩散方程：,在输送过程中，可以加入或取出某些质量，前者是源，后者是汇,式中：S汇 S源,第一节 随流扩散方程,第二节 随流扩散方程的解析解,用解析法求解三向随流三维扩散方程中浓度函数c(x ,y ,z ,t )在数学上是很困难的， 一般只对一向随流三维扩散方程，且在边界条件和
5、初始条件都比较简单的情况下才有可能。 如河道的宽深比不是很大时，可以认为污染物进入河道后立即在河道过水断面上均匀分布，沿河道纵向输运扩散，可以看做一维。 如河道的宽深比较大时，水深相对较浅，可以认为污染物进入河道后立即沿水深均匀扩展，但不能沿过水断面均匀分布，从而使污染物排放处沿河道纵向和横向逐渐发展，形成一条污染带，二维问题。 严格说来，由于水中污染物的存在对流动会产生影响，例如热污染、海水与河水混掺等，所以当求解随流扩散方程（包括将要介绍的随流紊动扩散方程）时， 应将它与流体运动基本方程组联立求解包括流速和浓度等未知函数。 在示踪物质的假定下，可以将流场和浓度场分开求解，即先求解流速，然后
6、求解浓度。,第二节 随流扩散方程的解析解,如果站在速度为 u 的动坐标 x 上观察，观察者随流速u一起运动，对于这样动坐标系，观察者看到的只是单纯的扩散，则一维随流扩散问题变为在静止水体中的扩散问题。,第二节 随流扩散方程的解析解,在静止水体中的扩散解式中，以新坐标(x-ut)代替原来的x坐标之后，如果还满足一维随流扩散问题给定的初始条件和边界条件，这就是问题的解这种解法称为置换解法。 把随流扩散问题变成单纯的扩散问题，从而直接利用扩散方程解的成果。,图 一维随流扩散,一、一向随流一维扩散的置换解法及瞬时源无界空间的解析解,第二节 随流扩散方程的解析解,一向随流一维扩散方程:,令t=t，=x-
7、ut，其中u为常数。采用微分连锁规则, 有:,( 3-2-1 ),( 3-2-2 ),将t 写作t，便得：,( 3-2-3 ),与一维分子扩散方程相似,将上两式按=t、=x-ut 进行变换之后，得:,( 3-2-4 ),和,( 3-2-5 ),和,( 3-2-6 ),( 3-2-7 ),第二节 随流扩散方程的解析解,可以将置换解法应用到一向随流二维(或三维)扩散的某些问题中来。一向随流二维和三维扩散方程分别为:,1、瞬时点源无界空间一维随流扩散与分子扩散瞬时点源无界空间解式相应，有解:,可以验证，该解满足: 初始条件：c(x, 0)= Md(x) 边界条件：c(,t )=0， c(, t )/
8、x=0,( 3-2-8 ),第二节 随流扩散方程的解析解,瞬时点源无界空间一维随流扩散的解:,( 3-2-8 ),图3-1 瞬时点源一维随流扩散,第二节 随流扩散方程的解析解,随着时间的增加，正态曲线的峰值愈小， 但离散程度愈大。,该式也是瞬时无限平面源无界空间的一维随流扩散问题的解。,2、瞬时无限长线源无界空间的一维随流二维扩散 有解：,若Dx = Dy = D，有：,( 3-2-11 ),( 3-2-12 ),上两式均满足瞬时无限长线源无界空间的定解条件 初始条件：c(x，y，0)= Mz(r)， r =(x2+y2)1/2 边界条件：c(， y， t )=c(x， t )=0,第二节 随
9、流扩散方程的解析解,3、瞬时点源无界空间的一维随流三维扩散有解:,因为Dx = Dy = Dz = D，有：,( 3-2-14 ),( 3-2-13 ),上式均满足瞬时点源无界空间的一维随流三维扩散的定解条件 初始条件：c(x，y，z，0)= M(r)，r =(x2+y2+z2)1/2 边界条件：c(, y, z, t )=c(x, , z, t )=c(x, y, , t )=0,第二节 随流扩散方程的解析解,4、瞬时半无限长线源无界空间的一维随流扩散（单侧阶梯函数） 与分子扩散瞬时半无限长线源解式相应，有解：,它满足瞬时半无限长线源无界空间的定解条件 初始条件：当x0时，c(x, 0)=
10、0； 当x0时，c(x, 0)= c0 边界条件：c(, t )=0， c(-, t )=c0,( 3-2-9 ),第二节 随流扩散方程的解析解,它满足瞬时有限长线源无界空间的定解条件 初始条件：当|x|x1时，c(x, 0)= 0； 当|x|x1时，c(x, 0)= c0 边界条件：c(, t )=0,5、瞬时有限长线源无界空间的一维随流扩散（双侧阶梯函数） 与分子扩散瞬时有限长线源解式相应，有解：,( 3-2-10 ),第二节 随流扩散方程的解析解,例：一条无限长的顺直矩形断面渠道，水面宽 B= 5m，水深 h= 2m，在其中间断面瞬时投入 M= 10kg 的污染物，渠道的流速恒定，U=
11、0.2m/s，扩散系数 D= 0.075m2/s。求经过时间t= 50s，100s 后，在投入点下游 10m 处污染物的浓度。,均匀流条件下瞬时点源的随流-扩散,解：单位面积的过水断面上加入水体的污染物质量为 经过时间t= 50s后，在投入点下游10m处污染物的浓度为 经过时间t= 100s后，在投入点下游10m处污染物的浓度为,二、时间连续源无界一维随流三维扩散,设坐标原点与污染源点重合，连续投放示踪物质，单位时间投放的示踪物质质量为 (常数)。先考虑在瞬时t经过时间dt投入质量 dt 产生的浓度场 dc 。,第二节 随流扩散方程的解析解,采用动坐标系，根据瞬时点源无界空间的一维随流三维扩散
12、的解有：,物理概念与前面的时间连续源相同，只增加了对（随）流项,对t 从0到t 时进行积分，得t 时刻的浓度场：,( 3-2-15 ),取变换： 其中：,第二节 随流扩散方程的解析解,则式(3-2-15)变为：,( 3-2-16 ),令：,如果求稳态的浓度场，可令上式积分下限中的t，,第二节 随流扩散方程的解析解,变为:,数学上可以证明：对b 0，有： 于是可得稳态解：,( 3-2-17 ),因为Dx = Dy = Dz = D，式(3-2-17)变为：,第二节 随流扩散方程的解析解,( 3-2-18 ),在稳态时，式（3-2-17）变为:,由上式可以绘出在 z=0 平面上的等浓度线。,图 3
13、-2 时间连续恒定点源一维随流三维扩散的等浓度线,第二节 随流扩散方程的解析解,在明渠中污染浓度场的形状成为狭长形，由于对流速度较大，所以对流速度把污染场拉长了。,对时间连续点源无界空间的一维随流三维扩散的稳态问题，当扩散未达稳态之前，在x方向的范围可用长度 （即距离标准差s）来衡量。,第二节 随流扩散方程的解析解,图 3-2 时间连续恒定点源一维随流三维扩散的等浓度线,当t 较大，达到稳态之后，随流扩散位移 ut 比分子扩散范围 大得多 （即x2D/u），等浓度线沿x方向拉得很长。 所以x方向的分子扩散可以不计，变为一维随流二维横向扩散的稳态问题。,第二节 随流扩散方程的解析解,图 3-2
14、时间连续恒定点源一维随流三维扩散的等浓度线,第二节 随流扩散方程的解析解,在明渠中，由于随流输移的作用，空间的等浓度线会在x方向上被拖得很长，则有 在源下游较远的区域，r值用下列关系式代替：,时间连续点源三维移流扩散的浓度公式可简化为,第二节 随流扩散方程的解析解,时间连续点源二维移流扩散的浓度公式为,对于此问题，数学上的推导比较复杂，而且不容易理解其物理意义，下面从物理概念方面进行讨论，其结果相同。,设在空间有一点源，连续排放。 每次脉冲的污染物质量为 ，d为污染物质穿过一块薄板的时间，薄板厚度为 x。 在薄板上开一圆孔，其尺寸正好能让扩散物质穿过。 水流的速度为u ，穿过薄板的时间为dt=
15、x/u；,图3-5 简化计算的运动薄片分析,第二节 随流扩散方程的解析解,在dt时间内排放的质量为： ，根据二维扩散的瞬时点源解，薄片中单位面积上的质量为（即污染浓度）,薄板到源点的距离x=ut ，而且三维的浓度是薄片单位面积上的质量除以薄片厚度dx，故可得到本问题的解：,( 3-2-23 ),第二节 随流扩散方程的解析解,( 3-2-23 ),因为D=Dx=Dz，并令r2=y2+z2，式（3-2-23）变为：,( 3-2-24 ),第二节 随流扩散方程的解析解,对于二维情况，可以设想为一条垂直的线源，单位长度单位时间的质量为,在z轴上的无限长线源上取微分长度为dh来考虑所产生的二维浓度场dc
16、(x，y)，根据式（3-2-23）,第二节 随流扩散方程的解析解,其中 , 便有:,将上式沿z轴积分，有：,令x = h - z ，有:,因为 Dy = D，便有：,( 3-2-25 ),( 3-2-26 ),第二节 随流扩散方程的解析解,三、时间连续恒定点源无界空间一维随流扩散,初始条件：x 0 , c(x，0)=0; 边界条件：c(0，t)= c0（常数），c(，t)=0,一维对流扩散方程：,若用置换法：,上式满足初始条件，但不满足边界条件。,第二节 随流扩散方程的解析解,图 3-3 时间连续恒定点源一维随流扩散浓度与时间的关系曲线,第二节 随流扩散方程的解析解,通过拉普拉斯(Laplace)变换方法求得解：,( 3-2-19 ),四、一维随流横向扩散的稳态解（分层流）,三维随流扩散方程：,当v = w = 0，并忽略在x方向和y方向上的分子扩散项，便得一维随流横向扩散方程：,( 3-2-20 ),第二节 随流扩散方程的解析解,设各点的速度同为u（常量） 浓度的
