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1、第三章 3.2 直线的方程,3.2.1直线的点斜式方程,1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程; 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程; 3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,问题导学 新知探究 点点落实,知识点一直线的点斜式方程,思考1如图,直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,设点P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,那么x,y应满足什么关系?,答案,答案由斜率公式得k , 则x,y应满足yy0k(xx0).,思考2经过点P0(x0,y0)的所有直线是否都能用点 斜式方程来表示?,答案,答案斜率不存在的直线不能用
2、点斜式表示, 过点P0斜率不存在的直线为xx0.,答案,斜率k,k(xx0),知识点二直线的斜截式方程,思考1已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),得到的直线l的方程是什么?,答案,答案将k及点(0,b)代入直线方程的点斜式得:ykxb.,思考2方程ykxb,表示的直线在y轴上的截距b是距离吗?b可不可以为负数和零?,答案y轴上的截距b不是距离,可以是负数和零.,思考3对于直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2. l1l2_, l1l2_.,k1k2且b1b2,k1k21,答案,ykxb,返回,题型探究 重点难点 个个击破,类型一直线的点斜式方程,例1(1)经过点(3,1)且平
3、行于y轴的直线方程是_.,解析直线与y轴平行, 该直线斜率不存在, 直线方程为x3.,(2)直线y2x1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90后得直线l,则直线l的点斜式方程是_.,解析由题意知,直线l与直线y2x1垂直, 则直线l的斜率为 . 由点斜式方程可得l的方程为y3 (x1).,x3,y3 (x1),解析答案,(3)一直线l1过点A(1,2),其倾斜角等于直线l2: y x的倾斜角的2倍,则l1的点斜式方程为_.,解析直线l2的方程为y x, 设其倾斜角为, 则tan 得30, 那么直线l1的倾斜角为23060, 则l1的点斜式方程为 y2tan 60(x1),即y2 (x1).,y
4、2 (x1),解析答案,跟踪训练1写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(2,5),斜率是4;,解析答案,解y54(x2);,(2)经过点B(2,3),倾斜角是45;,解直线的斜率ktan 451, 直线方程为y3x2;,(3)经过点C(1,1),与x轴平行. 解y1.,类型二直线的斜截式方程,例2(1)倾斜角为60,与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_.,解析答案,解析直线的倾斜角是60, 其斜率ktan 60 , 直线与y轴的交点到原点的距离是3, 直线在y轴上的截距是3或3, 所求直线方程是y x3或y x3.,y x3或y x3,(2)已知直线l1的方程为y2x3
5、,l2的方程为y4x2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.,解由斜截式方程知直线l1的斜率k12, 又因为ll1. 由题意知l2在y轴上的截距为2, 所以l在y轴上的截距b2, 由斜截式可得直线l的方程为y2x2.,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b0时,ykx表示过原点的直线;当k0时,yb表示与x轴平行(或重合)的直线. (2)截距不同于日常生活中的距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数和零,而距离是一个非负数.,跟踪训练2(1)已知直线l的斜率为 ,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,
6、求l的斜截式方程;,解设直线方程为y xb, 则x0时,yb;y0时,x6b. 由已知可得 |b|6b|3, 即6|b|26, b1. 故所求直线方程为y x1或y x1.,解析答案,(2)已知直线l1的方程为y2x3,l2的方程为y4x2,直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数,求直线l的方程.,解l1l, 直线l1:y2x3, l的斜率为 , l与l2在y轴上的截距互为相反数, 直线l2:y4x2, l在y轴上的截距为2, 直线l的方程为y x2.,解析答案,类型三平行与垂直的应用,例3(1)当a为何值时,直线l1:yx2a与直线l2:y(a22)x2平行?,解析答案,解由题意可
7、知,,l1l2,,解得a1. 故当a1时, 直线l1:yx2a与直线l2:y(a22)x2平行.,(2)当a为何值时,直线l1:y(2a1)x3与直线l2:y4x3垂直?,解析答案,反思与感悟,解由题意可知,,l1l2, 4(2a1)1, 解得a . 故当a 时, 直线l1:y(2a1)x3与直线l2:y4x3垂直.,反思与感悟,设直线l1和l2的斜率k1,k2都存在,其方程分别为l1:yk1xb1,l2:yk2xb2,那么:(1)l1l2k1k2,且b1b2;(2)k1k2,且b1b2两条直线重合;(3)l1l2k1k21.,跟踪训练3已知在ABC中,A(0,0),B(3,1),C(1,3)
8、. (1)求AB边上的高所在直线的方程;,解直线AB的斜率k1 , AB边上的高所在直线斜率为3且过点C, 所以AB边上的高所在直线的方程为y33(x1).,解析答案,(2)求BC边上的高所在直线的方程;,解直线BC的斜率k2 1, BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A, 所以BC边上的高所在直线的方程为yx.,返回,(3)求过A与BC平行的直线方程. 解由(2)知,过点A与BC平行的直线的斜率为1, 其方程为yx.,解析答案,1,2,3,达标检测,4,解析答案,1.方程yk(x2)表示() A.通过点(2,0)的所有直线 B.通过点(2,0)的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的
9、所有直线 D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线,解析易验证直线通过点(2,0), 又直线斜率存在, 故直线不垂直于x轴.,C,1,2,3,4,解析答案,2.倾斜角是30,且过(2,1)点的直线方程是_.,解析斜率为tan 30 , 直线的方程为y1 (x2).,y1 (x2),1,2,3,4,3.(1)已知直线yax2和y(a2)x1互相垂直,则a_;,解析由题意可知a(a2)1, 解得a1.,(2)若直线l1y 与直线l2y3x1互相平行,则a_.,解析由题意可知,解得a .,1,解析答案,1,2,3,4,解析答案,4.(1)求经过点(1,1),且与直线y2x7平行的直线的方程;,解与直
10、线y2x7平行, 该直线斜率为2, 由点斜式方程可得y12(x1), 即y2x1 所求直线的方程为y2x1.,1,2,3,4,解析答案,(2)求经过点(2,2),且与直线y3x5垂直的直线的方程. 解所求直线与直线y3x5垂直, 该直线的斜率为 ,由点斜式方程得: y2 (x2), 即y x . 故所求的直线方程为y x .,规律与方法,1.求直线的点斜式方程的方法步骤,2.直线的斜截式方程的求解策略 (1)用斜截式求直线方程,只要确定直线的斜率和截距即可,同时要特别注意截距和距离的区别. (2)直线的斜截式方程ykxb不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线的图象就一目了然.因此,在解决直线的图象问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断.,3.判断两条直线位置关系的方法 直线l1:yk1xb1,直线l2:yk2xb2. (1)若k1k2,则两直线相交. (2)若k1k2,则两直线平行或重合, 当b1b2时,两直线平行; 当b1b2时,两直线重合. (3)特别地,当k1k21时,两直线垂直. (4)对于斜率不存在的情况,应单独考虑.,返回,