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1、1 圆圆章节知识点复习章节知识点复习 圆的记忆口诀：圆的记忆口诀： 常把半径直径连，有弦可做弦心距，它定垂直平分弦，直圆周角立上边。常把半径直径连，有弦可做弦心距，它定垂直平分弦，直圆周角立上边。 圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆，圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆， 直角相对成共弦，试试加一个辅助圆，若是证题打转轴，四点共圆可解难，直角相对成共弦，试试加一个辅助圆，若是证题打转轴，四点共圆可解难， 要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连 直线与圆未给
2、点，需证半径作垂线，四边形有内切圆，对边和等是条件，直线与圆未给点，需证半径作垂线，四边形有内切圆，对边和等是条件， 如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，圆相切做公切，两圆想交连工弦。如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，圆相切做公切，两圆想交连工弦。 一、圆的概念一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的
3、点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条 直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的 一条直线。 二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 点在圆内；drC 2、点在圆上 点在圆上；drB 3、点在圆外 点在圆外；drA 三、直线与圆的位置关系三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点；dr 2、直线与圆相切 有一个交点；dr r d d C B A O 2 3、直线与圆相交 有两个交点；dr d r d=r r d 四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系 外离（图 1） 无交点 ；dRr 外切（图 2） 有
4、一个交点 ；dRr 相交（图 3） 有两个交点 ；RrdRr 内切（图 4） 有一个交点 ；dRr 内含（图 5） 无交点 ；dRr 周 1 r R d 周 3 rR d 五、垂径定理五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即 可推出其它 3 个结论，即： 是直径 弧弧 弧弧ABAB
5、CDCEDEBCBDACAD 周 2 r R d 周 4 r R d 周 5 r R d 3 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中，OABCD 弧弧ACBD 六、圆心角定理六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对 的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论 中， 只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论， 即：；AOBDOE ABDE ； 弧弧OCOFBABD 七、圆周角定理七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一 半。 即：和是弧所对
6、的圆心角和圆周角AOBACBAB 2AOBACB 2、圆周角定理的推论： 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的 圆周角所对的弧是等弧； 即：在中，、都是所对的圆周角OCD CD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧 是半圆，所对的弦是直径。 即：在中，是直径 或OAB90C 是直径90CAB O E DC B A O C D A B F E D C B A O C B A O D C B A O C BA O 4 推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形。 即：在中，ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C
7、注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一 半的逆定理。 八、圆内接四边形八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中，O 四边形是内接四边形ABCD 180CBAD180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理九、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端MNOAMNOA 是的切线MNO （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2：过切点垂直于切线
8、的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理十、切线长定理 切线长定理： C BA O E D C B A NM A O 5 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。 即：、是的两条切线PAPB PAPB 平分POBPA 十一、圆幂定理十一、圆幂定理 （1）相交弦定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在中，弦、相交于点，OABCDP PA PBPC PD （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段
9、的比例中项。 即：在中，直径，OABCD 2 CEAE BE （3）切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切 线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在中，是切线，是割线OPAPB 2 PAPC PB （4）割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等（如上图） 。 即：在中，、是割线OPBPE PC PBPD PE 十二、两圆公共弦定理十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的 的公共弦。 如图：垂直平分。 12 OOAB 即：、相交于、两点 1 O 2 OAB P B A O P O D
10、 C B A OE D C B A D E C B P A O B A O1 O2 6 垂直平分 12 OOAB 十三、圆的公切线十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： （1）公切线长：中， 12 Rt OO C ； 2222 1122 ABCOOOCO （2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。 2 CO 2 CO 十四、弦切角定理十四、弦切角定理 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角弦切角。 弦切角等于它所夹的弧所对的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角圆周角。 十五、十五、圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：OABCRt
11、 BOD ；:1:3:2OD BD OB （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，Rt OAE ：:1:1:2OE AE OA C O2 O1 B A D C B A O E CB AD O 7 （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. .Rt OAB:1:3:2AB OB OA 十六、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式十六、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：； 180 n R l （2）扇形面积公式： 2 1 3602 n R SlR ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRlS 2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 =2SSS 侧表底 2 22rhr （2）圆柱的体积： 2 Vr h 3、侧面展开图 （1）=SSS 侧表底 2 Rrr （2）圆锥的体积： 2 1 3 Vr h B A O Sl B A O 周 周 周 周 周 周 周 周 C1 D1 D C B A B1 R r C B A O
