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1、 基本不等式知识点总结基本不等式知识点总结 向量不等式：向量不等式： | | |ababab 【注意】： a b 、同向或有0 | | |abab | | | |abab ； a b 、反向或有0 | | | |abab | | |abab ； a b 、不共线| | | | | | |ababab .(这些和实数集中类似) 代数不等式代数不等式： , a b同号或有0| | | | | | |abababab； , a b异号或有0| | | | | | |abababab. 绝对值不等式：绝对值不等式： 123123 aaaaaa (0)ababab ab 时, 取等 双向不等式：abab
2、ab （左边当0(0)ab时取得等号，右边当0(0)ab时取得等号.） 放缩不等式：放缩不等式： 00abam值，则 bmbbm amaam . 【说明】： bbm aam （ 0,0abm ，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，000nmba b a nb na ma mb a b 1. , ,a b cR， bd ac ，则 bbdd aacc ； nN， 1 11 2 nnnn n ； ,1nNn ， 2 11111 11nnnnn . ln1xx(0)x ,1 x ex()xR. 函数函数图象及性质图象及性质( )(0) b f xaxab x 、 (1)函数图象如图：0)(ba x
3、b axxf、 (2)函数性质：0)(ba x b axxf、 值域：；),22,(abab 单调递增区间：，；单调递减区间：，(, b a ,) b a (0, b a x a b ab2 ab2 a b o y .,0) b a 基本不等式知识点总结基本不等式知识点总结 重要不等式重要不等式 1、和积不等式：, a bR 22 2abab(当且仅当ab时取到“”) 【变形】： 22 2 () 22 abab ab （当 a = b 时， 22 2 () 22 abab ab ） 【注意】： ( ,) 2 ab aba bR ， 2 () ( ,) 2 ab aba bR 2、均值不等式：
4、两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系， 即“平方平均算术平均几何平均调和平均” 22 22 “ ” 11 22 ababab abab ab ab （当且仅当时取） *.若，则 (当且仅当时取“=” ）; 0 x 1 2x x 1x 若，则 (当且仅当时取“=” ）0 x 1 2x x 1x 若，则 (当且仅当时取“=” ）0 x 111 22-2xxx xxx 即或 ba *.若，则 (当且仅当时取“=” ）0ab 2 a b b a ba 若，则 (当且仅当时取“=” ）0ab 22-2 ababab bababa 即或ba 3、含立方的几个重要不等式（a、
5、b、c 为正数）： 333 3abcabc（0abc 等式即可成立，时取等或0cbacba） ； 3 3 abc abc 3 () 3 abc abc 333 3 abc *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，时，0ab 同时除以同时除以 abab 得得或或。abba2 22 2 b a a b b a a b 11 *均为正数，,baba b a 2 2 八种变式： ； ； 2 22 ba ab 2 ) 2 ( ba ab 2 ) 2 ( 22 2 baba ；若 b0,则；a0,b0,则；)(2 22 bababa
6、 b a 2 2 baba 411 若 a0,b0,则； 若，则。 abba 4 ) 11 ( 2 0ab 2 22 ) 11 ( 2 111 baba 上述八个不等式中等号成立的条件都是“” 。ba 最值定理最值定理 （积定和最小） ,0,2x yxyxy由，若积()xyP值值，则当xy时和xy有最小值2p； （和定积最大） ,0,2x yxyxy由，若和()xyS值值，则当xy是积xy有最大值 2 1 4 s. 【推广推广】：已知Ryx,，则有xyyxyx2)()( 22 . （1）若积xy是定值，则当|yx 最大时，|yx 最大；当|yx 最小时，|yx 最 小. （2）若和|yx 是定
7、值，则当|yx 最大时，| xy最小；当|yx 最小时，| xy最 大. 已知, , ,Ra x b y ，若1axby，则有则的最小值为： 2 1111 ()()2 () byax axbyabababab xyxyxy 已知，若则和的最小值为： . 应用基本不等式求最值的应用基本不等式求最值的“八种变形技巧八种变形技巧”： 凑系数（乘、除变量系数）.例 1.当 04x时，求函的数(82 )yxx最大值. 凑项（加、减常数项）：例 2.已知 5 4 x ，求函数 1 ( )42 45 f xx x 的最大 值. 调整分子：例 3.求函数 2 710 ( )(1) 1 xx f xx x 的值
8、域； 变用公式：基本不等式 2 ab ab 有几个常用变形, 22 22 abab ， 22 2 () 22 abab 不易想到，应重视； 例 4.求函数 15 2152 () 22 yxxx 的最大值； 连用公式：例 5.已知0ab，求 2 16 () ya b ab 的最小值； 对数变换：例 6.已知 1 ,1 2 xy，且xye，求 ln (2 ) y tx的最大值； 三角变换：例 7.已知 2 0yx ，且tan3tanxy，求txy的最大值； 常数代换（逆用条件）：例 8.已知0,0ab，且21ab，求 11 t ab 的最小 值. “单调性单调性”补了补了“基本不等式基本不等式”的
9、漏洞：的漏洞： 平方和为定值平方和为定值 若 22 xya（a为定值，0a ） ，可设cos ,sin,xaya，其中 02. ( , )sincos2 sin() 4 f x yxyaaa 在 15 0,2 ) 44 上是 增函数，在 15 , 44 上是减函数； 1 ( , )sin2 2 g x yxya在 1357 0,2 ) 4444 上是增函数，在 1357 , 4444 上是减函数； 11sincos ( , ) sincos xy m x y xyxya .令sincos2 sin() 4 ta ， 其中2, 1)( 1,1)(1,2t .由 2 12sincost ，得 2
10、2sincos1t， 从而 2 22 ( , ) 1 (1) () t m x y a t a t t 在2, 1)( 1,1)(1,2上是减函数. 和为定值和为定值 若xyb（b为定值，0b ） ，则.ybx 2 ( , )g x yxyxbx 在(, 2 b 上是增函数，在 ,) 2 b 上是减函数； 2 11 ( , ) xyb m x y xyxyxbx .当0b 时，在(,0),(0, 2 b 上是减函数，在 , ),( ,) 2 b bb 上是增函数；当0b时，在(, ),( , 2 b bb上是减函数，在 ,0),(0,) 2 b 上是增函数. 2222 ( , )22n x y
11、xyxbxb在(, 2 b 上是减函数，在 ,) 2 b 上是增函数； 积为定值积为定值 若xyc（c为定值，0c ） ，则. c y x ( , ) c f x yxyx x .当0c 时，在,0),(0,cc上是减函数，在 (,)cc 上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是增函数； 111 ( , )() xyc m x yx xyxycx .当0c 时，在,0),(0,cc上是减函数， 在(,)cc 上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是减函数； 2 2222 2 ( , )()2 cc n x yxyxxc xx 在(,),(0,cc 上是减函数，在 (,0,)cc上是
12、增函数. 倒数和为定值倒数和为定值 若 112 xyd （d为定值， 1 1 1 , x dy ） ，则. c y x 成等差数列且均不为零，可设 公差为z，其中 1 z d ，则 1111 ,zz xdyd 得,. 11 dd xy dzdz . 22 2 ( ) 1 d f xxy d z .当0d 时，在 11 (,),(,0 dd 上是减函数，在 11 0,),(,) dd 上是增函数；当0d 时，在 11 (,),(,0 dd 上是增函数，在 11 0,),(,) dd 上减函数； 2 22 ( , ). 1 d g x yxy d z .当0d 时，在 11 (,),(,0 dd 上是减函数，在 11 0,),(,) dd 上是增函数；当0d 时，在 11 (,),(,0 dd 上是减函数，在 11 0,),(,) dd 上是增函数； 222 22 222 2(1) ( , ). (1) dd z n x yxy d z .令 22 1td z，其中1t且2t ，从而 22 2 22 ( , ) 4 (2) 4 d td n x y t t t 在1,2)上是增函数，在(2,)上是减函数.
